Для студентов по предмету Математический анализВекторный анализ (Кузнецов Л.А.)Векторный анализ (Кузнецов Л.А.) 2013-08-18СтудИзба

ДЗ 8: Векторный анализ (Кузнецов Л.А.) вариант 2

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики домашнего задания

Учебное заведение
Неизвестно
Номер задания
Вариант
Просмотров
171
Скачиваний
18
Размер
2,31 Mb

Список файлов

1

Распознанный текст из изображения:

Консультационное пособие для

школьников и студентов в решении

задач с примерами решенных задач

из задачника автора Кузнецова Л.А.

Вариант 2

Москва 2005

10

Распознанный текст из изображения:

~~1~» ~~» Й~~1

~1.ао1,.1 =

~ дх ау с'7. !

Р— 2 хг=.!

Ответ: Ц = О.

,-„д-'-Е,„1Е Кр;-1р-,-,:.:'а ~ 6~ ЛСТ ОПИСЫВа1Т С

~.О1-1Т; Р

слслу10цтим Образом:

1 ~пе зь наЙде~1 ц1111к~ 1яци1О Ве1"'Орнрго по 1я В 1О'ц

контура, ис11О. 1ьзов11В 111ормул Г1 11ксй:

~' — "-,~ — !

~„(;, . 1-11„,1,Р- ~ ~(:! ~ ! м .! 0)~Лги~=

о

~о=О г †-О

~нределенне."

Градиент скалярного поля (р — это вектор, задаваемый

с чедую1циы Оо разом.

Эти определение црелпола1ает использование некоторой

СИСТСМЫ КООРДИНат Т.Е. ЯВ;1ЯЕТСЯ 11Е11й6ЯЛйИ7ЛЧЬ1.Ч,

Свизь производной но н11прав;,1е11ию с гралнен гом:

Производная по напраы 1ению связанй с градиентом

скалярного поля следую1псй формулой:

— =- я1ао ф~' с = ~я1'йо ф ~ ~е~ сОБя

о~

'1

Где Мв — точкй. в котороЙ берется производнйя,

с -- елиничпый Вектор. параллельный Вектору /,

1х -- угол между вектором атйс1 1р~,. и вектором е,

Отсюда усматривается, что — < ~ 1ас1 1~~ „~ ~„причем это

й

неравенстВО превра1пае1ся В равенство, если Вектор l

И11прйвлсн вдоль Отао 1Р

Следствнн:

1) ~1йоф~ зйдйег нйпрйв.1ение„вдоль которого производ-

" .1

11ая будет наиоольц1ей.

~Д1~

! 1а(5 1Р~ — П1йл --=- ~ '-':~~~ ( 1 -з

оз

11

Распознанный текст из изображения:

фй 11„))г = о!11„го1вф.

Ъ

ФО1зми!!! Ост1э!зградска!'О-1 а соса связываст инте!'ра ))л )тс» Объем~' с нове1эхнастными и нтсГ1»алами Г(0 замкнутым поверхностям. В декартовых 11 эар !Ннатах '.)та с1)ормула выглядит следующим с бразом:

фй 6„)ЛЯ= (( ~! — ': - '-+ ' (ЙУ.

Ч

Вывод:)гай фор')улы можно найти В различных учеоникйх по высшей математике, !!апр!»мер. В учебнике «Высшая матемсггика»> г)ал, рсдакнией !,)Вчлнников!1 11.Ф,

1~сть даны векторное г!оле а и замкну!ая поверхность )' заданная функ)!()ей! л =-" !!)!х.у!. на котараЙ действуе! Вектор а — — а11") = а1х.у.7), 11!)йде)! Нс»ток 11 Век!01эа а через э!у

Пусть этот поток есть количествс» жидкости нроходяп!ей

через поверхность ~ объема У.

011ределе11ие".

Ливе1эгепг!Ия (или !)йсат)с))!~..» '())(»1 Век)орногс) па')я й есть

преде,! отнс)шения потока вектора через бесконе )по малую

ПОВ~ РХНОСТЬ., ОкруЖа1с)гпу)а Дгн)Ну!О ТОЧКУ. К ЕДИНИПС

объема. В декартовых коорд)гнатах дивергснцию можно

найти па следу)ащей формуле:

са, с!), ба,

дх с»у ~сх

Учитывая. эта. мОжно записать формулу Ос ГРОГР1)дско!'О-

1 йусса В следу)с»щем Виде:

П = ф п,йБ =- (Цй~:асс»»~ду

Формула С!Оксг! связывает кри(зо;!Ид(е;. Пый интеграл па замкнутому контуру Г с интегралс»м по поверхности опирающейся на этот контур и заданной уравнением х=ср!Х,у). Пусть па поверхности Определена век горф" нкпия й = й,! + й, 1+й.,1 или а = Р! -. '!)!+И~.

