Курсовая работа: Измеримые функции

Содержание

• Определение и простейшие свойства измеримой функции
• Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что
• откуда следует измеримость множества E (f ³ a). Измеримость прочих множеств вытекает из соотношений:
• Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество
• Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения
• Дальнейшие свойства измеримых функций
• MQ = 0 (1)
• Но так как
• n1. Вообще через nk мы обозначаем такое число, что mE(½fnk-f½³sk)< hk, nk>nk-1. Последовательность (*), таким образом, построена. Теперь установим, что почти везде на множестве E будет (**) Действительно, пусть , . Так как R1ÉR2ÉR3É..., то (теорема 12) mRi®mQ C другой стороны, очевидно, что так что mRi®0 и, стало быть, mQ=0. Остается проверить, что соотношение (**) имеет место для всех x из множества E - Q. Пусть x0 Î E - Q. Тогда x0 Rio. Иначе говоря, при k ³ i0 x0 E(|fnk-f|³sk),и, следовательно, |fnk(x0) – f(x0)|0 существует такое измеримое множество Еd Е, что: mEs >mE - d; 2) на множестве Ed стремление(*) происходит равномерно. Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что при любом s >0 будет (1)где . Заметив это, возьмем сходящийся положительный ряд
• Теорема доказана, ибо ni зависит только от e, но не от x.
• Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
• Но легко видеть, что
• В самом деле, взяв две стремящиеся к нулю последовательности
• Легко видеть, что yn(x) Þ f(x).
• Действительно, какое бы s > 0 ни взять, для n ³ n0 будет sn