Книга: Методичка - Ряды Фурье. Уравнения Математической физики

Распознанный текст из изображения:

Феаеральиое агентство по образованию

Московский государственный техвический уииверситсх

"МАМИ"

Кафедра "Ириклааиав и вычислительван математика"

К.А. Когап, К.А. Лопаиицыи

РЯДЫ ФУРЬЕ. УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие

по дисциплине "Математика"

дли студептов всех спепиальиостей

Москва 2007

Распознанный текст из изображения:

УЛК 517.91 (075)

1. РЯДЫ ФУРЬЕ

Функциональныи ргд вида

7 з(п пх зтп юхдх =;. при и ч в л

л

соз пу соэ юхдх = О,

!' з1п пх сов юхдх = 0

Ф

лля любых и н к.

Каин Е.А., Лопаницын Е.А. Ряды Фурье. Ураянсння математической физики. Учебное пособие по дисциплине "математике" дя» студентов всех специальностей. Мс МАМИ, 2007. — 89 с.

Настоящее учебное пособие явлаеюя руководством к решению задач по разделам дисциплины "математикы', посвященным рядам Фурье н уравнениям матеМатвческой физики. Ояа содержит краткие теаретнчеакне сведения, примеры решения типовых задач и варианты расчетно — графической работы по рядам Фурье в уравнениям математической физики. Пособие предназначено для студентов всех специальностей. -Библ. 1О.

Ф Коган Е.Аэ Лопяиицын Е.А..

Ф Москозскнй гшуюэр~~~е~выйтехннчеаквйуМщ р ат "МАМИ"

Трлганоиетрнческие ряди Фурье представляют собой эфрзкткв)шй яатзчатичгскнй вггарат, который иирака прииензвтся в эрнкладнод автоматика дэы ревекка обыкновенных дифбгренцнальньх уравненлй и дифференциальных уравнений в частных сронзводных особенно ннроко применяются ряды Фурье прн изучены колебательных н периодических арсцессов и явлений.

1. 1. Условия дирихле. Теореиа о разловимости

Функции в ряд Фурье

а,

— Е (а„ СОЗ ПХ " Ь„З1П ПХ) = — + а, аоз Х + Ь, З!П Х э

весов 2х Ь,щп 2х . ° а„ соз гш + Ь„я!и пу

называется тригонометрическим рядам, а настоянные а„. а,, а,,

.,Я„ Ь,, Ье. .Ь„ - Казфрнсшаятанн .РЯГОНСЫЕтРЛЧЕСКСГО РЯДа. есгл ряд охотится, та его суыма определяет периодическую Фючкцию (('х) с периодом 2л.

Наиболее распростраывпяыы и чаяныи для пригалвнин прныеооя чсрлодхчосквх Функций являютоя Функцкн авда Я зтп(пх ь е) = = а ссз гх + Ь з1п пх, называемые гарионикаии, тат. как онз описывают гарыоническнз колебания с амплитудой Я, частотой и н начальной Фазой е.

Гзигоноиетрическкз Функщи ооя пх и з10 »х абладаат сионе твои ортогональности. пто означает, чта на любом иьтсрзале данной, раннои порноду т=2л. в частности на отрезке (-л.л)

Кроне того, тркгонометричвскле Функции вида газ пх и юп пх удовлетворяют на проыеяутка (-х:Л), так называеиыи, условняы дирихле. Говорят. чта Фуякпия 1(х) нс проивяутхе (а, э) удавлетва-

Распознанный текст из изображения:

Г(с-О) э Г(с О)

Я(с)

(1.2)

Г(-Л'О) + Г(Я вЂ” О)

в(яж)

2

Ыв Г(х) — Г(с-о),

х-с,-с

1)в Г(х) .- Г(счп).

х сто

О а х=с Ь х

а„= — ~ Г(х)соз пхбх.

к

1 и

а = — 1 Г(х)бх. о х)я"

Рис 1.1.

1 Х

Ь = — ~ Г(х)з)п пхбх.

ряет усговкяи днрихле. если она нв зтсч интервале кусо:но-мозитонна и ограничена. Функция Г(л) кусочно-ионотояыс па отрезке (а; Ы, если его юсино разбить конечным числом :оык х,, Хэ, .... Х„ , На ИптЕОВаЯЫ (а; Х, ) . (Х, . Х, ), .... (Х„ .,; Ь) таК. Что на каждом из вих Функция монотонна, та есть либо невозраотэмяая, либо неубывающая. Функцля Г(х) — кусочно-монотонная к ограниченная на (а;Ы, мажет иыеть на отрезке (а; Ы только тачки разрыва ;черного рода, то есть такие точки разрыва, лля которых сущаствуют конечные предел ные аначеняя фуыкпел при гркбликеыни ое к точке разрыва х=с слева я справа (ск. рис 1.1Г

Основная задача теории рядов Фурье,(ггрисническаго анализы состоят в следующеи: требуется выяснить. козью лэ, к прк каких условиях чредставить произвольную перислвческую Фуюпию Г(х) в виде сумин простых герионкк'разной частоты.

ответ ка этот воырсс'даатся теоремой о рэвясснмости Функ(изи в ряд Фурье: если перлсдкческая Функция Их) б периодом йи.фдоы. летэаряет условиям йирихле: тп она может'быть представлена в анде равноиерцо сходящегося тригонометрического ряда Фурье

ас

(к) = —, ' 2 (а„соа гщ ' Ьц. з1п пг) -1

причеи суииа членов полученного ряда й(х) равно зГГэчеупГГз эуящ;кк Г(Х) В тЕХ ВНУТРЕННИХ таЧКаХ Вятараапа (-К;К) О КотаРЫЯ фкнспа Г(щ) непрерывна. й точках разрыва функции г(х) суима ряда туг

равна среднему Гзрнфметическоиу предельных значений функция слева

и справа от точки разрыва х=с, то есть

а на конс(ах интервала сумма равна

Чосффмпионгы ряда Фурье определяются кз услсяяя астогоыальаости тригонометри ГескГГх Функция и с учетом того. чго пля равномерно сходящлхся рядов допустима перестановка порядка сумикрсванвя и инге †,гвронания Поэтому, иятегрируя сначала равенство (1 1) почлеяно в продалах от -к до к, найдем а,. за ек умноэля обе чзстз равенстэа (1.1) не оое юх и интегрируя я :ех же пределах, определим з в ъалогичным приемам ( укчоиая на ясп юх) находим ь„. в результате фориулн для коэффициентов ,'.:ла Фурье бу.— дут вмете чкп

заметим, что усяовкям теоремы разложимостя удовлетворяет весьма ккрокий класс Фунхцый. Так, для разложения Фуыкции в ряд Тойгора требуется, чтобы ФунГГПмя была не толька непрерывной, но и бесчислеяное число раз дифференцируемой (так кел коэФфициенты ряда Тейлора выражаются через начальные значения фугкпни и ее чроизводяых), а в ряд Фурье кожно развожить Функцию не только непрерывную, во я имеющую тачки разрыва первого Гыы.

1.2 Ряды Фурье для четных и мечетнмх Функций

С ПЕРИОДГВГ 2К

еслк функция Г(х) является четко(Г. то есть Г(-х)= Г(х),та

Распознанный текст из изображения:

1.3. Ряд Фурье для Функций

с произвольным периодом Т 21.

Г(Х)СХ = 2~ Г(Х1бл

ж . х

с

а,

Г(х) = — ' ь Е а„саз зх 2

(1. 5

причем

1~ ' гдх

а = -~ Г(х)соз - — сх.

1

а — — Г Г (х) ох. О 11'

ыи

Ь„- — ( Г(х)зтп — бх.

(1 11)

а, Гткх

Г'(х) = — ' Е а„соз —,

('. 12)

13)

Г(х) = Е Ь„ з1л пх

пях

Г(х) = Е Ь„.з)п — ',

1

1Е)

зрлчем

2 Я

" — ~ Г (Х) ЗГП Плбл (П=1, 2 с

9)

ое грайик снннетрнчен относлтельнс сок срлптгат к

Тогда Формулы !1 3) 'упранавтся. Действительно, ползвтеграгыия Функцьсч Г(х)з1п пх является нечетной. и Ь„- О, как ынтеграг. ат. нечетвсй Функции в симметричных пределах. а коз(йнцнэнс а„ отлет

ж

а„= — ~ Г!х)оса ахах = — ~ Г(х)соз пхбх. (1 а)

о

так как палынтегральная Функциз является четной. Гакам образок. Ряд Фурье для четной Фувкцнв. Удавяе всрягл(ой условиям гвркхле, не содержит сянуссв л имеет внд

ГГх)осэ Пкбк (П-0,1,. ) (1 5) 2 л

я )о

если Функсня Г(х) является нечетной. Тс есть Г(-х) - Г!х). то ее граФик симнетрнчен относнтельно начаз1о коардннат. Тогда а,= О, и так как Функция Г(х) соа пх является вачетыой, та а„=о, хак нятеграл от нечетной Фуыкцнн в снмнетркчпых лрелелах. а коэФФнцнент ь„ судет

Ь„,= — ~ Г(х)в1п пхбх = — ~ Г(х)з1п охах, (Г.т)

поэтому ряд Фурье для нечйтной Функция, удовлэтеорявней условнян

Лнрнхле. оодержнт только сннуоы н имеет пкз(

' ЕеГ - 1()

Если Г(х) — перясдкческея Функция с перяодон т †.2'. Удовлетворяюжсл услоэяяы Екрихла, тс выполняя замену геоомепной по Фор- муле

1Л

х=—

я

получ1см Функцкл Г ~ — ( переменной с с перлолстГ )х ее 1зожпс

я

разлологгь в рял Фурье ыа отрезке (-к, к) Возврг.(з сь целее к старой переменной. получим разлсженне Функцнн Ггх) с чрснзволькыч перяолом Т -21, в ряд Фурье вида

ао пхх пхх

1'(х) = — + Е ( а„соа — + ь,з1с —, 11 1о)

анаяогн п(о (1 5-1.5) н (1. в-1 9) получен Ряд Фурье лля четной

Функция с периодом т вь.