Тогда

)(Рдх, Ж~-~йд7.) =~(ъ дх+а дч-'~ »-.(.=

Г"

Ж,1 с:-), !)а. '; ~ са,

)(сово~ ~— ' ~- — ' (-~саид — ' + '- (-,кнь»( — ' "; ' ( Б.

Вектор В, определенный равенствам

»Ъ, - да, да, ~(-, ! Га, д~,.

В =, — + )+ — — — -+ — — — (1+~ — ' + '- 1~ = !'о!а.

Ъ су ~сх ~'~ / ( с»у дх

))1!зывается Ротором 1или 6ихрел0 векто1энаго )!0)!я

1 1с

а!; =~" ,0'..-". =В.

Х

а, а а

У У

Введя рат013. можно заниса(ь формулу» ')т)кса и

С.»Е')У)ОЩЕМ ВИДЕ:

12

Распознанный текст из изображения:

Щ((х,у,к)йхйуйл = Щ Г(р,~р,т))(г,<р,у)йрй~й~.

Координатвк

'Х = РСОЯ(():

(

",' = ~) Я1И (.Р;

Якооиан:

О)1 Ре:1е:1е1111е:

Векторная линия для вектора а — это кривая. в ка'к:.(ОЙ тонке КОторОЙ вектор а является каса1е'1ы1ым к 11еЙ.

Я~ КТРРНВ1 у)Ц В т)аСТНОС~ и ЯВЛЯ111Т( Я СИ ~РВ1у)Е ЛИН(111 И(ИИИ

тока 11:(н поля скоростей.

ГИбы)ГЙ11е ЙЙРие .~01тлй иО л()8ф)хиОсли1 .к ДВОЙБО.и)'

14 Н 1И ИГРИЛ 1'

)Ъ(:1(1у 1'::1ее!СЯ 11екая ПоверХНОСТЬ ((: 7 =- 7) Х. ''') (:: ((Д 'ИК11':1я

1'(х.",.7). )"1Ри нем ( х.'~'.7) е,у.

Инте 1" ра 1 этОЙ Функции по поверхнОсти ~) м 07кно

пре'1ставить в следу1ОИ1см Виде;

(1'.'(х,У.с(Ю = 11((х.У.г(~,У)) ') «-(О~~ ) ~ ~';:~,1 дхйУ.

СХ

др

д~' 7'

др

д)7 '

/др

дх/ (

' д7,

для'

д7.,!

2

Распознанный текст из изображения:

йеиТО знтт)й, .'ато:..; аоиаи ~ т

Задача 1

Вскго1)н),))! аи!!.и)з '))(!5

Данный материал ио,))о ! т)в;)си )!'! ири! .! ' .' ! ') .

и. и)гах ии(1>с)рма!)и!)!))м': )тю ЗВК )СИ:)СИИЯ Х ИИИ) )ЬИИКт)в и КОНСУЛЬтаЦИОННОГО Мее!')С1З))(!')е! С !И.:! ( '.'. '1 С

И тп! "И! ИЙ. И 1И()О 1С !'~.'И И ЫХ

студент

нтов навыков ))ракт))носко)! 1зе,'! )из))иии «' ". 1 В ООЪС

объеме курса по теме . Вс)()О1)и)аи! )! г;

Ооъс'. ур ' ' ' иг!.и! '» . 11 )с )ояи)ий .')))))Сриал предусматривает )и))1)()к~ ю !)()1 и;! ! ! ! И!)!)С ! ! ! ! >ИС))!))! И '))С !()ДОВ

т т ~)сс! );! и)) 1.);)),.)с.! .. Йс)()!)1)и!.т)Й закрепления полно! о к~рс;! В ! б)),сч~ с 1..., .. *'

1'т ),~)~)СИ )~С!),я и))')С))))С,.'!а)ИИ)))()т анализ» В ((Высшеи м)! !'Сч,'! ! и !'с»

материала а соиоетаал~еиии аг)~ ~ 1~иь,

), '));.! И )С !'!)) )(С))!!)а)Х Г)С)))ЕИИЙ.

