Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 12

Тогда из (1)», = ~/2дЬ, — (3), из (2) соответственно ~, = „~2д!г, — (4). Согласно закону изменения импульса ГЫ = лгр, ->ля или в проекции на 95 2.89. Движущееся тело массой т, ударяется о неподвижное тело массой т,. Считая удар неупругим и центральным, найти, какая часть кинетической энергии И'„, первого тела переходит при ударе в тепло. Задачу решить сначала в общем виде, а затем рассмотреть случаи: а) и, = т,; б) иг, = 9т,. Решение: иггл Кинетическая энергия первого тела до удара И~„.г = — ' 2 кинетическая энергия второго тела до удара И'„г = 0 .

После удара кинетические энергии обоих тел (т, + гггг ) и ггггг Ю'„' = ', где и = — — общая скорость тел. 2 т,+тг иг,г Следовательно, И'„.' = ' . Тогда кинетическая энер- 2(ггг, + иг, ) г иггк гия, перешедшая при ударе в тепло: Ккг-И'„= —— иггг 1 иг, = — 1— ) 2 1 иг+т, 2 г гггг у Искомое отношение: 2(ггг, +т тг гиг !в — — а) Если т, =т,, то т,+т, т,+т, И'„., -И'„' 0,5;б)Если т, =Ут,, о "' " =0,1.

к! И'„., И"„, — И'„' И~кг 96 гориэонтал ь пуго ось: ГЖ = гиЬ ~ = ги(г г — (- л г )) = т(л г + г г ), Подставляя (3) в (4) получим ГЬю = т(/2уЬ, +./2~~ю,); Рог=0,17Н с. Количество выделившейся теплоты равно убыли потенциальной энергии Д = гигой, — туг, = ти х х(Ь, -Ьг); Я =37,2лгДж. 2.90.

Движущееся тело массой и, ударяется о неподв !жное тело массой т2. Считая удар упругим и центральным, найти, какую часть кинетической энергии 1Г„.! первое тело передает второму при ударе. Задачу решить сначала в общем виде, а затем расслютреть случаи: а) а2, = Щ2; б) щ, =9щэ. Решение: 2 ЩР Кинетическая энергия первого тела до удара 1т'! = — ' 2 кинетическая энергия второго тела до удара И'„2 = О . После удара второе тело приобрело кинетическую 2 Щ2и 2Щ!2 энергию И'„.'2 ==, где и= . Таким образом, 2 Щ! + Щэ первое тело передало второму телу кинетическую энер- 2 л22 ! 2222 к Г гию В'„'2 = — ' ! . Искомое 2 ~ и! + л22 ! 5'„'2 отношение: 2.91.

Движущееся тело массой и, ударяется о неподвижное тело массой из. Каким должно быть отношение масс щ, /щ2, чтобы при центральном упругом ударе скорость первого тела уменьшилась в 1,5 раза? С какой кинетической энергией 11'„.'2 начинает двигаться при этом второе тело, если первоначальная кинетическая энергия первого тела И'„=1 кДж? Решение: Из условия следует, что движение происходит вдоль горизонтальной оси. Система тел т, и щз замкнута в проекции на горизонтальную ось.

Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для данного 4 — 3268 97 4пг,тз а) Если !222 +т ) ~Гк2 т, = 9т„то — ' = 0,36. к! И'„.'2 т, =щз, то — "- =1; б) если И'8! 2 2 тгг ! пг!и! взаимодействия: тгг! =т,и, +тги, — (1); — = — + 2 2 2 + — — (2).

Умножив (2) на 2 и учитывая, что г ! = 1,5и„ т,гг, получим т, 1,5и, = т,и, + т,и,; т, 2,25и, = т,и, + пгги, 2 2 или т, 0,5и, =т,и, — (3); т, 1,25гг, =т,и,' — (4). 0,5т,и, Выразим иг из (3) и, = — ' — (5). Подставим это 2 (0,5т!и! 1 0,25т, выражение в (4): 1,25т,и, =гггг~ ' ' г~; 1,25кк — * гиг тг Отсюда — =5. После столкновения первоначальная кит, ггг2 нетическая энергия первого тела перерас предел ил ась между первым и вторым телом, которые стали двигаться со скоростями и, и и, соответственно.

6'„! = гр'„'! + 5'„'2, где 2 2 2 ти,, ти, 2 125ти, к! к 1рк2 т ггг ° По условию 2 " 2 2 гггр, и! 2,25и, 2 2 2 2ггк! И'„! = — = ', откуда и, = — ". Из (5) най- 2 пг 2,25т, 1,25т, ° 26"к! 2,5гР„'г, тг ° 2,5 Юд тг 2,25т, 2,25т, 2 2,25 т, 0,5 И~„! 5 , 5 0,9 2.92. Нейтрон (масса т,) ударяется о неподвижное ядро атома углерода (пг =12т,).

Считая удар центральным н упругим, найти, во сколько раз уменьшится кинетическая энергия Ю'„ней- трона прн ударе. 98 г гнв у2 к! У! И'„2 = — — (2), откуда — "' = —,. По закону 2 И, 2 сохранения энергии И'к! = И~„2+И",' — (3), где И'„' — кинетическая энергия ядра атома углерода после 12лгси взаимодействия, И" = ' — (4). Решая совместно 2 уравнения (1) — (4), получим твуг = лгсугг +12!2!,и', откуда 1, = Уг'+12и' — (5). Согласно закону сохранения импульса тву! = твуг +12тви, откуда у, = у +12и или У! — Уг и= ' ' — (6). Подставим (б) в (5) и произведем пре- 12 2 образования: у, = у, +12 ~ ' 12 12 — +1 = — — 1; У, У2 У2 г г (У! -Уг) У! — Ук = 12 У, — Уг У!+Ук =— 12 2 11 — =-13.

Отсюда —, =1,4, т.е. — "' =1,4. У, Ж'к! Уг У2 Ик2 2.93. Нейтрон (масса т,) ударяется о неподвижное ядро: а) атома углерода (т =12т,); б) атома урана (т = 235т,). Считая удар центральным и упругим, найти, какую часть скорости у потеряет нейтрон при ударе. Решение: а) Запишем закон сохранения импульса и закон сохране- ниЯ энеРгии данной системы тел. твУ = — т,(1 — лУ)+ +12т,и — (1). Знак «-» указывает на изменение направ- 99 Решение: Кинетическая энергия нейтрона до и после удара выраШву! жается следующими соотношениями: И'к, = — — (1); лсния скорости нейтрона на противоположный.

игера пгв(у — Лгг) 12гггеи 2 ' 2 после удара т — Лг; и — скорость ядра атома углерода после удара. Разделив (1) на гпе, полу- 2(к — Лт) чим гг= — (т — Лк)+12и, откуда и = . Подставим в 12 уравнение (2) выражение для и и преобразуем его: гг =(гг — Лгг) +12и, т =-(т — Лт) +12 г 2 2 „(2гг- Лгг 12 к — (гг — Лгг) =, ~Й,2ъ-Лт), 12Лгг= з 2 (2У вЂ” ЛУ) (2гг- Лт) 12 12 Лгг Лгг 2 =2т-Лк, 13 — =2 и получаем — = —. гг гг 13 б) Рассуждая аналогично случаю а), запишем: пгр= — ггге(т — Лгг)+235гпегг, тогг /2=ггг (ъ-Лъ) /2+ 235гггси 2к-Лгг + о 2гг-Лг =235и и и= , Подставляя в 2 235 формулу (2) новые значения и преобразуя ее, поз 2 з з (2т-Лт) лучим: т =(г — Лв) +235и, в — (в — Лгг) = 235 Лт 1 235Лгг=2т-Лт; 235Лгг=2в — Лгг, 236Лгг=2г и — = —.

118 2.94. На какую часть уменьшится вес тела на экваторе вследствие врашения Земли вокруг оси? Решение: На экваторе на тело действует сила тяготения пгМ Г =С вЂ”, — (1) (М вЂ” масса Земли, пг — масса тела, Л Я вЂ” радиус Земли, С вЂ” гравитационная постоянная) и сила реакции опоры ЛГ, при этом тело, участвуя в !00 суточном вращении Земли, движется по окружности радиусом Я . Составим уравнение па основании второго 2 -Л' закона Ньютона à — Ф=тв-Я, где в= — — угловая Т скорость; Т вЂ” период вращения Земли вокруг своей оси: 12 Г2И '1 Т=8б400с. Тогда Р-Ю=т ~ — ~ Я, откуда Ф=Г~Т! 4~г тЯ вЂ” (2).