ПГ;.'Х

а„= —, ( ГГх) соя '— бх (п=о,(,

В

ряд Фурье для нечетной Функцнв с периодом т = 2!л

2 пжх

Ь„- — ( Г(х) з1п бх, (п=(,2,

Распознанный текст из изображения:

32

-31,

ь

4

Рис. 1 2

г и - пйи Т4 Ф х с б,

1(Х).= .( Х/2 Щд( Хбзрьн С 2„' '. х:2-1. щй, 24х 4 4,

1.4. Разложение н ряд Фурье непериодических Функций

Пусть 1(х) - наыернолическая, кусочно испотоэнач э сграннчснвая Функция, заданнал на конечном проиекутха (-).. ь). пргоовдиннм х графику заданной Функция все ого горизонтальные оиецены на расстояния, кратные 2!, (ыа рис.'.2 они показжа пункткром). Тогда получгл периодическое продоикеиие заданной Фунждин нв всю ~нолевую ос . Получившаяся периодическая эспомо~ ктвльная Функ~о(я (" (х). определеняая на всей числовой оси. в соотпетатэяя с теоремой о рааложниоотк конст быть представлено в виве ряда ФУОЬЕ (П )О), ('. 11) .

но для всех х (-(,. 3), к[эсие точек разрыва х- щ значения вспомогательной Функции совпадают с заланной: 1",(х)) 1(х). Следовательно. суима члеяаэ ряда Фурье для вспоиагательпсй Функция во воех точках х (-ь: Ь), кране точек разрыва, даст'значения заданной Функции, поэтому разложение недернод)гчвской Функпкж в пяд Фурье в деиотэитеяьпости осувествляетсЯ без привлечения всосмо-: ГатЕЛЬыой ФУНКЦИИ НЕПОСРЕДотнвилс ПОь ФОРИУЛЕИР .()Т)б), (1. 11).

пример. Разлоннть в ряд Фурье Функщй (т(х). заданную на отрезке !-1,4) график Функции -гредставхенонв"рисунке 1.3..

э .г 4 О

3 х

Рнс 1 3

Кпх ~зздчо иэ рясугха, Фую~цля 1(х) удсэлотэсогот условняи

мм

Нозфрз(о(енгы рщ(а находим по Формулам (1 11) прн (. ' 4

а„ .— — ~ г(х)сх

1

Таг ни йункп)щ '. (х) кчеег разнэн выражения ыа -озх у щ тхах

оси жутка ~ 4, 4), ", ' интеграл в (1 17) разбяваеь' на тухту гоех

' ~ )' ' '" " 1 - '"" " 1 ( 3 -1)" )- '

г ' пкх 1 о пх;.

— г(х)осз †' бх †. — [ ~ О соэ †, — сх

— *оэ — бх - ~ ( — -1) соэ — и.

,1огле нахояденкя интегралов (с использованием Фоочугы интегриро-

2 1 гк

— (соэ(пх) — 1) — этп — '"

',пх) пн 2

нозффинг(еыт и„ опроделяется аналсгичяо:

Распознанный текст из изображения:

)а

1'(х)

1 '-' Х

Рна. 1 4.

Саэ(ПХРВ) г Саз(ви) 1 ПИХ ° — — ~ э1ч пх

Б(-4):- Б(2) -.: Б(4) .—. — -: О, б.

1гб

2

(1. )8)

Пс - — ) 1'(Х)ЗГП вЂ” ОХ вЂ”. — ~ ~ С ЗГП вЂ” ' ОХ 2

(ГК

— соэ — . Оас(гх) )

тагГРРГ ОбРаэаи. РНД ФУРЬ~ ДЛЯ ЗалаННОй ФУРКЦКН ПРГ ЧЕ" ВНЛ

1,( 2(соа(пк) — 1) '. ги( пхх (гпс)Р ' пк ' 2

Во всех точках кепрернвяоати Функция Г(х) оуима ряда Б(хг

оовсадает с ее знз )енияни, а з то гках роэрнва апа буде-. Ранна:

1.5 Разложение в рид Фурье Функции Г(х). определанная на отрезке [О,Ь)

Функцию 1(х), оцредвлвнную па отрезке !О, и) и являющуюся но этан отрезке кусочно монотонной н огранхчгнной, ыожоа разложить в ряп Фурье двумя апосоаами. Пля этога д.отатачно мысленно 11РЕПСтаэн)Ь Празолженае Фр"нкцни на интервал (-Ь,О). Воли продал жанре Г(х) на янтервал (-1.О) четное (снмгетрцчнае',;'стноскгели ис оах ординат). то ряд Фурье можно Ггапнпать( по Формулам '1 12). !1 13), то рать по кооняусам. коли продоитлть Функци ю Ггх) на (-ц О) нечетннм образам, та разложении н ряд Фурье будет ьйэедстаалеио Фсрмулаэл ( 1. 14), (1. Гб): „ то еотьгпо. синусам. Ори этом аба ряда булут иметь в интервале (ОР Ц,оляу.и ту же оу)гму

пример. Рэзловить в ряд Фурье функцию.т(х) = х, задам)ую нь промежутка 'О: 1).

1г Разложение е ряд по косин()снм'

строюг чатноа продалнение Функц)и(О а роседякй попугаи а-ч ал

э) аале ггуггкьггг Г('х) виг сто с ое еэьгьч г(,глснжггогерг еа О ) н пссэедуихкм прололжепрам (Гга пррпопу 1 2 гс: с)г ась ар, п*ггаэагг на рхс

'Гач кек 1..1. тэ Гнл Фурье ллр дэнвай Футгкцнн пря:чн.он (,чслгмэ. ьггк будет нчаэь авл

Г(х) - —;-" 2 а„саэ пкх, 1Б) 'гри этан

,, —..- ~ Г(хр)х = 2~ хбх =. х' ! - '.

'р о о

Ггх) "оэ пкхбх 2 ~ хсоэ Ггжгг)х

х" и

о

В РаЭУЛЬрарв Пахтнггм ЦРН О(Х(1

2 х' „., и' 2 этг

ца Ггсей осл с рял охалнтся к Функции, нзабаао гпа(г нэ ако

1. 4 2' Разложение е ряд по синусам. От(аим нечетчое срололженив Функции в соседний,алуинтервал О) ГараФик ~рункьтог (х) вместе с ее почегнкк пропалжениеи

яа ( '., О) и пасгедугсяим чериодическим ирадалхекиеч на всв ьжс-

Распознанный текст из изображения:

Г

Л

т — )—

'-2

1 О

Г(х) = 2 П„ 1 . х,

((.20)

ГЬЕ

гт

~ Г(х)Ф„(х)бх

а„

~ Е„'(х)бх

(1 21)

ловую ось Ох покааан яа рно. 1.б.

Рно. 1 5,

црг не ~огнем разэ скении

Р

и„ =. †' ~ Г(х)зтв пкхбх — 2 ( хз)п плхбх = — — —— ). 'О

йсэтому ряд Фурье па сивуоам дэм данной Функции прн 0(хг1 судет

иметь вил

х — 2 — — в)с гнх = — !з(п лх - — з(г 2нх — з)п злх —.

(1.21)

в то псе х=1 схима ряда будет равна нувю. хотя иоходвсл Функция равно 1. зто ооусловлено тем, что прк,такби иерноличеоу кои продолкенви точка х=1 ставовигся точкой разрыва:

Из сравчнпгя выражений (1.10), (1 21) следует,. иго скорость схслимсотя рялз (1 10) выыс, чем ряда (Г.21)(, бяа опрсделяатся в гесвси случае иножиталеи 1упз, а во втором„слочае иножнтелеи— 'хп. Поэтому ьазложенне в ряд га косинусах('в' дам(ом случае вред)счтятельвее

в обжем случае нежно показать, .что )во)в(, Функ)тля Г(х) яе об радается в нуль хати бы на одном,жв(ко)ц)бв промежутка (О; в), то .Рэдпэчтнтельпее ее разложенае..в рлл йв кппул(усам, так нак пр1( стт:.Ои псололненни в соседний полтннтвйв~,рункплн бУдгж нэ-,рв

сыннсп (го ряс 1.1). н гксрооть схаднмсстж под,,этиегсся ряль Оупгт вьлп", ~а ряда по синусам всю Функция.:"данная на (О;

б;ю)аогся в нуль но обоих концах кнтервала, го пргднсчтк. теяьнее о пасло)юнна я ряд по синусам так кан гэя этом булэг ыепрорыэпой ль тояько пако Функпнн Г(х), но Х ое "зроо. пролз волн,л

1. я. Обобженный ряд Фурье

Ортонориироаанные снстеиы Функций

бувкьнн е„(х) н е, (х) (и, ю=с, 1, . пко,' назцпэюгся ортегов

нагьньин еа 1а,с,', еолм

е„(х)е,(х)бх †. и. 22)

ь

Пря этзк гюолпсгсгазтгг, что ~ чч,э(х)бх о О

Рассчет(ым разлскснкз Функцнв 1'(х), ОГ(эолов ь: ой Гз О'грезкэ

оп О), В РЬГ( Па Осотеис аРта: СКаз(ЬНЫХ ОУНКПП(, Е,' .

У а,э„= а,в, ' О~и~

гле коэвйнпненты с, ( 1 = О. 1, 2 ) являются постояьгцяя чясламя. Дпя Огазд,ягнлл коэбйициентов разложения а, учл.жнм павгчство !1 20) на чч,(х) я проннтегрируеи гючленяо ка отрвысэ (а. Ы Получим рвяеястьо

Ь

Г(х)чь (х)бх — а„ ~ Р,(х)в„(х)бх а, ~ Р,(х)е„~х)бх

ь

. а,( Е„э(х,бх .

В силу срт гопальнсстз Функции е,(х) все интэграль в ыраван части равенства булут равны нулю, кроме огнсгс (ч гда и-ю) Отсюда следует. что

Распознанный текст из изображения:

15

Гд

б'у

21 —. - О(х(. пхл

( В„я(Х(ПХ =. 1,

(1 251

ПРИ О ( Х ( ! ГЛ,

при (УЛ(Х ( ЬХ2,

ПРЯ Ьгя ( Х ( ',.

— Пц хл(.

ц(х( -(

( (р.ЧЬГОПХ = р.-( Е,ва

у

получим. чта

Рис.

ПРЛ Х=О У(О( = У (О1 = О,

при х=(, у(ГП вЂ” у ((Л =. О.

(1 2О

а, - ( Г(х(в„(х(ах.

(1. 28(

пхх

ц(х( = Г О„злп — .

1.

