Методы оптимизации: решения и модель очереди

Рейтинговая работа
по дисциплине Методы оптимизации
Задание/вариант № 3 (З)

Ситуация 1
Поиски и подъем затонувшего судна с кладом.
Часть 1. Компания St. Thomas Salvage занимается спасением затонувших судов в Карибском море. Останки старинного кораб¬ля были обнаружены в неглубоком месте вблизи г. Шарлотт Ама-ли. Существует предположение, что это «Йорк-Таун» - британ¬ский торговый корабль, затонувший в начале XIX века. Если бы это был действительно «Йорк-Таун», то операция по его подъему сулила бы большую выгоду. На его борту было огромное количе-ство оружия и некоторое количество золота. То, что он лежал на дне моря, официально не было известно никому. Руководство ком¬пании должно было решить - поднимать или нет его останки.
Основываясь на данных звуковой локации и местоположении останков, руководство полагало, что имеется один шанс из четы¬рех, что это действительно «Йорк-Таун». Если это «Йорк-Таун», руководство полагало, что с вероятностью 50% кто-то другой уже мог обнаружить останки и забрать золото без официального уве¬домления об этом.
Операция по подъему должна была стоить 60 тыс. долл. Руко¬водство было уверено, что операция по подъему будет успешной (что бы ни было найдено, оно будет поднято на поверхность). Однако рентабельность операции зависела одновременно от правиль¬ной идентификации останков корабля и - если бы это оказался «Йорк-Таун», - от того, успел ли кто-либо еще забрать золото.
Если бы корабль был поднят, оказался «Йорк-Тауном» и зо¬лото было на его борту, руководство предполагало продать все поднятое (включая золото) за 460 тыс. долл., что дало бы прибыль в 400 тыс. долл. Если бы это оказался «Йорк-Таун», но без золо¬та, руководство предполагало продать вооружение и все прочее за 60 тыс. долл. (только затем, чтобы компенсировать затраты на операцию). На тот случай, если это вообще оказался бы не «Йорк-Таун», руководство договорилось с местным коллекционером о продаже ему останков за 20 тыс. долл.
Так как операция по подъему могла привести к убыткам, ру¬ководство хотело бы повысить вероятность получения прибыли.
Выяснилось, что глубоководное оборудование, которое исполь¬зовалось для идентификации затопленных останков «Титаника», может быть арендовано за 3 тыс. долл. Используя столь мощное оборудование до начала подъема, руководство может сэкономить много денег.
Технология использования зонда предусматривает его однора¬зовое погружение. Зонд делает телевизионные съемки судна под различными углами и передает снимки для компьютерного анали¬за. В 3 тыс. долл. арендной платы включена также оплата специа¬листов по компьютерному программированию, которые автома¬тизируют процесс обработки снимков, передаваемых зондом.
Руководство компании до настоящего времени не общалось с теми, кто уже брал зонд в аренду и мог бы сказать, насколько на¬дежной является его работа. Таким образом, компьютер не может оценить вероятность того, что идентификация при помощи зон¬да обязательно увеличила бы надежность операции. Однако руко¬водство знало, что анализ при помощи зонда ни в коей мере не может дать информацию о том, находится ли на судне золото. Ана¬логично, если бы это оказался не «Йорк-Таун», руководство не представляло себе, как оценить вероятность того, что зондирова¬ние дает достаточно надежную идентификацию.
С другой стороны, руководство знало о том, что надежности обеих идентификаций численно равны, т.е. вероятность того, что идентификация при помощи зонда оказывается верной, если судно является «Йорк-Тауном», численно равна вероятности того, что идентификация верна, если судно не является «Йорк-Тауном».
Задания:
1. Опишите каждое решение в виде набора логически возмож¬ных альтернативных исходов (действий руководства, свя¬занных с этим решением).
2. Выразите цель руководства с помощью некоторой величи¬ны, которая должна максимизироваться или минимизиро¬ваться, и назовите точно, в каких единицах она должна измеряться.
3. Какое главное неконтролируемое событие может встретить¬ся при выполнении операции? Опишите его в виде набора логически возможных способов, за счет которых это событие может осуществляться.
4. Составьте дерево решений для руководства. Подсчитайте суммарную прибыль (убыток) для каждой ветви.
5. Вычислите на дереве решений распределение условных ве¬роятностей для всех узлов событий на ветвях, где не исполь¬зуется зонд. Оставьте ту часть дерева, где не используется зонд, и пометьте все исключенные ветви.
6. Какова максимальная цена, которую руководство заплатит за точную идентификацию судна (точность - 100%). Пояс¬ните свой ответ и приведите все деревья, таблицы и вычис¬ления, использованные вами.
7. Руководство переговорило по телефону с людьми, которые арендовали ранее зонд и прилагаемое компьютерное обес¬печение. По мнению этих людей, вероятность того, что анализ с помощью зонда покажет, что судно является «Йорк-Тауном», составляет 43%. Эта цифра есть предельная (без-условная) вероятность, вычисление которой было основа¬но на равенстве численных значений надежности идентифи¬кации и предварительном предположении руководства, что останки принадлежат «Йорк-Тауну» с вероятностью 0,25. Воспроизведите их вычисления и подставьте необходимые значения условий вероятности во все узлы событий на тех ветвях дерева, где используется зонд. (Подсказка: может оказаться удобным составить вероятностное дерево или таб¬лицу, в которых вы соберете все возможные события. По¬ложите R численно равным надежностям идентификации и затем вычислите те величины, которые необходимы для построения вашего дерева.)
8. Пометьте на дереве все исключенные ветви. Убедитесь, что вы ввели все ожидаемые затраты и прибыли в каждом из узлов событий и исходов.
9. Сформулируйте все логически возможные стратегии, пре¬дусматриваемые деревом, укажите оптимальную.
10. Составьте таблицу для стратегий, полученных выше. Эта таблица должна включать возможные конечные исходы, связанные с каждой из стратегий, величину прибыли и вероятность того, что данный исход и соответствующая ему прибыль произойдут.
11. Существует ли преимущественная по доходам стратегия? Если да, то продемонстрируйте соотношение преимуществ (достаточно одного примера). Если нет, то объясните по¬чему.

