Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 14

Решение: Рассмотрим участок боковой поверхности канала, площадь которого: о = Ь 1. Давление: ~цб 7 Р = — ", где Г по модулю Г = т †. т = об Я г = рР'=р ! Ь вЂ” массаводы в р!Ь-г ' данном объеме. Г = Я Р = = —; Р =1,25 кПа. р1Ь у рЬ ЯЪ| Я 2.116. Найти работу А, которую надо совершить, чтобы сжать пружину на 1 = 20 ем, если известно, что сила Г пропорциональна сжатию ! и жесткость пружины /о = 2,94 кН/м. Решение: Работа, совершаемая прн сжатии пружины, определяется ! формулой А =-~'Га7 — (1), где 1 — сжатие, По условию о сила пропорциональна сжатию, т.е. Г =-И вЂ” (2). Под- !|г ставляя (2) в(1), получим А=1!г!Ж= —; А=58,8Дж.

2 2.117. Найти наибольший прогиб Ъ рессоры от груза массой т, положенного на ее середину, если статический прогиб рессоры от того же груза Ь„= 2см. Каким будет наибольший прогиб, если тот же груз падает на середину рессоры с высоты и = 1 м без начальной скорости? 113 Решение: При статическом прогибе тд =Иго; отсюда Ь=т~/ЬО. При падении этого груза с высоты Н имеем Иг тдЬ тд(Н+Ь)= — = —, или Ь -2Ь,Ь вЂ” 2ЬОН=О. Решая 2 2Ь, это уравнен е, наход и А=О аД е2ЬЫ. Бонн 22=0, то Ь =2Ь, =4 см; если Н =1м, то Ь = 22,1 см. 2.118. Акробат прыгает в сетку с высоты Н = 8м.

На какой предельной высоте Ь над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат не ударился о пол при прыжке? Известно, что сетка прогибается на Ь, = 0,5 м, если акробат прыгает в нее с высоты НО 1м' Решеыые: По закону сохранения энергии потенциальная энергия должна полностью перейти в энергию упругого Ь~ Ьоз взаимодействия тд(Н+ Ь) = 7г —; тд(Но + Ь ) = 7г — о; 2 2 Разделив первое уравнение на второе, получим: Н+Ь Ь' Н Ь Ь, Ь~(Н +Ьо)-ЬЬо Но+Ьо Ьо Но+ Ьо Но+Ьо Ьо Ьо(НО+Ьо) — (Но+Ьо)Ь~ -Ь„' Ь-НЬ~ =О, решим данное о+ о квадратное уравнение: Ю = Ь~~ + 4НЬ~~(Н + Ь ); у~+ Ь +4Уй~~(Н +Ь ) Ь— Ь, =1,23м;Ь, = — 1,07м— 2(Но + Ьо) противоречит условию задачи. 2.119. Груз положили на чашку весов. Сколько делений покажет стрелка весов при первоначальном отбросе, если после успокоения качаний она показывает 5 делений? !14 Решение: По закону сохранения энергии И'„, =И"„г.

Потенциальная энергия гравитационного и упругого взаимодействия И~„г = тдН; к г г Иг'„г = —, следовательно, гггдН =— 2 2 (1). После установления равновесия пгЯ+ Р;.„~ = О, где Гк„~ = — кх — закон Гука. гщ В проекциях на ось у: гггд+/сс=О, откуда Ь= — (2). х пгя х х - Подставив (2) в (1), получим гггяН= — —; Н= —; х 2 2 х=2Н, отсюда х=2 5=10делений, 2.120.

Груз массой и =1 кг падает на чашку весов с высоты Н =10 см. Каковы показания весов г в момент удара, если после успокоения качаний чашка весов опускается на Ь = 0,5 см? Решение: По закону сохранения энергии в момент удара яхг~ 1Г„г =11'„,, где И'„, = пгдН, а И'„г = — '. /схг 2пгяН Отсюда гггяН= — '; х, =~ — — дефор- 2' мация пружины весов в момент удара.

После успокоения качаний наступает равновесие пщ=гг, где Гг =Ьхг, по закону Гука, причем хг =Ь Тогда гггд =/й; Ь = —. Показания весов в момент удара гггд Ь 2пгдН Г=гщ+Р;, где гг =Ьхг =Й ~ — — по закону Гука 115 2лгяН Тогда г" = гггд+ /гз! —; Г = гггд+ 2гггдНИ; Г = ггпу+ ЮК . 12Н ( г'2Н ~! + 2гггдП вЂ”; Г=гггп+гггд.гг —; Г=гггд 1+ ( —, от-. /г 1' /г ~ 1г ) куда Р' — 72.5 Н. 2Л21. С какой скоростью к двигался вагон массой и = 20 т, если при ударе о стенку каждый буфер сжался на 1= !Осм? Жесткость пружины каждого буфера г! = 1 МН/и. Решение: За счет кинетической энергии движущегося поезда была совершена работа по сжатию буферов.

Воспользуемся формулой, полученной в задаче 2.116, Работа по сжатию 1' 1з первого буфера: А, =/г —, второго А, =/г —; А=А, +Аз 1', пггг 2 ~21 ил и А = 2/г — = И . Тогда — = И, г = 1 ( —; г = 1 м/с. 2 ~( лг 2Л22. Мальчик, стреляя нз рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на Л/ =10 ем. С какой скоростью а полетел камень массой т =20 г? Жесткость шнура /г =! кНг . Решение: В результате совершенной работы по растяжению шнура камень приобрел кинетическую энергию. С учетом форллг Ы мулы.