291

Ряд (1.231 по сис(еие артагаяальных Функций, «оэвыцюнты которого определюотся по Фаркуге (1.2а1, называется обобненным рядом Фурье для Функцхк Г(х(.

для упроценкя Фариул для коэну(ь(иектюв применяют, тзк наэьваемое. нормирование Функции.

снагема Фузкций е, (х(, в, (х(, , е,(х;. Оязынас Гся норякраванной нв ('а; п(, есгз

оправеллква теореиа; всякую ориоеонпльнию сисвемв Фликцын мамка нормкроеаиь. Это означает. что мокко палобрать постояккые числа р, р,,...,р„,... так, чтобы система Фуыкцкй р„е,, р,в, р„в„. , оыла не толька ортогональной, па и нормированной. Дейстюггйлькс, иэ условия

ь

Числа ((чь (х1(( = у Г льэ(х(ах называется,нормой Функции Р,;х(. йслл систеиа Функции нормлрована. то. Очевкдно, Цчу,(х((( = 1. последовательность Функций Ф,(ХГ, в,(хц .. Ф„(хц .....апреле. лвнных на.са,п(. является артонариироввниой ва этом. интервале, осли всв Функции нормиравакы н взаимна ортогональном на (а.п(.

для ортогориирсвакнай систеиы Функ(В(и каэййхцкенты абобл(аннага ряда Фурье равны

1.т.применение рядов Фурье

к интегрнровамию диФФеренциальиых уравнении

Раооиатрки прнмененке рядов Фузье к янтегрнрсяанмю п,лкча-

конных лю16ярспвивльвьх уравнаний на примере краевой залачл об иэг(бе балю настоянного поперечнсга ранения, раз Гиччьм образом злкропленюэп на концах.

Личзвеввнциальнае УРавнгнве изгиба балки макет оыть завиолно в виде

глч у(х( прогкс Галки О произвоэп нэм поперачнаи сечгнин с аза циссай х, 51, -сопя( - яэглбная жесткость балке (и козуль упругости латернала, 1, - иаиент инерции посерею ога со пг:.ия(.

Пусть поперечная на: рузка на разных у (асгиаХ баххх льлзка В аиде (см, рлс 1 61.

Гассиотрнм два варианта граничньх условии.

11. Пусть:раннчвые условия имеют яид

Этн граничные условия соответатвуют балке. свободна опертой па лавам конце и яоатка заыемленнаи на нравом (си, ряс.1 п(

Решение. Раскладыааеи Функцию ц(х( в ряд Фурье па скнусам ла праиекутке (о, Ы .

Распознанный текст из изображения:

17—

(1 34!

б»у

21» — — Е Ь„я1п —. бх»

(1 31)

С, - 3 Е (- !)" Ь»

(пх)'

б у пях

2)» ~ — ОХ = ( 1 Ь»З1П вЂ”. ОХ,

»» бх'

получим

й)

ЕЕ

бз у ). Охх

'' бх' „,'" пх д

.»Яалогнчао находим

1.» х

— Е (-1)" ь» ——

йрк х . 372 проглс балки будет

О З.'П вЂ” — бк ~ О,З1П вЂ” - ОХ 1: ---". )2ГОЗ—

пх 8 пх

!1 37)

2 пл 4

Псдставляои (1.28) в уравнение (1.27)

Уваяаяккя (1 31) Иит»ГРИРУЕМ чвтаЛОМ ОО»)ИВЕК»)Я ПСРЯПК

Интегрируя Вернь!й раа

1» ! г

— — ) взп —" — Сх»С,

бу» !. »» Пкх х»

Е!» — — Е Ь„~ -'- ~ соя — + С вЂ” С х», С

Ваги. разделяя переииьные и интегрируя последнее уравнение

о»учим основ романия лищеренмыьногс ураваейия (1 27) в виде

пях хя х' '

11,У = Š܄— з1п —, » С вЂ” » С» —.+ С х С . (1.32)

для одрьяеленкя произволькых постояннмхг с с, с с

подставляя»! Ревекке 11.32) в граничные .условия (1.28)

из пезвого условия сри х-с следует

с,=о. (1 33)

Из Втсрозо УОЛОВНЯ при х'.С

с» = о.

йри х-.!. из тоетьего и четвертого граничных услозкл получим скот!-му )В»УХ линойннх алгебраических уравнений откоок)Е»)ЬНО произволы мх псстояяию С, и С,

)»

~ с, -'— , » с,ь = о.

!» ! з

С,;д + ". = . Е Ь„~ — ) СОО(ПХ)

2 » „- пл

Разреяяя систеиу »1.34) и учитывая, что соя йп() = (-1)".

находим

С = - Е ( 1)" Ь„! = ! (: 35)

8 результате, ревекке краевой задачи (1.27).(1.28) примет

ВВД

). »», пхх 1 . „„Ьх'

пх) 1, 2„, ' (пзрз

и»и! пасло папстаяовкк Ь„ и злемснтарных преобразований

28 '» 1 пх пх , „ 8

у(х) .— †' - Š— — (йсоя — — сов — » р 1)"

пи 1 Пнх „х» х'

я1П вЂ” ] ~ — я1п — + (-1)" — ~ ! — — ~1

4 пх Ь 21.

2Д Ь» 1» ПХ ОХ» 8

У(!»'2) — — ' Е Ог — ~2соз — — соа — + (-1 " 11,х',, и» ~ 4 2 пк

пк» 1 пк 3

з!и — ~ ~ — я1п — + — (-1)" ~ пк 2 18

Распознанный текст из изображения:

пря х=о у(о) = у''(о)

прв хув у(О) = У''(О) = О.

1. 36)

пях

у(х) = Е у„з1п—

1,

37

7 Пя ~Ч , ПИХ

21, 2 7„1 — ~ з и †, = 7((х)

д(,у„( †'х ) — и„.

Огрвничизаясь тремя .ервьми члонаин ряда, кайдзт югюч няс

щюгиба бали в оеоеглне пролета

У((22) = О. 0033 -"—

61,

2) пусть оалкв овободяо огерта на обоих ко!чнях тогда граыячиме условия запиюутся в вкпе.

Дгя данного варианта гранк ~ныл уолозий искомая Фупчнкя )(х)

может бить разложена в ряд Фурье по скяусам на промежутке (3,)Д,

)зевком ллияо балки:

так как квилмй член ряда (1 37) удозлетвсряег всем граьпчслчм Ус

лояияи (1.36)

,золставляя (1 37) в уравнение ~1,27), полу ъ.м

Далее раскпаднвавк в ряд Фурзе пс синусам в* ьроиовутке

(О, ь) с.рзяуп ыст урзвнекия (1. 39), тс есть гриниквеи ооглсснс

(1. 29)

пих

й(х) .= 2 (Ьз)п — .

ПрК З7ОИ КСЗФФН:(Капт Пч Прк Прннятсй НатруЗКЕ (См ГНС 1.6) будет сгредедятьоя па Формуле (1. 30). подставляя (1 79) в ,1.36), полу ми равенство

7 Пи )' ГЛЬХ ПХХ

Е 27„' —, зьп — =У.озтв— нз которого сзвзлует

кз (1 39) о учетои (1.30) нелзвсстннй козФФииионт разложения прогиба У„ енрвзится через известний ксэюбипюеят рззламепия нагрузки по Формуле

Ь„(,' 2„).' пк пл „6 гл( )

21, (пк)' к(„(пл)з ~ а 2 пя "

в резун тата, ревение краевой задачи (1. 2)). (1 36) примет вид

Зд,ьк 1 7 пк с~~~,ч

у(х) = —,'— 2 — (2саз — — соз — +(-1!

з1г — ~ я10 — .

пя ) пях

(1.40!

а!'

В частности. прогиб в оерелинв пролета гра х = (дз и и-1

будет равен

ею 1,'

у(Ь'2) = 0,0091 — '—

21„

Распознанный текст из изображения:

яс 21

2. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ФИЭИКН

2.1. КлассиФикация уравнений и постановка задач

математической Физики

Бальюипствс Физических процессов разлкчной природы чали ируетсл диФФервнциальнымы уревненкями в частных производных Наиболее часта ори этом встречаются лэмвйн ггг уравнения второго порядка Их изучения и ссстсвяяет поггд)лэт матэ!»этической Фнзн!о(.

Ииййеренциальним уравнением в частных производных называет ся соотноюеннг менду покопай ФункциеИ наскок,ких перяггэнных. ое чаотныин про»вводными н ыезавнсниыии псреиенныив

Иля двух незввиоимых переиенных х я у дн(4врэпциагп псе уревненле в частных производных второго порялка ч обцем случае имеет вид

дп дц до! д"1! д и

)ф(Х. У). »,у, —, —, —, — —., — ~- О

дх ду дх' дхду ду"

Неллы пкй порядок частных производных, нходялях в уравяснне, определяет псрялок дкФФеренциальногс травле!)иг!.

уравнение называется линейным, если оно линейно относительна искомой Функции и воех ев гроизводных Лиг!ей!!се ляФФсрегцяальноо уравнение в частных производных второго пормдка с двуыя независикыки гереиенеымн лиеет слелуюнкй вид

д'ц, д'и д и дп дп

дх' ' дхду ду' бх ду

(2 1)

Коэрбя'(кенты линейного уранненкя могут зггзнсеп ст пгречен- ННХ Х. У. То(ДЗ ГЗНСРЯт, Что УРазивянэ (2 1) ЯВЛЯЕ1 СЯ УРсзвэННЕМ с г!еречвнчымв коэФ$лциентамн Езди ((х, у) =- О, тс уравнение (2. 1) назнвеетзя линейным одмороднни. Н прстлвчси случае оно будет линвйным неоднородным.

Уравне:мя математической Физики могут быть разделены на трк кзаоса. Уравпзния незлого класса обладают сони!ли свойства)ля ре° еняй. Н каялом лз этих классов всть простейюве уравнение, вазываюгое каноническим. Нринадлезлость ураенския -сму нли клоку

классу определяется саотно:гвинеи иежду ггозбуипие!и вил при стар. юих врсизнодных

Есле в некоторой области плоскости хсу днскрягмознт ураэее нЯЯ (2.1) А:: (агг)г — а,, а,г ) О, то говоРЯт, что УРавненке (2. 1) судет в этой области гиперболического типа. Тгл» в некоторой области плоскости хоу длскримкнант А = О, тс ! этой об.мсти уравнение имеет параболический тип. наконец, если э сэкоторой области А ( О. то уравнение в этой области лиеет эллиптическяи тип.

