Математический анализ. Конспект лекций для студентов 1-го курса 1-го семестра всех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9) МГТУ им Н. Э. Баумана

Математический анализ конспект лекций
для студентов 1-го курса 1-го семестра
всех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)
проф. П. Л. Иванков
16 ЛЕКЦИЙ


Лекция 1. Введение в курс. Элементы логики. Высказывания и предикаты, операции над ними. Кванторы. Построение отрицания сложного высказывания. Теорема как импликация. Прямая, обратная и противоположная теоремы, связь между ними. Доказательство от противного. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.

Лекция 2. Множества, операции над ними, их свойства. Множество действительных чисел, его полнота. Промежутки. Окрестности конечной точки и бесконечности. Принцип вложенных отрезков. Ограниченные и неограниченные множества. Точная верхняя и нижняя грани множества.

Лекция 3. Функция (отображение), её график, аргумент и значение функции, область определения, множество значений, образ и прообраз. Сумма, произведение и композиция функций. Обратные функции. Свойства числовых функций (монотонность, ограниченность, чётность, периодичность). Класс элементарных функций. Примеры функций, не являющихся элементарными.

Лекция 4. Числовая последовательность и её предел. Основные свойства пределов последовательностей (предел постоянной, единственность предела). Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Ограниченность сходящейся последовательности. Признаки сходимости последовательностей. Критерий Коши, фундаментальная последовательность. Сходимость ограниченной монотонной последовательности. Число e.

Лекция 5. Гиперболические функции, их свойства и графики. Два определения предела функции в точке (предел по Коши и предел по Гейне). Теорема об эквивалентности этих определений. Геометрическая иллюстрация предела. Предел функции в бесконечности. Бесконечные пределы. Единственность предела функции. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел. Теорема о сохранении функцией знака своего предела. Предельный переход в неравенстве. Теорема о пределе промежуточной функции.

Лекция 6. Односторонние пределы. Теорема о замене переменной в пределе (о пределе сложной функции). Арифметические операции с функциями, имеющими пределы. Первый и второй замечательные пределы. Следствия из них.

Лекция 7. Бесконечно малые функции. Связь функции, ее предела и бесконечно малой. Свойства бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми.

Лекция 8. Сравнение функций при данном стремлении аргумента. Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы об эквивалентных функциях. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций и её применение к вычислению пределов. Относительный порядок малости (или роста) функции при данном стремлении, выделение ее главной части. Теорема о сумме бесконечно малых разных порядков.

Лекция 9. Непрерывность функции в точке: равносильные определения. Непрерывность суммы, произведения, композиции непрерывных функций. Свойства функций, непрерывных в точке. Односторонняя непрерывность функции. Непрерывность функции на промежутке (на интервале, полуинтервале и отрезке). Непрерывность основных элементарных функций (док-во для многочлена и синуса). Точки разрыва функций, их классификация.

Лекция 10. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, прохождение через любое промежуточное значение. Теорема о непрерывности обратной функции. Асимптоты графика функции.

Лекция 11. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке. Бесконечная производная, односторонние производные и их геометрический смысл. Дифференцируемость функции в точке, эквивалентность дифференцируемости существованию в точке конечной производной. Связь непрерывности и дифференцируемости. Основные правила дифференцирования функций. Дифференцирование обратных функций.

Лекция 12. Таблица производных элементарных функций. Логарифмическая производная и ее применение. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Правила вычисления дифференциалов. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование неявно и параметрически заданных функций (первая и вторая производная).

Лекция 13. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Теорема Бернулли - Лопиталя и раскрытие неопределенностей (док-во только для [0/0]). Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций в бесконечности.

Лекция 14. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. Формула Маклорена и представление по этой формуле некоторых элементарных функций. Использование формулы Тейлора в приближенных вычислениях и для вычисления пределов.

Лекции 15-16. Необходимое и достаточное условия монотонности дифференцируемой функции на промежутке. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Стационарные и критические точки функции. Достаточные условия экстремума (по первой и второй производным, по производной высшего порядка). Выпуклость (вверх и вниз) функции, точки перегиба. Достаточные условия выпуклости дважды дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия наличия точки перегиба. Схема полного исследования функции и построения ее графика.

Показать/скрыть дополнительное описание