Вопросы/задания: Экзаменационные вопросы

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник

Вопросы к экзамену по математическому анализу.

1 курс, 1 семестр.

1. Вещественные числа и правило их сравнения. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел.

2. Арифметические операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.

3. Счетные множества и множества мощности континуум. Не эквивалентность множества мощности континуум счетному множеству.

4. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Их основные свойства.

5. Понятие сходящейся последовательности. Основные теоремы о сходящихся последовательностях (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, арифметические операции над сходящимися последовательностями).

6. Предельные переход в неравенствах. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Примеры монотонных сходящихся последовательностей, определяемых рекуррентными соотношениями, число е.

7. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательностей (критерий Коши).

8. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов у бесконечного ограниченного множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

9. Два определения предельного значения функции (по Коши и по Гейне) и доказательство их эквивалентности. Критерий Коши существования предельного значения функций.

10. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение. Предельный переход в неравенствах. Бесконечно малые и бесконечно большие (в данной точке) функции и принципы их сравнения.

11. Понятие непрерывности функции в точке и на множестве, арифметические операции над непрерывнимы функциями. Классификация точек разрыва.

12. Локальные свойства непрерывной функции. Непрерывность сложной функции.

13. Обратная функция. Условия непрерывности монотонных функций и обратных функций.

14. Простейшие элементарные функции и их основные свойства.

15. Замечательные пределы.

16. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.

17. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте.

18. О достижении функции, непрерывной на сегменте, своих точной верхней и нижней граней.

19. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора.

20. Понятие производной и дифференцируемости функции в точке.

21. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций, сложной функции и обратной функции. Формулы дифференцирования простейших элементарных функций.

22. Первый дифференциал функции. Инвариантность его формы. Использование дифференциала для приближенного вычисления приращения функции.

23. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

24. Понятие возрастания (убывания) в точке и локального экстремума функции. Достаточное условие возрастания (убывания) и необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции.

25. Теорема о нуле производной и ее геометрический смысл.

26. Формула конечных приращений (формула Лагранжа). Следствия теоремы Лагранжа.

27. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

28. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).

29. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемилька-Роша).

30. Остаточный член в формуле Тейлора в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Его оценка.

31. Разложение по формуле Тейлора-Маклорена элементарных функций. Примеры приложения формулы Тейлора для приближенных вычислений элементарных функций и вычисления пределов.

32. Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции. Простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

33. Простейшие методы интегрирования (замена переменной и по частям).

34. Интегрируемость в элементарных функциях класса рациональных дробей (с вещественными коэффициентами).

35. Интегрируемость в элементарных функциях дробно-линейных иррациональностей и других классов функций.