В С~' РИИ ))РСДС! 'И),:)СИ! ! К())КСУ.'Иа ! )И)И!)И)))*!С И!)С!)!)))Я )КО

следующим гсч))м:

Ф Интег1за,'и иос исти)с')си))с

Дифферсни)вильи),)с у1)))!)))с)мя

Кратныс )))г!'с! 1'.)))„'))~!

е Ряды

Теория вс1)!)))т))ос'гей

° Преде,) ! ы

ГФКП

АНВЛИ'ГИ))ЕСКВЯ ГЕОМЕТРИЯ

Линейная алгебра

° Векторный анализ

Найти производную скалярного поля ц(х,у,к) в точке М по направлению нормали к поверхности Я, образукццей острый угол с положительн.ым направлением оси 07.

и = х /у + ух! к., Я: 47+ 2х - -- у = От М(2,4т4).

Найдем нормаль к поверхности Я. Для этого введем

функцию Г(х,уак)а исходя из уравнения поверхности Я;

)1тобы найти нормаль. требуется найти вектор Й а НорМаЛЬНЫЙ К ПОВЕрХНОСтн ')а ВЫЧИСЛИВ ГраДИЕНт ФУНКЦИИ

Г(Хту,К):

1х, = дга(1Г(х у — '~~" ут'.~- ~Их,уа~) —. аР(х у ~)

- ту ~l — — "— )+

1+

Ь 02

Подставим координаты точки М в полученное выражение:

1х1,„=4.2 1 — 2 4. 1+4 1( =-8 1 — 8 1+4 1(.

Найдем нормаль, произведя нормировку вектора Х:

Х~ 8!.-81+41 2-. 2-, 1

й = — = — = — -1 — — 1+ —.~.

я 12 3 3 ' 3

3

Распознанный текст из изображения:

СЬЗЛЯРНЫХ НОЛЕЙ ц(Х «?) И

градиентов да»»ных нам

дц

— = — 1х «) У + У «» ?. ~!

с'Х ~ „,~ СХ

дц 2 5 2 =2 — + — —: +1 — =О.

дц

Ответ: — — = О.

дп

Ответ: а =90'.

ьаы~ -: ---.

Отс»ода несложно найти косинусвх углов 'й, 1) и «', которые

нормаль образует с ося«»и Ох. Оу и О?. соответственно:

2 1

сояи = —;соя~3 = — —,со~) = — „

3

у = аг сок — = 7О,53'(острый угол)

Найдем искомук) производи«к) скаля1)ного ноля ц»х,у,х):

дц дц дц.

— — СОЬО. +- — ' СРЕ»« -) -, С»)В ~„ дп дх м

— = — ~.,~у.уй)' = ~ --- + ~~,',

') ~у

дуем

дц

— = — ~Х,~«'+У 7),

С:7. м ОХ ~,, '~ ~7„

Найти угол между градиентами

«:»х.у,?) в точке М.

4«»Уб «/б 3

Ъ' = — — + — „Ц=Х У?,

Х 9У 7У

11айдем»'раДиенты и МОДули

скзлярных пОлей в тОчке М:

~~Ф-..',7) —, де»(х, у. 7) —. де»~ху у,?)—

огас1ц1Х «у) =

дх ду

= 2хул' »+ х'х .1+ 3х у?.

дгаби(х„у,.к,) = ~чб,З;~6,61,даби»хм,у,,д„); = 4~~6:

д«'~х у,4 -. д«~х,у,7.) -. ду1х,у,~) »угас1 «у(х„у,?.) =

ду д? 4«/б —. Д

2 — .1+ — „1+

Х 9у ~»( ~"~б~Е"м Ум ~м)=( — Уб,'Убу.— ~1 РычЕх,„,У,„,т.

Используем формулу косинуса угла между двумя

векторами:

~рае1 ц(х у ? ) агаев «у(х «, 7 ))

СОУСУ =

~ДГж1 ц» хм у' м х~ » )~ ' ~ЯГас1 «у(х ум ? ) )~

4Ь ~-Я)+ХМ Д+б 1 — 2) ®.

4Л 4

4

Распознанный текст из изображения:

~1ерез т1асть поверхнос-1 и Я Р., «нормаль внешняя к образуемой данными

Р,:~=0. Р.,;7=4

йх с1у

— = — =Ф зхйх = 2уф;

2у 3х

2

у= — х +С,

Ответ: П,.«:,'1 = Ятг

Найти векторные линии в векторном поле а.

