Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 13

гггя По оси у: Тсояа — тд=О, Т= сова о~да=~6:Дг,'1г. Тогд ибд11 о а=~и„нои дЯ дЯ дА 2 но бг„=ог Тт; 1 о а 1.Д до 11' ггг' д' В =2Лгг, СЛЕдОВатЕЛЬНО, бгн =42Г~гг~А, ОтКуда И =(1/2гГ)Х ,го„~Я и и г=1/2иббб/~1~ Дг Г биоб1и н. 2.101. Гирька массой т =50г, привязанная к нити длиной ! = 25 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гирьки и = 2 об/с. Найти силу натяжения нити Т. Решение: В горизонтальной плоскости на гирьку действует сила Г=Тзггга. Тогда по второму закону Ньютона Т йгг а = Я = тан, где а)па = —. Учитывая, что ан =ог'Л=(2глг) Я, запишем: Я з т(2тг) К = Т вЂ”, откуда Т = т/(2гпг); Т =1,96 Н, 104 2.102.

Диск вращается вокруг вертикальной осн с частотой п=ЗОоб/мин. На расстоянии «=20см от оси вращения на диске лежит тело. Каким должен быть коэффициент трения й между телом н диском, чтобы тело не скатилось с диска? Решение: Решаем задачу в неинерциальной системе отсчета, в системе диска, тогда при вращении диска на тело вдоль нормальной оси действует центробежная сила г и сила трения Р' . Тело не будет соскальзывать с диска, если Г > Г, т.е. з гг гг Ьщ>т — или /г> —. Т.к.

гг=огх г гд 4/г гг~г хг=2лгг«,то /с~; /г>0,2. Я 2.103. Самолет, летящий со скоростью к=900км/ч, делает «мертвую петлю». Каким должен быть радиус «мертвой петли» Я, чтобы наибольшая сила Г, прижимающая летчика к сидению, была равна: а) пятикратной силе тяжести, действующей на летчика; б) десятикратной силе тяжести, действующей на летчика? Решение. 2 пп лггг та„= — . а) 5«ггя = —, отсюда А Я ппг 2 У б) 10/ггпу = —, отсюда Я = —; Я 10~ ' Искомая сила Г = Я= —; Я=1600м 5д Я=711м. 2.!04.

Мотоциклист едет ио горизонтальной дороге со скоростью я = 72км/ч, делая поворот радиусом Л=!ООм. На какой угол а прп этом он должен наклониться, чтобы не упасть при повороте? 105 Решение: Силы, действующие на мо- У тоцнклиста: сила тяжести 7т = тд, сила реакции опоры Ф и сила, которая Ф ---, может обеспечить движение мотоциклиста по окружности, — сила трения х Г„.

Согласно законам г у," статики, для того, чтобы мотоциклист не потерял равновесия, необходимо, чтобы равнодействующая сил Ж и Г,р была'направлена по прямой, проходящей через Х 1 центр тяжести. Тогда ~да = — = —. Запишем основной Г, 1с закон механики в проекциях на оси х и у: та„= à — (1), О = И вЂ” та — (2), Р„, = )гЖ = Ьлд — (3). Решая совместно „г уравнения (1) — (3), учитывая, что а„= —, получим — = )ф — (4). Выразив )г из (4), найдем фа = —, откуда М дЯ Л У а=22'. 2.105. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон идет со скоростью т = 9 ям!ч по закруглению радиусом Я = Зб,4 м. На какой угол а отклонится прн этом нить с шаром7 Решение: Запишем основной закон механики в проекциях на оси х и 2 у: Тя'па =т — — (1), Тсоза — ггя =Π— (2). Из (2) Л 1Об ° > 2 тогда туфа = >и —, Я Т= —, тя сока тз фа= —; дА ф =0,010; откуда аж1 Решение: Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х и 3л Т з(па = >лая — (1); иф — Т сок а = пф = 0 — (2).