полученной в задаче 2.116, имеем: — = /г —. От- 2 2 куда к = Л/ ~ —, г = 22,3 м/с. пг !!б 2Л23. К нижнему кониу пружины„подвешенной вертг!- кально, присоединена другая пружина, к конну которой прикреплен груз. Жесткости пружин равны /!! н /!,. Пренебрегая массой пружин по сравнению с массой груза, найти отношение )4'„! /И'„, потенш!альных энергий этих пружин, Решение: Потенциальная энергия взаимодействия для каждой отдельно взятой пружины 2 /г!х! $К = — — (1); И'г = ='- — (2).

Усло12Х2 2 п2 2 Р, Г„пп /г, 2.124. На двух параллельных пружинах одинаковой длины весит невесомый стержень длиной Е = 10 см, Жесткости пружин /!! =2Н/м и /!2 =3Н/м. В каком месте стержня надо подвесить груз, чтобы стержень оставался горизонтальным? Решение: Чтобы система находилась в равновесии, т.е. чтобы стержень был в горизонтальном положении, необходимо выполнение двух условий: лгя" + Р'тпр! + гт„,р — — Π— (1) )17 вия равновесия пружин в проекциях на гпя у Щ-Гт„р! =О, 'ось у: где по закону Гука лгд-Е, 2 =О, (лгя = /Г!х! Г,, =-/ст, отсюда ~ и /г!х! =/ггхг — (3). Из (3) 1 а /'2 2 2 выразим: х = —; х = —.

Разделив (1) на (2), по/ггхг . /ггхг г= ))! ! ~~п! "г Хг КЛ ~~г /!/гхг ' и„г и М~+Мз+Мэ =Π— (2). В проекции на ось у уравнение (1) имеет вид: тд - 1г,х — 1г,х = О или пу = 1с,х+ 1гзх = (1г, + йз )х — (3). у Моменты сил относительно точки А: М, =О; М, =жф„ М = к хХ. Тогда из уравнения (2) тф — к хЕ = О, из уравтд 1ггшФ нения (3) х= —. Следовательно, тн1, — — '=О; ! 2 1г, +1г, 1 =4см. Решение: Запишем второй закон Ньютона в виде: Г= от/Л(, но Ы лг111 Ь~ = —, тогда Г = —; Г =13,7 Н. Ж 2 2.126. Гиря массой ьч=0,5кг, привязанная к резиновому шнуру длиной 1„, описывает в горизонтальной плоскости окружность.

Частота вращения гири п =2 об1с. Угол отклонения шнура от вертикали а =30'. Жесткость шнура к=О,бкН1м. Найти длину 1„нерастянутого резинового шнура. 118 2.125. Резиновый мяч массой т = 0,1 кг летит горизонтально с некоторой скоростью и ударяется о неподвижную вертикальную стенку. За время Лг = 0,01 с мяч сжимается на Л1 = 1,37 см; такое же время Лг затрачивается на восстановление первоначальной формы мяча. Найти среднюю силу Е, действующую на стенку за время удара.

Решение Сила натяжения шнура Т= — =5,7Н тя сола вызывает растяжение шнура на гз1, Т причем Т = 1ггз1; отсюда гз1 = — =9,5 мм. 1г 1 Т Из рисунка видно, что — = — — (1). Но Я Р Г =Та?па = — =4гг и тЯ вЂ” (2). Из (1) и (2) имеем 2 2 Л Т 1= —,, = 7,25 см. Таким образом, длина нерастянутого 4гг~гг гп резинового шнура 1о = 1- гз1 = 6,3 см. 2.127, Гирю массой т=0,5кг, привязанную к резиновому шнуру длиной 1, =9,5см, отклоняют на угол а =90' н отпускают.

Найти длину 1 резинового шнура в момент прохождения грузом положения равновесия. Жесткость шнура Й =1кН/ы. Решение: Сила натяжения шнура Т совершает работу по растяжению шнура на 1з1 . Т=1ггз1. Решая аналогичную задачу для нерастяжимого шнура (см. задачу 2.111), мы получили, что при прохождении положения равновесия Т =Згггд . Тогда Зтд = 3гщ Згггд Т =1гЛ1; 1-1с — — —, 1= — +10, 1~11см. 1г 2.128. Мяч радиусом Л = 10см плавает в воде так, что его центр масс находится иа 0=9см выше поверхности воды. Какую работу надо совершить, чтобы погрузить мяч в воду до диаметральной плоскости? 119 Решение: Мяч плавает, если сила тяжести, дейстх вующая на него, уравновешивается силой Архимеда, т.е.

тд = ГА, или тя = роР;~ — (1), где Р; — объем шарового сегмента высотой Ь, находя- щегосЯ в воде пРи Равновесии, Ро— плотность воды, т — масса мяча. Очевидно, что Н+6 =Я, т.е. радиусу мяча. Если теперь погрузить мяч в воду на глубину х, то сила Архимеда превысит силу тяжести, действующую на мяч, и результирующая сила, выталкивающая мяч из воды, будет Р'„= Г„' — та — (2). Против этой силы Г, и должна быть совершена работа. Сила Архимеда Р;,' = роР~ — (3), где К вЂ” объем шарового сегмента высотой Ь+х. Из (1)— (3) имеем Г„= Ро — Ро "оЕ = РоК(Р Ро) = Роа1~,, где Р;.