Чтобы найти векторные ли1п1и в векторном поле, нужно составить их диффере1щиальные уравнения:

дх с1у с1х

2у 1Х 0

Реп1им зти дифферен ц(1ал1,1П11е

разделения переменных:

Йх = 0 ~ к = С„: «С„= со(м)

Это уравнение описывает семейство кривых, лежащих в

плоскости, параллельной ху «х — произвольная константа)

Ответ: векторные л~н~и в век*орном поле а 1тредставля1от

с~бой с~~~й~~~~ ~ри~ых в произвольной п~ос~ост~, параллельной ху, ОписываемОе уравнением

Найти поток .векторного поля а вырезаему1О плоскостями Р1. замкнутой 1товерхности, поверхностями).

а =х1+ Я вЂ” 7к, Я:х +у =1,

Найдем нормаль к поверхности Я, Для зтого введем

функции Г! Х.у,к1. исходя из уравнения поверхности Я:

1"'«х,у„я) = х -'у' — 1.

Найдем векгор Я . Нормальный к поверхности Б, вычислив

1радиен.1' ф"нкпии Р«х у у)'

— дЕ«х, у., х) —. РГ«х, ул) —. аЕ«х, у, х)—

=ага «х.у,.л) = 1+ 3+

дх

ОХ

= 2 х 1+. -у. ~

Произведем нормировку вектора11;

и — ~~ 2'х '+2'у 3 2 х.1+2 у. ~

~(2 ) - (2У)',((4( -' ~'1

2 х 1+2 у

г — — Х 1+у °

-(4

Наидем и. (О1цадь части поверхности Ж, вырезае. 1ой

г1лоскостя~ и Р(. Р-., по формуле для боковой поверхно 'ти

цилиндра:

Я =2гг г.11 =271 г «г, — к,) =211 1 4=811.

1еперь найдем ПОток вектОрного поля;

' (~1 = П1 (' "~(~ = Д(~„. ~, -'; а, . и, + а, и, ф~ =

= О(' ".' ~'(--1 01(~= О(.-+у ~5= П(Б=~=~.

$

(( ": З:словия1 $

6

Распознанный текст из изображения:

Хр ~1-:х !. ' ':..~х х ~х хххиыххх ~.

Я~Ц~ ~'. лыйхх.'. л .'.

у=2,1 — х)

у=.О

1'еперь найд~м поток. ччитывая. что в первом октанте все

переменные положите тьны:

" '1

7

„() ((~х л)5 1 1 ~)лх 6+(Р)+2) )+7лх х)-л'л»=

2

$

7

1

х=) У=2(1-х)

ф)(1 л)у ~. 6, 42л — рОлх))хлу=

х =-О

+ 6у + 42)г — 3 ОТгху

1'='~ 21(1-~)у

1 "х1121(1-л) '1Π— хх ' " ) д) .),ц4л('1 «) бОлх(1-х) Йх=

2 х —..11!

2

1 '"

— 54 — 96х+42х +427г — 60)тх+18тсх ~йх= 2

2 4

= — э4х — 48х +14х) + 42)",х — 3Оггх + 6)тх,)

7

О

Найти поток векторного поля

поверхность Я (нормаль внешняя').

а = (3к + х)1+(ех — 2у) ~+(2л — худ.

Я;х +у =л,к=1,к=4.

Для решении этой задачи следует использовать формулу

Остроградского-Гаусса:

П = а йсЬ = с11ъ.ас1хс1ус1л.

5 'ч'

Найдем дивергенцию вектора а:

да да да

с1)ча — ' + ." + — ' — 1 — 2+2=1,

дх ду дк

Поверхность Б описывает усече*нный конус. Тела с осевой

симметрией проще описывать в цилиндрической системе

коо1здинат. поэ~~му перейдем в нее:

!

х = тсояср;

у = гя'пср; .1 =г.

'г'. = У;

Теперь найдем поток векторного поля через замкнутую

поверхность, как интеграл дивергенции вектора поля по

:~~~ему тела., ограниченно~о замкнутой поверхностью;

П,(а1= с11ъадхйус1л = 1с1хфс1х = гсЫ(г)с17 =

Ч Ъ'

4 ~ =-.х ~р=2 л /=4р=х х=4

1~р414х =2л ( ( 1.)х= Р Я Ых =

1 р=О ~р=О х=1 х=О х=.1

х — -4 2=4

г ~~' Ог(4' — 1') )г(64 — 1)

.')1 — = 21)г.

