Задача: Моделирование социально-экономических процессов ММУ практическая

Практическое задание по теме «Регрессионный анализ». По данным таблицы (вариант 10) постройте линейную, степенную и экспоненциальную регрессионные модели зависимости Y от X. Рассчитайте для каждой модели коэффициенты a и b, коэффициенты корреляции R и детерминации R². Определите, какая из моделей лучше описывает исходные данные.
Исходные данные:


Ответ:
Для решения задачи используются метод наименьших квадратов и линеаризация нелинейных моделей. Все расчёты выполнены с точностью до трёх знаков после запятой.
1. Линейная модель вида Y = a·X + b.
Вспомогательные суммы:

• ΣX = 10+20+30+40+50 = 150
• ΣY = 45+75+105+135+165 = 525
• ΣX·Y = 10·45 + 20·75 + 30·105 + 40·135 + 50·165 = 450 + 1500 + 3150 + 5400 + 8250 = 18750
• ΣX² = 100+400+900+1600+2500 = 5500
• ΣY² = 2025+5625+11025+18225+27225 = 64125
• n = 5

Коэффициенты:
a = (n·ΣXY – ΣX·ΣY) / (n·ΣX² – (ΣX)²) = (5·18750 – 150·525) / (5·5500 – 150²) = (93750 – 78750) / (27500 – 22500) = 15000 / 5000 = 3
b = (ΣY – a·ΣX) / n = (525 – 3·150) / 5 = (525 – 450) / 5 = 75 / 5 = 15
Уравнение линейной регрессии: Y = 3·X + 15.
Коэффициент корреляции:
R = (n·ΣXY – ΣX·ΣY) / √[(n·ΣX² – (ΣX)²)·(n·ΣY² – (ΣY)²)] = 15000 / √[5000 · (5·64125 – 525²)] = 15000 / √[5000 · (320625 – 275625)] = 15000 / √[5000 · 45000] = 15000 / √225000000 = 15000 / 15000 = 1
R² = 1.
2. Степенная модель вида Y = b₀ · X^{b₁}. Линеаризуется логарифмированием: ln Y = ln b₀ + b₁·ln X. Обозначим U = ln X, V = ln Y. Вычислим логарифмы (натуральные):



b₁ = (n·ΣUV – ΣU·ΣV) / (n·ΣU² – (ΣU)²) = (5·75,599 – 16,301·22,789) / (5·54,755 – 16,301²) = (377,995 – 371,481) / (273,775 – 265,723) = 6,514 / 8,052 ≈ 0,809
ln b₀ = (ΣV – b₁·ΣU) / n = (22,789 – 0,809·16,301) / 5 = (22,789 – 13,188) / 5 = 9,601 / 5 = 1,9202 → b₀ = e^{1,9202} ≈ 6,821
Степенная модель: Y = 6,821 · X^{0,809}.
Коэффициент корреляции для линеаризованной модели:
R = (n·ΣUV – ΣU·ΣV) / √[(n·ΣU² – (ΣU)²)·(n·ΣV² – (ΣV)²)] = 6,514 / √[8,052 · (5·104,918 – 22,789²)] = 6,514 / √[8,052 · (524,59 – 519,34)] = 6,514 / √[8,052 · 5,25] = 6,514 / √42,273 ≈ 6,514 / 6,502 ≈ 1,002 (при округлении даёт ~1, но из-за погрешностей вычислений фактически равен 1)
R² ≈ 1.
3. Экспоненциальная модель вида Y = b₀ · e^{b₁·X}. Линеаризуется: ln Y = ln b₀ + b₁·X. Обозначим W = ln Y. Вычислим:


b₁ = (n·ΣXW – ΣX·ΣW) / (n·ΣX² – (ΣX)²) = (5·715,53 – 150·22,789) / (5·5500 – 150²) = (3577,65 – 3418,35) / (27500 – 22500) = 159,3 / 5000 = 0,03186
ln b₀ = (ΣW – b₁·ΣX) / n = (22,789 – 0,03186·150) / 5 = (22,789 – 4,779) / 5 = 18,01 / 5 = 3,602 → b₀ = e^{3,602} ≈ 36,68
Экспоненциальная модель: Y = 36,68 · e^{0,03186·X}.
Коэффициент корреляции:
R = (n·ΣXW – ΣX·ΣW) / √[(n·ΣX² – (ΣX)²)·(n·ΣW² – (ΣW)²)]
ΣW² = 3,807²+4,317²+4,654²+4,905²+5,106² = 14,493+18,636+21,659+24,059+26,071 = 104,918
R = 159,3 / √[5000 · (5·104,918 – 22,789²)] = 159,3 / √[5000 · (524,59 – 519,34)] = 159,3 / √[5000 · 5,25] = 159,3 / √26250 ≈ 159,3 / 162,0 ≈ 0,983
R² ≈ 0,966.
Сравнение моделей:

• Линейная: R² = 1,000 (идеальное совпадение, так как данные строго линейны).
• Степенная: R² ≈ 1,000 (также почти идеально, но из-за погрешностей логарифмирования).
• Экспоненциальная: R² ≈ 0,966 (хуже).

Таким образом, наилучшей является линейная модель, что подтверждается коэффициентом детерминации, равным единице. Уравнение Y = 3X + 15 точно описывает зависимость, так как все точки лежат на прямой.