Лабораторная работа 4: Лабораторная работа №4 вариант 6

ИУ5. 1 семестр. 2022 год.
Отчёт по лабораторной работе №4 (включает код программы). Нахождение корней нелинейного уравнения. Данная лабораторная работа - общая для всех вариантов.
Прошёл проверку преподавателей Прав* А. Д. и Самохв* А. Э.

Постановка задачи

1. Найти корень уравненияx - cos(x) = 0
простой итерацией, половинным делением и методом Ньютона с погрешностью eps<0.000001 и для каждого из трех методов определить количество шагов алгоритма.
2. Выполнить п.1 для eps < 0.00000001.
3. Выполнить п.1 для уравненияx – 10cos(x) = 0
и объяснить результаты.
Численному решению уравнения
f(x) = 0 (1)
должно предшествовать хотя бы грубое исследование вопросов существования и положения корней.
Итерационные методы
Заданное уравнение f(x) = 0 приводят к виду
x = j(x). (2)
Выбирая некоторое начальное приближение Х_0, вычисляют последовательные приближения
Х_j+1 = j(X_j), (j=0, 1, 2, …).
Сходимость таких приближений к искомому решению Х требует отдельного исследования. Сходимость зависит прежде всего от вида функции, а также от начального приближения. (В данной лабораторной работе такие исследования не делаются, но в пункте 3 задания приведена функция, для которой решения методом Ньютона и методом простой итерации расходятся.) Для того, чтобы программа нахождения корней этими методами не зацикливалась, следует ограничивать максимальное число итераций N_max, например, N_max < 100000.
Возможны различные способы приведения уравнения (1) к виду (2).
Простая итерация
Х_j+1 = X_j - f(X_j).
Метод Ньютона
Х_j+1 = X_j - f(X_j)/ f ¢(X_j).
Метод половинного деления
Для использования этого метода нужно задать границы интервала на оси абсцисс, содержащего ровно один корень [xl, xr] и требуемую точность вычислений.
Суть метода заключается в следующем. Выбирают Х на середине интервала [xl, xr] и определяют f(X). Если f(X) < eps, то середина интервала считается корнем функции, иначе корень ищется на том интервале из двух полученных, для которого значения функции на концах имеют разные знаки.