6, 3 3

х=-1

)

7

Распознанный текст из изображения:

Задача 8

Задача 9

через зсзмкн'-гую

.Нййти поток векторного поверхность Я (' нормаль внешняя). й = 2х1+ Ж..

к = Зх +'2~' +1

Я: х "- + у ' = 4с 7 = О.

я через замкнутую

1 ) аи )')'~ ))о') Ок Векторного поля а

) )ой~.'рх ность 8 (,нормаль вне1пняя).

„) (Х + у2)1+ (у2 + Х2)1+ (у' + К2)1Сс

)х +~ =1,

~;7, =О„к =1,

ср=2 сг=2„

1р=2

1(у~с2 + сои ф) ~-с?ыср = )

— ('2+соз ~р)+ — „

-) с=О

<р=О с=О

ср=2й

1(1О + 4ссс-' у)~с1 = (10д ' с1с2~р + 27)

~р=О

О

Теперь найдем поток векторного поля через замкнутую

поверхность, как интеграл дивергенции вектора поля по

Объему тела„ограниченного замкнутой поверхностью:

Для ре1пения 21 ой задачи следите г использовать формулу Остроградского-Гаусса: П=ф Ы)= Щж с Ыуж.

Я 'У" Найдем дивергенц11)о век) ора а: д1Уй — ' ', ' + ' =2+0+1=З.

ох дУ д2 Найдем объем тела. Опись1ваемого поверхностью Я как Объем цилинд1эс1. Иск.1гочая Обьем (<верхушки?? Параболоида, перейдя и цилиндрическую систему коо12динйт: х = гсозр у = сс1ср (г, = с С2+ссс ф~-!

Для решения этой задачи следует использовать формулу Ос гроградского-Гаусса: П,.(а) = а йсЬ= Й~асЮ. Найдем дивергенцию вектора а:

дй,. оа,. ~й, Йгу а — ' + ' + — ' — 2х + 2у + 27..

дх Ъ,' д7. Перейдем в цилиндрическую систему координат. Х = ГСОЯ(Р; у = гв1пср; 11=к: Якобиан: Р = г. Соответственно. преобразуется описание поверхности Я:

11 = О

8

Распознанный текст из изображения:

с ИСТСМЕ

р=-2лг=1 1;=1

А = Иг = Г,.с1Х+ Гус1У,

р=О 1=0 Ь вЂ” -0

Проведем параметризацию:

р=!1 1 = !!

х =21 — 4 с1х =2Й

у=т с1у = сй

2т' совср+2т' Я1пср+ г [гйр =

т= О...2

1-.О =О

)1.!

Ьр=

21"

— сов ср + — Б1П ср +—

3 3

р=2я

апи1пем ливер!'С1!11Н1! !" ! ', !1, ! !. ~

ХООрдинат:

с[И а = 2х + 2у + 2х = 2Г сов 1р + 2Г ~;111!() ', ',11

По формуле Остроградского-Гаусса 11 ай! ЛСРм поток Векторного пОля через замкнутую 110верхность. ВзяВ интеграл по Ооъему. Поверхность. с1пи!Санная В условии, соответствует цилиндру.

Г1,!Ж= Ш!1уаД'= ( ( (т(2 О. р+7.1 р, 2!):Ц !г!р=

11 =.!

[(2т Ьсояр~2г!1ыпр+гЬ-) йй~'.=

2, 1' 2. 2 1

( — соя р + — вш р -.~ — !1~р = — Ви1 р — -- совр ~- — р~

-!!

2

Найти работу силы Р при перемещении вдоль линии 1. от точки М к точке )~[. Г = (х + 2у)1+ ~у + 2ХЯ, ~.: отрезок МХ., М( — 4,0), Я~О,2),

Запишем общую формулу для вычисления работы. а также

ее Вид для декартОвых координат:

Подставим эти данные в формулу, приведенную выше. и

найдем работу силы Р при перемещении Вдоль линии 1. От

точки М к точке ~Ч.

А= )(~,.!х- ~,1!)= [[(х'- 2!)~ (у',~ Цу]=

= [[(4~ — 16~;-!6+ 21) 2 +(1' ~- !1 — 8) ф =

о

— 9~ — 24~+24 ~ = 3~' — 12~ +24~ = 24.

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг-
0
0
0
0
0
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее