Вопросы/задания: Вопросы к экзамену

ЧАСТЬ 0. ПРОИЗВОДНАЯ

0.1. Определение производной функции. Геометрический и физический смысл производной. Определение касательной.
0.2. Дифференцируемость функции в точке. Определение. Теорема о связи дифференцируемости с наличием конечной производной функции в точке (с д-вом).
0.3. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности (теорема с д-вом).
0.4. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл, примеры нахождения дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
0.5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (д-во для произведения).
0.6. Таблица производных. Вывод производных постоянной, степенной, тригонометрических и логарифмической функции.
0.7. Таблица производных: вывод производных показательной и обратных тригонометрических функций на основании теоремы о производной обратной функции.
0.8. Теорема о производной обратной функции, доказательство и геометрический смысл.
0.9. Теорема о производной сложной функции с д-вом. Примеры дифференцирования сложных функций.
0.10. Логарифмическое дифференцирование: формула, рекомендуемые области применения, примеры.
0.11. Производные высших порядков, примеры вывода формулы производной N-го
порядка.
0.13. Дифференцирование функций, заданных в параметрической и неявной форме. Примеры.
0.14. Теорема Ферма с д-вом. Геометрический смысл.
0.15. Теорема Ролля с д-вом. Геометрический смысл.
0.16. Теорема Лагранжа с д-вом. Геометрический смысл. Запись формулы конечных приращений.
0.17. Теорема Коши. Обобщенная формула конечных приращений.
0.18. Теорема Лопиталя. Раскрытие всех типов неопределённостей на основании правила Лопиталя. Примеры.
0.19. Теорема Тейлора (без д-ва). Формулы Тейлора и Маклорена, разложения основных
элементарных функций.
0.20. Монотонность функции (определения). Признак монотонности функции. Примеры.
0.21. Определение локального экстремума. Необходимое и достаточное условия локального экстремума. Примеры.
0.22. Направление выпуклости графика функции: определение, теорема. Примеры.
0.23. Определение точки перегиба графика. Необходимое и достаточное условие наличия точки перегиба - теоремы. Примеры.
0.24. Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Определения, методы нахождения. Примеры.
0.25. Схема исследования функции. Пример исследования (подготовить самостоятельно
либо получить у экзаменатора; желательно наличие асимптот, перегибов, экстремумов).

ЧАСТЬ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

1.1. Первообразная. Определение. Лемма о функции, производная которой постоянна на промежутке. Теорема о связи между двумя первообразными одной функции (с д-вами). Примеры.
1.2. Неопределенный интеграл: определение, терминология, свойства (с д-вами), таблица неопределенных интегралов. Примеры.
1.3. Непосредственное интегрирование. Подведение под знак дифференциала. Формула замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры.
1.4. Интегрирование по частям: вывод формулы, основные сферы применения (виды функций), примеры повторного, возвратного интегрирования по частям.
1.5. Интегрирование рациональных функций: правильная и неправильная рац. дробь, разложение на простейшие дроби. 4 вида элементарных дробей, формулы их интегрирования. Примеры.
1.6. Интегрирование иррациональных функций: случай функции, зависящей от набора корней из дробно-линейного выражения, дифференциальный бином, тригонометрические подстановки. Примеры.
1.7. Интегрирование тригонометрических функций (категории функций, рекомендуемые приемы преобразования и замены).

ЧАСТЬ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

2.1.Определение определенного интеграла. Терминология. Геометрический смысл. Чертеж.
2.2. Условия существования определенного интеграла (необходимое, достаточное, необходимое и достаточное). Суммы Дарбу. Чертеж.
2.3. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами.
2.4. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами, с д-вами.
2.5. Теорема о среднем (с д-вом). Геометрический смысл. Среднее значение функции на отрезке. Пример вычисления.
2.6. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной по верхнему пределу (теорема Барроу) с д-вом. Вытекающая из теоремы взаимосвязь неопределенного и определенного интегралов.
2.7. Вывод формулы Ньютона-Лейбница. Пример вычисления по ней определенного интеграла.
2.8. Замена переменной в определенном интеграле. Пример вычисления по формуле замены.
2.9. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула, пример.
2.10. Приложения определенного интеграла: формулы для вычисления площадей плоских фигур (декартовы и полярные координаты, параметрическое задание функции). Пример.
2.11. Длина дуги кривой: вывод формулы для случая явного задания функции; виды формул для случаев параметрического задания и полярной системы координат. Пример.
2.12. Объем тела вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат при явном задании функции. Пример.
2.13. Площадь поверхности вращения. Идея вывода формулы. Виды формул для случаев параметрического задания функции и полярных координат.
2.14. Несобственный интеграл 1 рода: определение, терминология, вычисление, геометрический смысл. Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода. Примеры.
2.15. Несобственный интеграл 2 рода: определение, терминология, вычисление, геометрический смысл. Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода. Примеры.


ЧАСТЬ 3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

3.1. Определение, примеры, графическое изображение функций нескольких переменных.
Линии и поверхности уровня. Основные определения: связного множества, внутренней и граничной точек множества, открытого и замкнутого множества, границы множества, области, замкнутой области, ограниченного множества и т.п.
3.2. Предел и непрерывность ФНП. Основные свойства непрерывных ФНП (формулировки теорем).
3.2. Частные производные ФНП: определения, примеры.
3.3. Дифференцируемость ФНП.
3.4. Производные сложных функций. Примеры.
3.5. Дифференциал функции. Определение. Пример.
З.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков (формула). Формулировка теоремы о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования. Примеры.
3.8. Локальный экстремум ФНП.
3.9. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной ФНП в замкнутой ограниченной области.

ЧАСТЬ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

4.1. Основные определения: дифференциального уравнения, решения, общего решения, частного решения, интегральной кривой, особой точки, понятие о задаче Коши. Формулировка теоремы Коши о существовании и единственности решения для д.у. 1-го порядка. Примеры.
4.2. Дифференциальные уравнения 1 порядка: определение, геометрический смысл уравнения (поле направлений). Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения. Примеры.
4.3. Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Их решение методами Лагранжа (вариации произвольной постоянной) и Бернулли. Примеры.
4.4. Уравнения в полных дифференциалах и их решение. Критерий полного дифференциала. Примеры.
4.5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные определения. Формулировка теоремы Коши. Постановка задачи Коши. Понижение порядка дифференциальных уравнений: 3 случая. Примеры.
4.6. Линейные дифф. уравнения. Понятие линейной зависимости и независимости функций. Определитель Вронского (2 теоремы). Примеры.
4.7. Теорема о структуре общего решения линейного однородного д.у. Пример.
4.8. Линейные неоднородные дифф. уравнения. Теорема о структуре общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Пример.
4.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Примеры.