Из (2) Т = — „тогда сока (1) запишем в виде тн фа =та„, откуда а„=дфа — (3), С другой стороны, нормальное ускорение а„= с>~М, где Я =1я'па, т. е. а„=а>>1з1па = 4изиз 1з>па — (4). Решая совместно (3) и (4), получим и = 4и~1яиа а) п=2обlс; б) и=1,5об/с. 2.106. Длина стержней центробежного регулятора 1=12,5 см. С какой частотой и должен вращаться центробежный регулятор, чтобы грузы отклонялись от вертикали на угол, равный: а) а=60'; 6) а =30'? 2Л07. Шоссе имеет вираж с уклоном а = 10' при радиусе закругления дороги /1=100м.

На какую скорость ~ рассчитан вираж? Решение: Данную задачу решаем без учета силы трения. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х и у: Ив|па =та„; тц-Мх хсоза =О. Нормальное ус- 2 корение а„= —; лщ=л/сола; япа л7я — = т —; соза Я тд У= —; соваа У я'фа =— Я =47,3 км/ч. ; 2 =уАгда, отсюда в= айда; ~=13,5м/с= Решение: В момент прохождения грузом положения равновесия согласно второму закону Ньютона в проекции на ось у 2 та„=Т вЂ” л2д или т — =Т-л2д, откуда тв 2 Т = лг~+ —, где / — длина нити. Кротв ме того, л2д/2 = —, откуда ~ = „/2~6 . Но 2 108 2.108.

Груз массой вг =1 кг, подвешенный на нити, отклоняют на угол а = 30' и отпускают. Найти силу натяжения нити Т в момент прохождения грузом положения равновесия. д=г — г~ыа=㫠— ада). тогда =.~2ф~ — а), а лгу лг гл 2 — = — 2д/г = — 2ф(1 -со5а) = 2лц(1-соха) и сила натя- 1 ження Т = глд(1+ 2(1 — соза)) =12,4 Н. 2.!09. Мальчик массой т =45 кг вращается на «гигантскнх шагах» с частотой л=16об/мин. Длина канатов 1=5м.

Какой угол а с вертикалью составляют канаты «гигантских шагов»? Каковы сила натяжения канатов Т и скорость г вращения мальчика? Решение: Запишем второй закон Ньютона в У проекциях на оси х: Тсоза -гггя =0 — (1) и у: Т Т игл а = та„— (2). Нормальное з Х ускорение а„=аг Я, где аг=2лл, 1 следовательно, а» =4гг л А. Из ри- тя сунка видно, что Я=/з/гга — (3), 7 з тогда ад =4гг-гг-1ягла. Подставим выражение для а„в (2): Тз/та =лг.4гг и!з/ла или Т =4гг~л 1т, Т =632Н.

гггд Тсоза = гггд из (1), откуда соза = —, соза = 0,7, а а 45'30'. Скорость найдем из выражения гг = агР. = 2лл1 а/л а, с учетом аг = 2лл и (3): в в 6 м/с. 2,!!О. Груз массой лг=1кг, подвешенный на невесомом стержне длиной 1= 0,5 м, совершает колебания в вертикальной плоскости. При каком угле отклонения а стержня от вертикали кинетическая энергия груза в его нижнем положении И'д = 2,45 Дж? Во сколько раз прн таком угле отклонения сила натяжения стержня Т, в нижнем положении больше силы .натяжения стержня Т, в верхнем положении? 109 Решение: Во время колебаний груза кинетическая энергия, которой он обладает в нижней точке, переходит в потенциальную в верхгпгг нем положении. Ю'. = — =тд!г — (1).