Освсвныии уравнениями иатематической Физики являю!с!я )г. ВОЛНОВОЕ УРанывынз

дгц дгп

— аг

дтг дхг

Ото однородное уравнение гиперболического типа Онг вписывает процессы папереччых колебаний струн, продол .чыв колебания стержней, крутияьные колебания валов. колебания тока л напряженна в проводах к др. дкнамические процессы (здесь и Ивлев х— пространогвепогая координата. 1 - времл).

2). Уравнение теплопроводнооти.

дп д" ц

аг

д( дХ'

Это однородное уравнение параболкческого типе Оно списывает процессы распрострвнвния тепла в стеринях, зад! м Фильтрвцнм лидксотей и газов в пористых средах я лр.

Э). Уравнение Калласа.

дец дец

— + — - О

дх' ду'

Это однородное ураныение злднптического типа Урззывпив Лапласа не ссдеринт времени (х и у — пространственные координаты) и описывает стационарные процессы в електричесгг»х и магнмтвчх полях. задачи стационарной теплопроводности, !»но!не стацганарныв задачи гкдрсдинаиикк. ди$$узил. прочности и др

Любое днйберенциальвсе уравнение иатеиатичесной Физики яие-

Распознанный текст из изображения:

ЭЭ—

сг Оесчгсленчсе множество решений. для получения эдлнотзе.пшга ог шшия необх одимо эаьанзо дооолвкгельных устшвий, которые позволяют однозначно опиоать коякретный Физический процесо. Иго нчества н ояд этих у лоол2 зависят От характера и но)ялка производных. зхслг!цих в уоввчеяие, От ФО)смы Области. а котсрср и~затон

решение уравнения, от характера взаимодействия рассматриваемого гогпг (или пропсосз а выделенном теле) с Окрулаюцей средой

В общем случае дочоляительныии успениями могут быть начальш ные и граничные условия.

началыые условия описывают состояние системы я на~алчный иомлш вромгни Для уравнения гиперболического типа эта)ются два гыгчэльннх услсвкя соотаотственно второму порядку сроызволэоз по воеиени, вхгдяз(ей в уравнение. Они характеризуют зели швы отклонений и скоростей то ~вк тела ( струны, стержня и до. ) а начать. ный момент времени )юш уравнения параболического тмпга ставится одно начальное условно, что соответствует первсиу порвдку производной по вреыеыи ( если искомая Функция в уравнении тсплопроьг дности ц(х. 1) -температура в произвольном сечении стержня а люОси момент краиепв :. то яачвльным условием задастая распределение температуры по ллине стеожня в начальныя момант времени (-0)

Гравичяыь условия для волыаоого уравнония (соли оно вписывает. например. попере шые калэбания струны конечных размеров) характеризуют поведение концов струны в яроцесое колебаний и завясят о характера кх закрегленяи.

Для уравнения тоглсцрсводности стержня граничные условие ичщот существенно различный вид в заниснмоотл ст характера геп— лосОмона коыцоь стеРкня с окрузающей сРодой.

Дзш уравнения ОпяиптзчеСКоГО типа, как И Лпя РРавнення )тзраболическогс тяпа, также различают разные красава зада пг в завнсииости от условий на коатуре расоиатрлваеысй области.

Так, ослг ка гранкце Г сблаотя задано значеыле неко«си боч)кцин

)о

то говорят. что для уравнения Лапласа поставлена первая краеваг

зэльчэ (задача Дирихле)

Еслг яа граннда ооласти задано экачекке нормально(г ярсзз

вь(гой Ог ъокоызй Фунщ,ин

бо

' ц, гз - внешняя нормол к:рагнцен

сп

то говоэлт, что дяя уравнения Лапласа постачлень вторая краевая зала пэ (задача Неймана)

Если на грщшце облагги задано условно

Оц

цэ

бн

:о постаалеза третья кли смешанная кроены задача.

ЭЛОСЬ Цо, Ь,, Ц, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФИКЦИИ. СПРЕДЕЛЕННЬЕ На ГРЫШЭЕ

Итак. постановка задачи математической Физики включает в себя задание диййереициального уравнения в частных производных, описывающего исследуемый процесс, а также в общем случае граничных и начальных условий, позволяющих получить единственное решение.

если задача математической Физики поставлена корректно. то ее решение существует. единственно и устойчиво к малыи изменениям искодных даиньщ.

Ниже раосиотрены примеры резва)и основных ура"Ренин магона. ти шоков Физики разгищюго типа, аналогичных том, которгзе встречаются ь )эасчотпа.граФичоояой Работе. Рашенле задач строп)оя пагодам Фурье (методом разделааия переменных). этот ьштод является одним иэ накболее общих методов математической Физики. пригодным дяя решения Уравнений гиперболического, параболического н эллиптического типов в разгычиых областях.

2.2. Уравнения гиперболического типа

2,2.1. Решение однородного волнового уравнения

Рэссыотрни следуюыую задачу. найти заков когооания струны длиной )., Осы ь ыачальяый мсмеьт струне придана Форыа кривой

Распознанный текст из изображения:

25

х(С х)

вь

Х"(х) Т"(1)' Х(х) аеТ(1)

бец дни

бее

прл однородных граничных условиях

п(о. () = О, и(!., () — О

к вачадьннх условиях

—. -Ль.

Х"!Х) Т" (1)

Х(х) азт(1)

х(ь-х) ди(х,о)

и(Х,О) =, — - О.

61, ' О(

(2. А)

би(х, О)

и(Х, О) = Бо (Х), = Уо (Х).

61

(2. 5)

(2. 6)

«(х.(): Х(х).Т(с) 0

Подставляя '.2.6) в (2.2), голучнк

(2. 11)

Х(х)Т" (1) —. а'Х" (х)Т((>

а затеи струпа отпущена беч вачальной скорости ргрупа закреплена на концах. Внеянне сали отсутствует.

Эалача сводится к рет:ения однородно:о волково.с уравнения

В уравнении (2.2) а' — Т 'р. где Т усилие натяжения. а р — линейная пготяость (масса едлнцы дликы струны). Булак очктзть. что струна однородна, тогда р=сопз(

ЭамеВавйц, В обдем случае начальные условкя могут быть загисаны в ниде

гпе В,(Х), У, (х) - заденныа Функции. характеризуюцие соответ-., ственно начальные отклонения и начальные скорости точек струны.

Ремеиие начально-краевой аадачи (2,2)-(д.а) строки методом разделения переменимх.

Сначала каем частное ненулевов рекение сдкоРодного УРавыения (2.2), удовлетворяющее лиль однородным грани мьж условиям (2.3). в ваде произведения двух Функций. зависяжих каждая только от одной переменной

Разлете обе аотн равенства на а'Х(х)Т(1) о. прихадкы и

В зточ равенстве при изиепении 1 яеван часть остается постоянной, т(озтому булет постоянной з равная о2 правая часть. то еоть обе части равенства (2.7) не зависят ст 1 Аналогично рассуждая. врнходли к тому, что обе :асти равенства (2 7) ге завлсят и от х. Следовательно, они являются постояннычи.

Обозчачая згу сюстоянную через -хе (х>0, ее называют постоя.- ной раздзяения), та есть принимая

гслучки два незавиоикых обыкковенных линейных однородных диФФе.

ренциальчых уравнения второго порядка

:>) Т" (1) Х'асТ(1) — О, (2,6)

Х"(х) ь Хех(х) = О. (2.9)

Подставляя (2,6) в граничные условна (2.3), получим

Х(О) = Хы ) .= О. (2.10)

В оезультате, для определения Функция х(х) прихолик к задаче на собственные значения (2 9). (2. 10) ( залаче Итурма-Днувилля) эта задача имеет тривиальное реиение х =- с, не представгяюцее Фкзического кнтвресе (так как тогда и(х. 1) - =0). Однако при некоторых значениях параметра Х, называемых собствемниии значениями. задача (2 9).(2. 10) имеет решения, не равные тождественно нулю. Эти резонна извиваются собствеияыь>и Фунхциями.

Обсое релване урсвноиия (2 9) будет

Х(х) А 3 пхх " В созЛХ. (

Распознанный текст из изображения:

пкх

Ц(Х,О) -- П (Х) . К Аи Е(п

"и

(2 (3)

с)ц(х, О) пха га(х

— у„(х) — К и — о)п — — .

и 1

(2.20)

(2.(2)

А з(плат: О

(2. 13)

в(пЛО .= О.

Аи = — ~ Пи (х) эдп Пх.

(2. 21)

яп

Л

и

2 " ПКх

- -- - ( у, (х) з(п — бх.

о

ь

(2 22)

(2.15)

т„"(н) - ( †, ) т (1) .- о

хц.-х)

0(х) =—

80

(2. 16)

Кто обнлее решение ииоет вид

пяе' пдэн

Т (1) = Аи соя — и В„этп —.

и

П

Ь 1-(-1)и

Аи = —,

( ж)з

(2. 17)

(2. 23)

ИЗ Псрэатс НОЧНИЧНОГО уСЛОВИя (2. 10) Спэдузт В -. О. Падидияя (,

(СЫ.Е,2 (.') ЦОРОМУ ГРаэнЧЫаМУ УСЛООИНа, ПСЛУиИМ

Так Каи А - "О (ИНЭЧЕ Х(Х)иО Я Ц(Х. 1)ип. та Еот) бУпат таЛЬ-

ко трлгнлагьнае рошепие), то Лолдно выалняться условие

огаслэ Л!. †. лп. и . — 1. 2,.... Следовательно,

СсатВЕтатеуоиИЕ Этнн ЗпаЧЕНнян Ли Ссботевипнс ФуНКцКИ ЭадаЧЛ

(2.9), (2. 10) с точностью ло множителя А будут

пих

Х„(х) = э(п—

С учетом (2. 14) уравнение (2.8) запишется в ниде

падатавюя (2.15) и (2.17) в (2.6) и сумл(друя частные решения лмнвлнаго аднороднога уравнения (2.2), получим

пнан анан т . )глх

а(Х, Н) = К ( Аи СОЯ вЂ” Н В„З1П вЂ” ~ Э(Г. — .