Ситуация 2
Руководство St. Thomas Salvage выразило некоторую неуверенность в надежности идентификации с помощью зонда. У людей, арендовавших его ранее, спросили, не существует ли ка¬кого-либо способа улучшить ситуацию. Ответ был положитель¬ным. За определенную плату обе надежности могли быть повы¬шены до 90%. Этого можно было достичь многократным погру-жением и взятием проб с останков судна с последующим химическим анализом и анализом на содержание радиоактивного углерода-12. Плата за повышение надежности составляла: 100 долл. за первый процент, 200 - за следующий, 300 - за следующий и так далее до 90%. Повышение надежности измерялось только це¬лыми числами. Обе надежности увеличивались в одинаковой сте¬пени. Таким образом, чтобы увеличить надежность, например, на 5%, нужно затратить 100 + 200 + 300 + 400 + 500 = 1500 долл.
Задания:
1. Не проводя детального анализа, скажите, следует ли рас¬сматривать вопрос о плате за увеличение надежности. По¬ясните ваш ответ.
2. Предположим, что зонд был закуплен до того, как было при¬нято решение поднимать или нет останки судна, и анализ результатов зондирования показал, что судно является «Йорк-Тауном». При каком значении R (где R - надежность) проведение подъема будет оптимальным действием руководства? Поясните ответ и приложите вычисления.
3. Предположим, что зонд был запущен до того, как было при¬нято решение о том, поднимать или нет судно, и анализ по¬казал, что судно не является «Йорк-Тауном». При каком значении R оптимальным решением будет не производить подъем? Поясните ответ и приведите вычисления.
4. Составьте алгебраическое выражение (формулу) для ожи¬даемой стоимости запуска зонда вне зависимости от того, что он покажет. Выразите эту величину как функцию от R (не забудьте исключить арендную плату 3 тыс. долл.).

Ситуация 3
Супермаркет «Север».
«Север» - недавно открытый супермаркет в Северном адми¬нистративном округе Москвы, где существует большая конкурен¬ция между подобными магазинами. Новый управляющий Петр Перфилов понимает, что при высокой конкуренции покупатели скорее пойдут туда, где им предложат лучшее обслуживание и более широкий ассортимент товаров. Он гордится своим магази¬ном, большим выбором различных сортов мяса и сыра, а также мясным прилавком, где покупатель может попробовать нарезки мяса и птицы.
Петр уверен, что быстрое и эффективное обслуживание может привлечь покупателей и повысить конкурентоспособность. Он ввел систему безналичных расчетов за покупки и внедрил службу «Доставка на дом», чтобы сделать приобретение покупок более удобным, особенно для пожилых горожан. Следующий этап - установка новых кассовых аппаратов, недавно появившихся в сфе¬ре обслуживания. Основной вопрос: сколько аппаратов следует установить? Слишком много - нежелательно. Но не потому, что появятся дополнительные издержки. Более важный аспект - эф-фективное использование площадей.
Планируя новый дизайн системы контроля, Петр собрал дан¬ные о нескольких последовательных субботних, наиболее посеща¬емых, утренних часах в своем магазине. Он заметил, что покупатели прибывают на контроль приблизительно по 10 человек в час. 20% покупателей оплачивают 10 или менее наименований продук¬тов, и в среднем их обслуживают в течение 2 мин, в то время как на покупателей с более чем 10 товарами кассир затрачивает по 4 мин.
Задание:
Помогите Петру определить, сколько новых кассовых аппара¬тов следует установить.Показать/скрыть дополнительное описание