к 2 Найдем 1г: !г = А — МВ, !г =1-!сола, !г=1(1 — сола). Подставим значение !г в 0~„ (1): тф(1 — сола)= И'к, 1-сола = — ", !г гггд! 2 ,45 ~сола=1 — ' =0,5, а=60'. Запи- 1 9,8 0,5 шем второй закон Ньютона для верхнего и нижнего (Тз — гггд сол а = та„— (2), положения груза: выразим из ~Т, -ггг8=та„— (3); (2)и(3) Т, и Т,: Т, =т(а„+ясола) — (4), но а„= —,а Т, =лг(а„+д) — (5); " 1 ' г 211 к г 26'„ г = †" в = †", следовательно, а„ = †" . Подставив т! лг1 т1 это выражение в (4) и (5), получим следующие Т,=т — "+д =т " и 1 21т"„.

2И'„+ т 1д сол а Т, = т ~ — "' + д сол а~ = т. Разделим 3 ггг! Т, 26'„+ т18 первое уравнение на второе: Т, 2В;+т1Исола уравнения Т,/Т =1,3. 2.111. Груз массой т, подвешенный на невесомом стержне, отклоняют на угол а = 90' и отпускают. Найти силу натяжения Т стержня в момент прохождения грузом положения равновесия. 110 Решение: По второму закону Ньютона в момент прохождения положения равновесия: 2 Т-гщ=та„— (1), но а„= —. Выразим из (1) Т, подставив выражение для а„: тв 2 Т = л~д+ —. В результате преобразова- 1 Т ту 2 ния потенциальной энергии в кинетическую лгф= —, 2 2 т2ф откуда ~ =2д1,тогда Т=лу+ =ЗА.

2.112. Груз массой и =150кг подвешен на стальной проволоке, выдерживающей силу натяжения Т = 2,94кН. На какой наибольший угол а можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохождении грузом положения равновесия? Решение: Воспользуемся формулой, полученной в задаче 1.108: Т=тд(1+2(1-сола)). х Выразим из нее сола: Т =тд+ Зтп-Т + 2тя -2пцсоза, сола = 2тд Подставив исходные данные, получим: сола = 0,5, следовательно, а = 60'. 2.113. Камень массой т=0,5кг привязан к веревке длиной 1=50см, равномерно вращается в вертикальной плоскости.

Сила натяжения веревки в нижней точке окружности Т = 44Н. На какую высоту Ь поднимется камень, если веревка обрывается в тот момент, когда скорость направлена вертикально вверх? 111 Решение: Для камня в нижнем т аяожении запишем х второй закон Ньютона: Т-тя=та„, где г г 7 1Т вЂ” тс а„= —, Т-ид=и —, ч= 1 и Примем за нулевой уровень потенциальной эне гии положение камня в момент об ыва иу р р веревки. В этот момент камень обладает ив г кинетической энергией —, которая по мере подъема 2 камня переходит в потенциальную.

На высоте Ь вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную, т.е. пп У 1(Т вЂ” 111К) — =лщЬ,откуда Ь= — = ; 6 =2м. 2 2д 2лгд 2.114. Вода течет по трубе диаметром 1=0,2м, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом Я = 20,0 м. Найти боковое давление воды Р, вызванное центробежной силой.

Через поперечное сечение трубы за единицу времени протекает масса воды и, = 300 т/ч. Решение: Рыб Боковое давление воды Р = —" — (1), где Р„в — центро- Ы бежная сила, 1 — длина той части трубы, на которую тю г производится давление, по модулю Г„в = — — (2), где и = р15" — (3) — масса воды в объеме Я1 (Я вЂ” площадь поперечного сечения трубы, р — плотность воды). лР, Скорость течения воды к = — ' — (4).

Подставляя (2)— р7 г лг, (4) в (1), получим Р = — '; Р = 56,0 Па. Я1кБ ' 112 2.115. Вода течет по каналу шириной Ь=0,5м, распеложенному в горизонтальной плоскости и имеюшему закругление радиусом Я=!Ом. Скорость течения воды ~=5м/с. Найти боковое давление воды Р, вызванное центробежной силой.