(2. 18)

ГрсЛЗВОЛЬНЫЕ ПаотаяииЫЕ Аи И В„ НаХадим дапвс НЗ ИачаЛЬНЫХ '.!) условий. В общем ад~аз, подставляя решение (2 18) в (2.5), па- лучым

коли Функции 0,(х) и ч, (х) удовлетворяют условиям дирнхло, то ОРО)извел)ныа постаэыные Аи н В„ могхт 5ыть опРеДелен)ы кьк козФФициенты Фу(нье дяя аоотвэтствуюдих Функций при разложении(н ик в ряды Фурье па синусам на промежутке (0.)П, равном ллные атруяь тогда

Внрамение (2.18) с учетам (2.21) и (2.22) л дает окончагельыае Геннен)н(е задача о маЛНХ Собственнных поперечных колебаниях струн(ы.

Пля рассматриваемого конкретного случая. очевидно, В„ = О, гэк ьак согласно (2.4) и (2.5) у,(х) = О. подставляя в (2.21)

после двукратного интегрирования по частям получим

:(аДатаыаВКа (2.23) В (2.18) С УЧЕтсн Ви= 0 ПРИЭОДнт К ОКОН-

чательнаму решению начально-краевой задачи (2.2) - (2.4) в виде

пяан пях

ц(х, 1) = — К вЂ” соз — э1п— !2. 24)

з

Распознанный текст из изображения:

н(0,() . 7(',1) = 0

де и „см22 д(2 дкз

.— = ск —,- О(х. Ц,

(2 33)

С(0, С) = О.

цр„() -. О,

и(0, 1! .= О,

ь'(х, О) - О,

к(0. () . О,

дя(х.О)

д(

(2 ЗЛ)

(2. 25)

(2 35;

и начгльдых условиях

дп(х,О)

— — —. 2'„(х),

дг

(2 27)

п(х, О) = П, (х),

(2.35)

02(х) =. О. 72(х)

((х) = —,

Зух

Ь '

(2. 281

45). 1-(-1)"

В„

к2а пь

. О,

(2. 37)

(2 29)

п(х, 1) = 7(х, 1,) 2 и(х,'.),

022 дет

— а2

дт' ох'

(2 ЗО)

2.1. Решение неоднородного волнового уравнения при однородных граничных условиях и иеолнородных начальник условиях

гкс ш"1„ ч олвдуюцус задачу: найте эакоь колсоанкй однорсдьш) отру ш ллнысй ' под дейстяиеи внешней гарыснкче:кой 2илы Р рц 1;=.р('(х)зню21, рассчитанной на едя22нг(у ллины начальные уоловия про2(э(зсэькь. Концы струяы закреплены.

Зада:.а приясдктся к решению уравнения

д'с, д'с

— .— аг —,.— + О(х, 2) . (2. 25)

д 12 дх2

(где 0(х.ь,) - ((х)з(27ш() при однородных граннчзьх услозкях

Ранение зодачк (2 2б) †(2. 27) дулам строить к общем вида, яс

для определенности н дальнейшем примам, 270

а й,у - константы,

применяем редукцию исходной задачи 02 25-2 27, е именно вием резекне в виде

где 0722ксся 2,(х, 1) является решением начально-краевой задачи для

сдиорокногс д.авнензя

С ЭШШ10202СНК ГОШШЧНЫЧШ Ус,аазнаыя

я с задчшпкки )пэчзпьны2222 услоолякн

02(х,с)

2(х,о):- ОВ(х). — — '-'- .= 7,(х).

а Оункциь, и(х, 1) яп2)яется решенлеи ыа)альн27-крав2)ой задачи для

2)е(22(зарод2ьэго оольаесп о уравнения

пря спнорсдн222 гра22ичных н )2ачальных уолсэвкях

32227ь а ;2 30-2 32) спяоывает соботвепкыа колобания струны,

ев реше2222с кз22есттэ22 2см, 0.2 2 1. ныражевлс (2.13))

пял2. пка1 2 пхх

7(». Ь) = 2 ~ К„ ссз 2 В„ а1п — — ) Э10

тркчеы про(г)32элььп20 постоянные Л„, В„02)ределяются пс Вернула)2

(2 2:). (2. 22)

Вояк О„(Х) И Ус(Х) ОПРЕДЕЯЯЮТСЯ СОГЛаОПО (2. 23), тс ПОЛУЧКЫ

ПОЭТОМУ

вгь 1-( 1)" 72яа( пих

2(х, ь) — — ' 2 — — з1п — — згс —.

х'а „, и' 1, 1.

задача (2.33)-(2.35) описывает вынуиденные колебания струим при отсутствии начальких возмущений (при однородных начальных условиях). Решение ее ищем в ниле разложения в ряд по собственныи Функциям однородной задачи (2. 2. 2. 3) . 1ак как иын являются

Распознанный текст из изображения:

(2.34). Задача

(2.33) в уравне-

ЗО

пкх

я(х. 1) = 2 т„(1) 3!и—

3

у азт„[ пзса )' ) пос

(2.4а)

(2.4!!

3„ а(пк) [[ — ) .. юз1

бз т„пзю.

=,'"[ —,)'-'

(2. 42)

согласно (2.:3) синусе. то принимаем

При этом удовлетворяются граничные условия сводится к отысканию фучкции т„(1). подставляя ние (2. 33), получим

далее раскладываем в ряд фурье по синусаи на отрезке (О, ь

правую часть уравнения (2.4О).

ПХХ

Р(Х, Ц = Г(х) з1аюз = Х П„з(п —.

При ((х) = хух/1 (сы. (2.23)) получии

г (ь пях 2," Зух

пих

Оч= Я(Х,1) З1П вЂ” бХ = ) , З1ПЮ( З1П вЂ” бХ

о

4т " ' пхх 4 у (-1)"'

— з1пю(~ х з1г — бх = з1пш(

ь пх

Полставлня (2. 41) в уравнение (2.40). получим

дз т пиа з з пхх пхх

2 [ — ' ° [ — ) т,)з!и — = 3 П„з(п—

приравнивая в этом равенстве коэффипиенты при одинаковых

собственных функциях, приходкм к уравнению

С учетом яаиденнага выражения длл П„ уравнение (2.42) прк

мет егл

хс- ваяя д чае (2.33) в нач=чьвые условия '7 35К полу яч

— О. чз ',

.'акич. Ооразом. отыскан(иа фтуяка(и т„, (1; сваяась к эеюевию задачи кони для о(ыкновеялого лияеняого яеоднеролнсго лчфпереиплальнсгс уравнения второго поряЛа (2. 43~ " ыачальчгвю условязмз (2 44).

Обюее реыениз уравязнкя !2.43) складываетгх из обпего реюензы одторопчсго уравнения и частногс реюеняя неоднородного урав . еяия, опредехзсмого методом подбора, и имеет вед

плй( пха1 47

. З1пюи

; [['"~ ~ - .1

(2 45)

прсказсльяые псотоячные находим из (закален ч условия ,'2 4 ).

С„, =О, ('2. 46)

3 результате реыевие задачи Коюи (2.43), (2.44) прииет вид

з

[ — (п — '' — з)плк . пха ",) пхз ь

Пол-.валяя (2.47) в (2.33). находим реюеыяе азлачя (2.33)- (2.35)

Распознанный текст из изображения:

» вся юг- "»' 'иагсчрытгг)ф~",,Ыкь!им вгг г ыхкыгй Яеглглгижггмиивжзими~

— зз—

ч(О,С) = О, '22',Ц = О.

(2 54)

шь ясас )1 пкх

з1п — з1пю12 ) з1а— аиа ь 0

Из получсыаога реиеиия следует, что в случза, когда частота ы внеаней возмуиаюпей силы совпадает с однои из собственных частот колебанкй струны ю, = пжа»ь (явленке резонанса), отклонения струны ат голонения равновесия неограниченна возрастают.

— = аг — 1(х, Ц вЂ” — ' дсг = дхг ' о(г

(2.55)

Пусть уравнение и зсе краевые условия (граничные и начальные) неоднородны и имеют вид-

де с д'с — = а' — + 1(х, с) дтг дхг

граяичные условия

с(о, ц = п(с), п(ь. и = б(с

начальные условия

= 0,(х), —,' = '),(х)

дп(х,О)

ОС

с(«,0)

Принимаем

п(х, ц

= ч(х.ц + 0(х,ц

где Функция 0(х. с) идется в виде линейной Функции: 0(х, ц = = «Х г Ь, И )СОЗФСИЦИЕНтн « И Ь ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ИЗ ГРаНИЧНЫХ Уояазнй (2. 50): ',:Ф'

0(О Ц вЂ” Ь вЂ” и( Ц П(Ь Ц = «Ь ° Ь = «Ь ° и( Ц = 5(Ц '',-'В.

дс деп

— аг

уг

(2. 591

У О.,'2.56'

2 2). 1-(-ц соса( у (-' )г

а ( —,

2. 2. 3. Решение неоднородной начально-краевой задачи

(2. 49) (2. 50) (2. 51) (2. 52)

прн зтаы. как легко убедитьая, лгя Функции ч(х, 1) получаются олнородньч граничные условия:

падотавляя (2. 52) с у етом (2. 5з) в уравнение (2. 49), пргходми ь неолнародниу уравчению отыосительнс Функции ч пи с)г

ПаЧаЛЬНЫВ Урпааиа ДЛЯ ФУНКПИИ Ч(Х, С) ЗаПИПУтга В ВИДЕ

дт(Х. 0) 00(х 0)

г!х.а)= Пг!х — П(х,о). = ')г гхг — ' . (2.561

дт дг

таким о5разсм, отыскание Функсия ч(х.С) сведено к задаче !2.54-2.86), которая реюается с исыользовзяием приема редукции (ом. и. 2 2.21. найдя Фувкадю ч(х,ц и подставляя ее в (2.52), голучим окончательное резекне ясходяой залачм (2.49-2.51,'.

2. 3. Уравнения параболического типа

2.3.1. Реиение однородного уравнения параболического типа

пусть требуется найти закан распределения ттиа)ературы вн),— ри однарсднога стержня данной Ь (боковая поверхность которого теплоизо.ировача). есян в накаляю(ыйс момен. времени рас.:ределение температуры по дляне стержня псдчиняетсл заданному закону ',см. ниже выражение (2.59)) Па концах стержня поддерживается постоянная нулевая температура

задача свалится к решению однородного уравнения теплопрс- воднсотя

Распознанный текст из изображения:

к п(лнэятск ноченькам условии

Г, (1) - ~ '— , ) Т,(1) = О.

(2.62)

(2. 68!

(2.64)

Х"(х) т'(1) Х(х) а'Т(ц

~2 00)

пжх

н(х.с) =. Тэ(х) Х А з1п

ь

(2.65)

Т'(1) л Ала'Т(Ц = 0

Х-(х) + Ллх(х) = О.

(2. 61)

пях

А, — — ( Т,(х) э(п — ах

(2. 66)

х

ь '2'

(х. О)

0 1 1

— 0 эои 0 с х

,2 50)

сри

В ураэнэннк теплспровсднаоти аэ = К/ср - коэффициент теюэг ратуропроэодности (К вЂ” коэй)клиент теплопрсводности. с — удельная топлоемкость, р — удельная плотность материээ)а стержня).

Ззмечани:., В сбщеы случае начальное условие иожет быт записано э екде с(х. О) = Т, (х), где функцией То(х) задается распределение температуры по панне стержня в нече оный момент эреиенн.

реяение начально-краевой задачи (2. 57) -(2. 59) строится методом разлелевкя Переиенных так же, кэк и реяение волнового уравнения (сч.п.2.2. и . Вскопая функция н(х, 1) прэлставляетоя в виде (2.6). Подстановка (2.6) в уравиевие (2.57) приводит к равенству, аналогичному по структуре (2.7)

из которого слелулт два независииых обыкновенных ливеияьх олно

родных глфреренциальныч уравнеыяя

В отличие от волнового,уравнения злесь д)щ функьин Т(1) получается уравяенне первого порялка.

Подстановка (2. 6) в гранин(ые условия (2. 58) приводит после разделения переиенннх к грани лым условиям для функции Х(х) в ВИДЕ Ощ 10).

В резуяьтгтэ. для определения функции Х(х) приходим к той лщ семай задаче на собственные значения (2. 9), (2. (0), что к прк решеыки волнового уравнения собственяые значения х„ и собствеяные функции этой задачи Х„(х) опрелеляптся ооатвгтственна пс

ФСРМУЛЭМ (2 )А) Н (2 15).

Подставляя ,2. 14) в (2 61), псгучаеи линейное слноролное

оэлл нко первого ссояп)са

Разде)ля переменаые в урания ии (2.62) и интегрируя, находим его

о5щее ревснпе в виде

где А„ — произвольная постоянная.

подставляя найденные функции х„(х) к Т„( Ц в (2.6) и суммируя чаотные рекения линейысгс аднародногэ уравнения (2.57), получим общее реыение оглсродного уравнения тецлопроводнасти в ви- де

(пка)', пях

ц(х. 1) = Х А„ехр(- — 1] з1п —.

Праизвольнуа постояннуи А„ нахалим далае из начального условия. В общем случае. подставляя рещение (2. 6А) в (2. 59!, полу- чим

Пря этом произвольная постоянная А, может быть определена ках коэфй(циежт фурье лля функции Т,(х) ц)и разлоквнни ее в ряд по слнусаи на отрезке (0,1), равном дикие стержня. тогда получки

так как в рассматриваемой задаче функция Т,(х) согласно

(2.59) имеет разные выражения на (О.Ь). тс

э и

2 схгк ГЭГ

.,ф' э- бх 1 Оо 1 ~ бх)

'-'%

'1 По

— Э1П—

(пх)э 2 (2. 67)

Распознанный текст из изображения:

36

37

а начальное условие кисет вид

"(х 8) ч(х).

(2. 72)

чтобы можно было воопользоваться методом разлеленкя переменка в необходимо вести исхалнуа Красную задачг (2.57). (2.71), (2.72) к такср, в которой граничные условыя букут одна оолпыи. Дач стого ввелеи новую фуякпию ч(х, 1), связыную с мсконсй Фуякпмей о(х, 1) соотношением

их

8(х,о) = в)ив

(2.89)

где к и ь — востояныые козфриыиентн, которые подбираются из ус- ловий

2 (" их пях

Я„= — в19 з1п бх.

Гй 70)

с(О, (3 = т, = ч(О. 1) + В.

п(Е С) = т = ч(5 1) ° Кк . П

в к ч

в=т,

(2. 74)

Я = — ] в1вз ( — )дх - 1.

с

ь

ч(0, 1) = ч(Ь. 1) = О.

(2.75)

4 так как из (2. 3) слелует, что

д'и д"" ч дхз дхз

дп Эч

дт дс'

п(х.() = ехр~- —, 1] з1п —;.

( (в)е

то Функюя ч(л, 1) удовлетворяет лиффаренпиальному уравнению

дч Фч — = а'— 61 дкс

(2. 76 )

подстановка ие (2.73) с у 1етои (2.74)

(2 72) приводнт еГО к Виду

— т

ч пи а) — Г (х) — 7

в начальное 'условве

Х = Тс(Х). ;2. 77'

итак, для определеыия функпии ч(х, 1) приходии к начально-краевой задаче (2.78), (2.75), (2.77) с одвородныии граничны-

(2. 71',

п(8.1) т,. и('.ц - 7,

!х сстчзлгл (2.67) в (2.64), окончательно получки

н(х,() - — У. — в(п — ехр)- ††; — с) з1.. - — ~2 681

! 13

Как вилье из (2.69). решенно уравнения топясзРовсдносгк носит по вреизки апериодкчески аатухеющий характер. что состветотвуег выравынакию теипературы в стержне с течением времени.

Пример. Пусть требуется найти решение задача (2 57) (2.56) при начальном условии

общее решение атой задачи (2.64) содержит постоянную интас рироввния я„ для определения ее подставляем (2.69) в гд 68) Получим

3 сигу сртогональнасти тригонометрических шункпнй все нв

тегралы в (2. 7о) при и и 1 будут равны нулю при п=) получии

Подставляя значение константы я, в (2.84). получим окон ютельное реыение запачы (2. 67), (2. 58), (2. 69) в виде

2.3.2. Решение уравнения теплопроводности

дпя случая стационарной неоднородности

Рассмотрим линеиную задачу теплопроводностх для случая когда 63 кондак стержня полдерживаются постзяяные (не зависима от времени) к разлкчные ненулевые температуры

тогла при

инеем

п(х.с! = ч(х,с) + Кх (2.73!

Распознанный текст из изображения:

а х

Гвс. 2. 1

пях

л„ ' — ( т'(х) з(п — бх.

с

(Г 78)

.— Ф д'

'1' з" дХз ауе д. "'

аз

Чз а= — +—

ох' ау'

азы дев — — О, ах' д)в

(2.80

п (О, у) = О, ы ( а. У) = О.

и (х. О) =. 8, ( х) . и (х, П) = О, (х) .

(2. 81) (2. 82)

ыы услопхятк Ризе.ме ео катодом разлелепкя переменных будет

исеть пкл (си (2 81) ',

у(х. ь) .— 2 Л„ехр~-~ — ' ~ 11 з1з — ", -',

(2. 7Ю

8 результата искомак Фун)о(кя п(х, ь) сунет равна

п(х, и - 2 ь„ехр~-( — ). 11 згп †' — - т,

2.4. Уравнения эллиптического типа

2.4.1. Реиение задачи Лирихле для уравнения лапласа

в прямоутольнои области

пусть требуется найти равенне однородного урс1))евин злляп

тическсго тала — уравнения Лагласа в пряыоугольвой области О

О ( х ( а. О ( у ( и. (см. рис. 2. 1)

удовлетворявщев гранвчньм условияи

8,(х), О, (х) — запанные Функпкн от х. непрерывные на промежутке

О ( х ( а и сбрзизвЩиеся в нуль при х=б х х=а.

1)а 'рям 2 1 мховыми линняыз показаны гранины обласчк. лля которых граничные условия является веоднсроглыми

Звчачгйу . Уравнение Лекяаса часто записывается в компактной дормэ

Чъы .= О илл Лп = О,

гле Чз( . ) = д(. .) — так называемый сгератср Лапласа, нмовзый различный вяя в завискысстн от оистакы координат. Соответственно раззичнвм образом заянветоя я уравнение Лапглоа.

так, в декартовой ортогональной истаие координат х,у,з оператор Лапласа лмеет вяд

, частноож, для двумерного случая

8 пн)кьчдрических координатах г, в. з (г — полярный раднуоеектор точки. в - поляркый;.Ол)):

Г Г дГ де для Г дГ ( дт, ГЗ ОР-" 8 сйеряческих коорлинатах г. в, и (г - радиу вактор точки,

В, в — соответственно углы долготы и вкроты)

й( сг) г'- з гн дй ( ан)( гз змгн д з

Ляя озгрглеленяостх примем в дальнейиеи, что

Распознанный текст из изображения:

х

Пс(Х( = О, (Х( — Х(1

(2 131

пх т

1,-(у( - ( — ) У„(у( = а,

О(Х.У( = Х(Х( У(У( О.

(э.841

Х"(х( У"(У(

— — Л' Х(х( У(у(

(2.851

(2 881

е"+е"

спх =

2

е" -е"

епх .=

2

Х" (х( " Л Х(х( = О.

У" (У( — 1РУ(У1 = о,

(2. 871

пху пху

у„= «„

а " а

(2. 911

Х(01 = Х(а; = 0

(2.881

(2.921

ц ( х. С( — Ое (х( -- Х ач з1п — .

а'

(2 931

Метод Фурье разделении переюснвых прииеняи з к оеаепкю чраыюкил лапласа лля таких простых облостей. хак гргьсугольник, круг к т.г. ьах и для уравнений гиперболического и параболического тизопп 'юстные резинки атнскиваютоя в ваде

Подставляя реаение (2.841 в уравнение (2.801, полу ~им усло

пие разделен(ос переменных в виде

где Х э Π— псотоявная разделения.

Мз (2 851 следуют два независимых обнхнсвенных линейных од

породных лиФФеренпиальных уравнения второго порядка

Подставляя (2.84( в граничные условия (2. 811. получим

8 резулыате, для определения Функции Х(х( прнходии. как я выае. к той же сапой задаче на соостваввые значения (2.9П

(2 101. что « дгя волнового уравнения и для уравненля теглопрсвсдностн Собствекяые значения этой задачи определяются по Формуле, аналаглчнсй Формуле (2. 141, а ооотзатствулпие этим значениям 1, собствеяыые Функции равны согласно (2.151

пхх

ср

Х,(х( =. з(п —. !2 89~ лф,'

а

для Функ:;ик же у(у1 из (2.871 с учетом (2. 14] получаем ли

ыейнсе однородное уравнение

' ""юче'~ю ., " ', " жеьчааь"' юты'.* ьтлььт;л ь еаю

херактерлстичеэкое уравнавие. соответствуюлее дяФФарекциалььоиу уравнеыис (2 901

кз-)~ )=о,

Инсат ДсйэтзятЕЛЬНЫЕ И Раэдк П(ЫЕ КОРНЯ К, э = - 'ПХ/а ПОЭТОМУ

частпыь рекеьия уравнения (2.901 будут

у„, =. ехр( — ), '(„, .—. ехр)- — ' ).

удобнее в рас.стах использовать их линейные ксмбивасии; гиперболические Фувкьжи

8 сг,стеетотвкк с принципам суперпоаипни линейных однородных ураакензй эти Функции также булут частными роюенияив уравяення ;2.9о( поэтому обаяв реыеиие уравнения (2.901 может быть зазнсаыо в виде

подставляя теперь (2. 891 и (2. 911 в (2. 841 и суимируя частные реаенкя. получим реюенне уравнения (2,801. удовлетворяюмее сднородныи граьх льм условиям (2.811

ц(х. У( = 1 ~п св — + 5» зю ) я(г

ПРОИЗВОЛЬЯЫЕ ПоотаЯИНЫЕ а„ И Рч НаХОДИМ ИЗ ГРаКИЧНЫХ Уопавпй (2. 82,1 ка горхаовтальвых сторонах области. При у = О и у .= '. иэ ;2.921 следует

Распознанный текст из изображения:

пль пхь ;лх

а '" а ) з

согхзско ь а

плх

: Х Ь„з)ив

(2 94)

пль пкь

ь„ . а, сь — В„ зп—

'0:,)

Од 102)

а(з.у) = О. а~а.у) = О,

апаз) — Оа~л). а(Х,Ь) = О,

плх

а = — ( Оо(х) з1п — оу

а го а

(2. 95

(2. 108)

Из (2 96) найдем

(ь„а„.)~ ) ~ .,ь

(2.97)

(2 сн)

(2. 99)

!2. '100

Из (2.95). (2 94) следует. что а„ а Ь, молва рассматривать как хозФФкпнекгы Фурье соответственна для Фуя.о(нй О,(х), О, (х) аря разложении нх в ряды Фурье по оиыусаи ча промежутке !с; а). Следовательно,

плп пкь 2 Р, плх

ь. = а„сь '— Вь зь — = — ) О,(х; з1г — ах (2 98)

а " а а)о ' ' а

В чаотяои случае. при Ос (х) = О, (х) = х ~1 в †) ( и. 2. 82) получим

2 (' Х с ПЛХ 4а(1-(-1) )

а„= -' ( х(1 - — ) з1п — бх = — '., = Ь„, а )ю ( а! а (пл)з

Оодстаеляя далее Формулы (2. 96), (2. 97) и ранеасгво ,'2. 92)

после элементарных тригонометрических преобсззонзкяи получки ре

пенно краеноа зала и: (2. 80)- (2. 82) в аиде

пк(Ь-у) плу, , глх( пкь

а(Х,У) = 2 [ао ЗЬ вЂ” + Ь„ ЗЬ вЂ” )З1П вЂ )ЗП вЂ” )

мстг ом од~аз, когда а,, к Ь„опрадамьмз оя

()зкеча.д с В силу ляяейпсстм аадачи зырамениа

„ гк!ь-у) , пкх ~ пль ) ' дает раис о:е задачи Лирахле Гля гранлчьых услоакй

а выдан:еаие

~х у~ 2 Ь ьи 3 п (2. 104)

а а ~ г

дает резекне задачи дярикло для граккчньсх условий

а(0.7; = О, п(е,у) =!Ь

ч(Х.О) = Г. П(Х.Ь) = Ь, (х). 62 )ОВ)

заиааяя а !2.1(с) х яа у, у на х, и а на ь. получим реконнз

зздачх )згрихле для ураннеьяя дагласа в пряиоугольной области прл а гранкчпых услоакях

з(х.о) = О, п(х.Ь) — О,

п(О,У) = Ьз(У). п(а,у) = Оз(У). (2.106)

)(

".В

Распознанный текст из изображения:

яях

УХУ вЂ” 2 Оге1С вЂ” —.

Огц бац — ° — = уху бхг дуг

12 10'7)

(2. 108)

ц)„= 0

о'у„( гл )', 2уа сае(пи)

су' 1 а ) " пя

(2,113;

0 а х Рно. 2. 2

пкх

ц(х,у) = 2 у,(у) з)и — .

"г

(2.109)

2.4.2. Реюеиие уравнения пуассона

припер. найти Функцию ь(х. у). удсвлетвсрятцуо весдьсролноиу

ураввелию лапласа — уравнению пуассона

и однородным граничнмч условиям ка црямоугогьном контуре ( см.

рис.2.2)

вудек иокзть решение задачи (2. 107], (2. 108) в ниле разложения в ряд по собственник Функдияи однородной задаю

При зток удовлетворяются граничные условия на вертикальных сторонах х = 0 и х = а. Функцию у, (у) следует опродвлзть так, чтобы Функция ц(х.у) удовяетворяла уравнению (2.107) и граинчныи условием на горизонтальных границах: у = о и у = о. Пля зтсгс подставляем (2. 109) в уравнение (2. 107). Тогда получим

бгу, 1 г )пт„;

— — у„] (2 110)

буг 1 а ] " ' а

В левой частк уравнения имееи ряд Фурье го синусам яа промежутке (О; а). Разложим Функцию уху в правой 1астк (2. 110) такте в ряд Фурье по синусам на тои же промежутке:

Гг . 1ОГХ 270 СОЗ'(Пяг

1121

е гг а ек

псдставлг еч вырекение (2 111.) (г у гогом ',2 1121) н црееую

8 результюге для определенна Фуякцнп 7,(у) пркходнм к абькчоеенниу линейному яеодворопному ураввевию второго псряльа с постознвьтгн козбвивиентамя.

однородное уравыегюе. соответствуююеь уравненяо (2.1131,

совладает с !2. 30 ц и его сбцее реюенне согласно ,2. 91; инее.

евд

ц,

част:юе *„1оиенне ".,' неоднородного уравнение (2.113,'

вако)дуся методом подбора'

= - '-"" й Ы ] '

8 результате, обцее везение уравнеяия (2. 113) примет вид

гг 1У) †. Уг ' У„' - а„ СП вЂ” б, Зв †' 2(- 1)"У' — ] .У.

(2. 111)

(2 115)

Распознанный текст из изображения:

с а х

Рис. 2. 3

(2.118»

5«

(2. 119)

шс ~

ОУ ),=ь

«) =О.

(2 120)

зЬ вЂ” 2(-1)"У[ — ~ Ь = 0

ьчп „а 3

и. следовательно,

(2.117)

х(о) = — = о.

ОХ(а)

пх

(2. 121)

(2п+1)К

(Ь=О. 1, 2,... ) (2. 122)

Функция «(х, у) в выражении (2. 115) удовлетворяет уравнению (2 107) и граничныи Условиям на сторонах х = О и х = а Константы а„ и В„ найдем из условия удовлетворения граничным Условияи на горизонтальных сторонах области у = О к у — Ь.

Гри У=О из условия «(х, О)=0 инеем

пкх

«(х,о) = Е с„з1п — = О,

а

откуда следует

н„= О.

При у-Ь из условия «(х. Ь) =О с учетои а„ =О находки

«(х,п) - Е ([ Р„ зп — + г(-1)"У[ †' ) Ь) з(п — ~ — О

пкх

откуда в силу пролзвольвостк з1« — следует

з

Подставляя (2. 116) и (2. 117) в (2. 115), окончательно пслу

чии решение доставленной задачи в виде

2азу (-1)» п)п)»" » п»гу п)гх

ц(х.у) = — Š—, [У - Ь)ап — ) зп — )з)п—

и» а ! а а

Прямер. Вве стороны АС и ВС прямоугольногс однородного 5руса ОАСВ покрыты тепловой изоляцией (на рисуяке 2.3 овк выделены жирными линиями), е две другие полдерянввются прк температуре, равной нулю. Понти стационарное распределение твкпературы при условии, что в 5русе выделяется тепла с плотностью 1=сопят.

зелача сводится к ревенню уравнения

5»«б»«0

Ьхз б г

(г»)е к - козел»(«иену внутренней теплопровадноотн)

при краевых условиях

«(„ ,= о.

сначала находим решение олнородного уравнении Лапласа (2.80)

методом разделения перемеыных, принимая, как обычно, согласно

»2 84)

«(х.у) = х(х) у(у) " о.

тогда для Функций х(х) к 7(у) получаем независимые обыкнсвеыные линейные однородные уравнения (2.86). (2.87). Подставляя далев (2.ьд) и граничные условия (2.119). получим

такгм обрезом. для определения Функции Х(х) приходии к за даче па ссбстзекные анвчения (2. 86), (2. 121). Собственные значения зтс2 запани будут

а состватстзувьме собствекные Функпии с точаостью до множителя

Распознанный текст из изображения:

булут завяз

(2г»цлх

Х (х) -- я1п .—

га

(2 Ь»3!

Расклальваеи лагее искомую Функцию ц(х.у) я правую часть в уравнения (2. 118) в обобщевнме ряды Фурье по системе ортогокаль . чнх иа (О.а) Функций (2 123«

(2п»1 гкх

ц(х.у) = 2 7„(у) зуп

.=а

2а

(2,124)

0 (гп. «ях

— 2 С„з1п

° а

2а

(2 125)

при етом ксзФФициентн С„ определяются по Формуле (1.24).

0 Л (2па«кх

— з)п бх

К )» 2а 40

С„

»(гп «мху кх(2п ц

з!и' ~

(бх

(2 126)

Подставгяя (2. 124) и (2. 125) в ураввеике (2 117!, :1олучии обнкновенксе линейное неоднородное диФФеракцнальнсе уравнени. относительно Функции у„(у):

(гп Цзлз

(У) з У» (У) О»

(2 127)

(гн»ЦЛУ (гпа«ЛУ

7„"'= ш„сЬ вЂ” + б» зь

2а " ' 2а

частное решение неоднородного уравнения (2 !27) при постоянной правой чести. как легко видеть. будет равно

"' — — ° 1 ' .:

(гпацзяз -а 160аз

да» Лзи(2г„«з

поэтому общее решенле уравнения (2.127) зава»сеток в виде

Общее решение однородного уравяенля (2. 127) находим, как и

для уравнения (2.90), в виде

2а " 2а К»К(го цз

(2. 128)

.' дстав.гяя (2.128) в (2.124!„ получим

(гп Цлу (го 1УЯУ

ц(к.ц — 2 ~ш, сь — — ' ° б„зь — ',"

га " га

1вцаз (2пацкх

— — 'зтп—

я»К(гю ц' " ' га

(2.129)

про)завальные постоякнне и„ и 6„ в сбз;ем решении (2 129) находим яз гранич»ми условий (2. 120) ва горизонтальных сторонах облестн.

Чри У=О

Ц!Х.с) = 2 г(еч» „, 1З(П = О,

160а» (2п-'1)ях

га

(2п" 1)ях

откупа в силу произвольности Фуниция з1з) — — следует.

2в

160а'

и» = (зхркп а)з

(2. 1:)0)

кз второго граничного условия !2.12о) с учетом (2.13о) полу'тли

ггп цяь 160аз (гпац ль

(2, 131)

подставляя (2. 130) к (2.13« в (2. 129) к используя Формулу

слсмения для гипеоболичсских Фунизв(й

ст(х = у) = сЬх сгу зЬх зпу

носке яеслозшнх преооразованнй получим окончатеяьаоа решение задаче в виде

Распознанный текст из изображения:

51

и(к У) ь Х Уо(у)

а '

Ро'У) гак

1(к.у) = "' Х Р„(у) соа

Р

РД 13В'

о'и бзи — — 1(х, у) бхз бу

132)

3(,к этом

прн следувлмх гранкчнык условиях

— ! =о.

дх )„„

(2. 133)

ди (

аиьб — ! =О.

ду 1у=ь

(2.134)

и) .о = О.

и(х, у) =- Х(х) У(у)

(2.135)

Уо(у) = аэ "боу.

пкк

Х„(х) = сов — .

а

(2.137)

(зп 1)К(У-Ь,

ко у ° с (2п 11з Р„, )<ко ~ ' " 2,

сь -' — "- — —-

припер. найти ревекке уравнения пуассона в прямоу1ольной

области о(х(а, О(у(ь

Немая сначала, как и в предыдущем срииере. оллсрсыке уравнанио Лазгаса (2.30) методом разделения переменвмх и копольауя представление (2.84)

с учетои грмзичных условий на вер'гикальаых стороыак области (2. 133) для определения Функции Хрл) прикидки к задаче на саботвенные значения

Х"(х) + Хзх(х) -- О.

бХ(О) бХ(а)

— — О. бх бх

собственные зыачения этой задачи будут

ьк

Л„ (п.—.с, '. 2.

а '

а соответствуюмне ообственные Фуякпии с точяостьп ло мволлтелл

далее рз кладыяаеи з ряды еьрье по ссссо(зенкыи Функм де сдзорслчок задачи кскоиуь Функикв и(к,у) и зоалув мсь 3 уравяе-

1(к.у)соз бк. (2 14С)

подсзавляя (2 133) л (2. 139) в 2. 132). после обычной процедуры гркходни к сбыьловенныи гнп(ейным яеодксродныч ур вкенняь1 ВТОРОГО ПОРЯДКа ОтыаоктЕЛЬНС ФУНКПНй Уз (У) ~и=О. 1, 2... )

(2.14'!

.1, г

:„"(у) — ) — ) У„(У) = Р„(у) (п=1.2. (2.142)

а

надставляв (2 133! в геенн п(ые условгя (2. 134). в силу лиьойностз залзчк (2 132-2. 134) прслставяи гранкчкые условия зы)я ФУЯКкдй У„(У) Н Ул(У) З ВИНЕ

бу (ь)

(2 1431

бу

41, (Ь)

)';О) - о, а(,(ь1 б — '' ' — ", (".;1.2..;;2.144)

танки образом, ллк определеяня Функияй (о(У) 7,(У) В 1ККО

1О1и к краевым задачам (2. 141, 2. 143) к соответственно (2 142,

2 144)

Облез геыеяко однорсдногс уравнения (2. 1111 будет

а обвес ревекке одкоро)мого ураанения '.2.142). как 5ылс показано

выкв. няе ". влд

Распознанный текст из изображения:

52

'(„- а„оч — а В зь

(о>

в

(п=1.2. )

Покося = с

(2 147)

нлк

б е О;

бх' бх' буэ О)' б '

(2 1 8~

Уравнение вида

Пз)юц = 8,

где

При х=а,а ч = О

(2.149)

при у.=о.ь

о'и очп о'ц бх' ' охяб)л " бу'

Частные ранения У,' (у) уравяений (2. 141), (2. 142) находятся

петелом оадбора илн кагалом вариации праиэвальнык постоянных.

Далее долрлы быть определены произвольные постояныле в об

щах ревеннрх уравнеяий (2. 141). (2. 142)

Уа(у) = Уа " )а пс + Вау ус (2 145)

У (У) = У„' 'Р У„' = п„сь — + В„зь — ' — '(„'(2.148)

пку гяу

(п=). 2.. )

из граничных услОВий (2. 143), (2. 144).

Окончательное релване поставяенной аадачи запкшется после подстановки (2.145). (2.145) с учетом найденных значений произвольных постоянных в (2. 138).

2.4.3. нигер)мям(ческое уравнение.

Решение навье

бс(...) Пз (.. ) = 5(.. ) = — '''- Ох' бу'

оператор Лапласа (см. п.2.4. 1), аазываегая бнгармоннческим, а его решения, имеющие проиавсдные ло четвертага порядка вкнюччлтельно, называются бигармоннческиии Функпиями.

еигармовическое уравнение ииеет различный аид в различных свстемах коордкнат. 8 декартовой систеие координат однородное бигармоническое уравнение записывается так:

и, как видно, является дифференциалы(ьэ( уравнением в частных

произвалных четвертого порядка эллиптического типа.

К (игвркани макаку урванеяию прива)о)тся многие статлчвс.а)е з динамические залачл механлкк и Физики

ичссматрли его решепрл на прииере залачн об к. гыба пластины пряиоугалььога очертания в плаяе, свободна осертой по контуру. ото ре гение н лосиных тригонометрических оялах Фурье впервые бырс поручена в )828 гаду л.навье н носят его имя ()о).

хакас полазать. что задача определения малых прогибов тан ккя упругой прямоугольной пластины, падверяенвсй деиствию попсРсчаол нагрузки, грквсдятся к нес),"норалноыу бигарманическоыу урзвяслию вина

где к(х У)- прогиб 'тины. ц = Ч(х,у) в = н.р папеоечн нз Р' к' ' Е" 2Ц р ) так нв. аечая ь ндр„еск,я к сг кость пластины (Ь вЂ” тояшнаа пластины. Š— модуль угругастиа иатериала, р - ксэффициеят Пуласона).

уравнение (2.148) называется уравнением софы дермен-лаграика. Для голучекяя алйн твеяйсго )аошоння к уравнению (2 148) необходима присоединкть гоаничкые условия. Для свободно о*.)е тай

*)арта . плвотиаы на кант),е равны нулю прогибы н изгибеющне исиенты. яакко пакааать. Что граничные условия прк этом могут бить зализ см.ы в силе ~си. Рис.2.4)

ДЛЯ РЕЮЕНИЯ Красней ЗаДанв (2.148). (2.149) исконна уркцрг к(х. у) гэалстав.гнется а виде Разлокеаия в двойной тригонометрический ряд Фурье

Распознанный текст из изображения:

55

вкх пи у

'(х,У) = Е Е л„„з!и — з!п —.

а Ь '

(2 !50~

Заиотни, !тО ЮВЮ)нй ЧЛЕН ряда (2. !50) удОВЛЕ гВОриэт ВСЕМ

граиичньв условияи (2. 149). Подагввляя ряд (2. 150) в уравяение (2. 147), получки

плз е е 4„»'(( — ) ~ -') ) 3!и — 3!и — ' = О(х.у).

=1

(2.)б!)

Далее раскладываеи в двойной тригонометричвоюл ояд Фурье

по синусаи правую часть уравнения (2.151)

вкх пиу

О(х.у) = Е Е в„„з1п — з1п—

а Ь

(2 152)

з1Π— зтп — бхбу

ихх пку

а Ь

(2 153)

подставляя (2. 152) в (2. 151) и приравнивал коэФФициенты в левой и правой частях получающегося равенства при синусах, погуи!и равенство

из которого находим неизвестний ксзруициент разложения прогиб~

через известный коэФФициент разложения нагруаки:

а,„

ь ~ „ )л ) )е е

(2. 154)

Подставляя (2. 154) в (2. 150). получим окончатэльяое решение

задачи в виде

КсаФВчциенты двойного

ности синусов определяются

а,„= —, Ц О(х.у)

оо

ряда Фурье (2.152! в силу артогональ-

по Формуле

(а !ь~"'

уассмотриу случай нагрузки. раввсмер))о распределенной по В Ой ПСВЕРХНССтк Пгжотнвн. ТСГДа О (Х, У) =Оо ПОИ Отги ИЗ (2 153) ' лед)в)'

Гг„- — ! з1п — згп блоу = — ((-!) '] ('-!) -1~=

ацо ('" ЛХ У 4аю

аЬ ).' а Ь квх'

° о

О, если в кли и - четные целые лола,

169,

— , если в и и — нечетные целые чяслз.

„~г

Подставяяя зто значение а „ в (2.155;. получим вырачение лля прогиба в произвольной то ве пластуны. нагруженнси равномерао распредсгенчой нагрузкои

вих пл.у

з1Π— з(г. — -'

16ОО а ' Ь

ь(х,))

г( в )' ~ и )з)'

тле с)ммнрование проводитоя по нечетным в и и: в=1,3,5. сг. 1. 3. б...

хз прхнолав ого реюения следует, что максимальиыг! прогиб (едет в центре пластины (прн х=ахй, у=вх2):

16О (-1)

,о ь

и,ьх = —,е- Е Е з в з- (2 156)

' "-' "-', [) -' ) ° ) -' ) )

Зтот яд быстро сходятся и практически достаточно огранпквадратной пяаотины (пзи а=о) и О=О.З известнук Фо(рвулу ('10).

и„ = О. 464

Енз