По третьему закону Ньютона вес тела на Т1 экваторе Р, = Ф вЂ” (3). Вес покоящегося тела для любой точки Земли численно равен силе тяжести: Р = ту — (4). Р-Р, Относительное изменение веса тела о = — ' — (5). Р Решая совместно уравнения (1) — (3), получим тМ 4п тЯ Р, =0 — — —, — (б). Подставляя (4) и (6) в (5), бМ 4х Я получим о =1- —,+ —, — (7). Примем ускорение вяз 8Т' з свободного падения д = 9,8 мыс . Подставляя .

числовые данные в (7), получим о =0,34%. 2.95. Какой продолжительности Т должны были бы быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе не имели веса. Решение: тМ 4к иЖ Вес тела на экваторе Р, =0 —,—, (см. задачу Я Т ОМ 4т~А 2,94). По условию Р, =О, тогда — = —,. Отсюда ~2 Тз 4т'Яз Т = . Подставляя числовые данные, получим бМ Т =505бс=!ч 24 мин. 1О! 2.96. Трамвайный вагон массой т = 5 т идет по закруглению радиусом к = 128 м.

Найти силу бокового давления Г колес на рельсы при скорости движения ~ = 9 км/ч. Решение: При равномерном движении по окружности а, =О и а=а„. Тогда второй закон Ньютона запишется в виде: 2 7 Г=та„=т —, отсюда Г=245Н. 2.97. Ведерко с водой, привязанное к веревке длиной 1=60см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти наименьшую скорость ~ вращения ведерка, при которой в высшей точке вода из него не выливается.

Какова сила натяжения веревки Т при этой скорости в высшей и низшей точках окружности? Масса ведерка с водой и = 2 кг. Решение: Поскольку вращение вокруг оси О яв- 2 ляется равномерным, то а = а„= —. На воду в ведерке в высшей точке действует центробежная сила равная з 7 т —, направленная вверх и сила 1' тяжести гид, направленная вниз. Вода не будет выливаться из ведерка при 2 г У условии, что т — =тд или д = †, откуда ч =,/~~; 1 ~=2,43м/с.

В проекции на ось у уравнение движения ведра с водой в верхней точке: та=тд+Т, в нижней т точке та=Т-тя. Учитывая, что я = — =а„, получим: в верхней точке Т = О, в нижней точке Т = 2тя =39,2Н. 102 2.98. Камень, привязанный к веревке длиной 1= 50 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. При какой частоте вращения п веревка разорвется, если известно, что она разрывается при десятикратной силе тяжести, действующей на камень? Решение: По второму закону Ньютона Т вЂ” тд = з У = та„— (1), где а„= — — (2).

Линейная скорость ~ =в 1; в = 2лп, тогда и = 2ли1, откуда п= — — (3). Из (1) з = ~а„l; 2л! Т-лщ 9тд Из (2) а„= = = 9д, тогда и ш в=З /1~ — (4). Подставив (4) в (3), получим и = — = — ( —; и = 2,1 2 об!с. ЗРК 3 7.- 2л! 2л~ 1 2.99. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу т камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силами натяжения веревки й Т = 10 Н. Решение: По второму закону Ньютона для верх- ней и нижней точек соответственно Е рЩ+ Т„„;, = 6й„— 11), ,, Сложив (1) н(2), тй — Т„„„= -та„— 1,2 1. получим 2лгд — !зТ = 0; ЬТ отсюда и = —; т и 0,5 кг.

2д 2.100. Гирька, привязанная к нити длиной 1= 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом !! =15 см. С какой частотой и вращается гирька? 103 Решение: В горизонтальной плоскости на гирьку действует сила: Г = Т зггг а, где Я лгга = †. Тогда по второму закону Ньютона Тзггга =тан 1,а, =О, т.к. движение равномерное ) или ТЯ/1= таи.