Ответы к экзамену: Все темы, выносимые на экзамен мат. анализа в 1 семестре

1. Начальные понятия теории множеств и математической логики. ........................................................ 3 2. Определение, способы задания функции................................................................................................. 3 3. Обратная функция. ..................................................................................................................................... 3 4. Элементарные функции и их графики. .................................................................................................... 4 5. Числовые множества. ................................................................................................................................ 5 6. Понятие числовой последовательности. Бесконечно малая последовательность. .............................. 5 7. Бесконечно большая последовательность. .............................................................................................. 6 8. Предел числовой последовательности ..................................................................................................... 6 9. Теорема о промежуточной функции ........................................................................................................ 7 10. Предел монотонной последовательности теорема Вейерштрасса. Число e. ...................................... 8 11.Предел функции. Первый замечательный предел ................................................................................. 9 12.Второй замечательный предел. .............................................................................................................. 10 13.Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций. Признак эквивалентности функций. .......................................................................................................................... 11 14.Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Использование эквивалентных функций при вычислении пределов. ............................................................................... 14 15. Непрерывность функции в точке и на интервале. Основные теоремы о непрерывных функциях. ........................................................................................................................................................................ 15 16.Односторонние пределы. Точки разрыва, их классификация. ........................................................... 16 17.Производная, ее геометрический и механический смысл. ................................................................. 17 18.Основные правила дифференцирования и теоремы о дифференцировании сложной и обратной функций. Таблица производных. ................................................................................................................ 18 19.Правило логарифмического дифференцирования. .............................................................................. 21 20.Дифференцирование неявно заданной функции. ................................................................................ 21 21.Геометрический смысл производной. ................................................................................................... 21 22.Дифференцирование параметрически заданной функции. ................................................................. 21 23.Уравнение касательной и нормали. ....................................................................................................... 21 24.Дифференциал, его связь с производной. ............................................................................................. 22 25.Производная и дифференциал высших порядков. ............................................................................... 23 26.Теорема Ролля. ........................................................................................................................................ 24 27.Теорема Лагранжа (о конечных приращениях). .................................................................................. 25 28.Теорема Коши (об отношении приращений функции). ...................................................................... 26 29.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. ............................................................. 27 30.Формула Маклорена. Представление функций ex , sinx, cosx. ............................................................ 31 31.Использование формулы Тейлора для вычисления пределов. ........................................................... 31 32.Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. ........................................................................... 32 33.Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. ................................................................ 33 34.Полное исследование функций и построение графиков. .................................................................... 33
35.Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределённого интеграла. ...................................................................................................................................................... 34 36.Простейшие правила интегрирования, теоремы об интегрировании по частям и замене переменных. .................................................................................................................................................. 35 37.Интегрирование рациональных дробей. ............................................................................................... 37 38.Интегрирование тригонометрических функций. ................................................................................. 38 39.Интегрирование некоторых иррациональностей (радикалы от дробнолинейной функции, условия Чебышева). .................................................................................................................................................... 39 40.Определение и геометрический смысл определенного интеграла..................................................... 40 41.Основные свойства определённого интеграла. .................................................................................... 42 42.Формула Ньютона-Лейбница. ................................................................................................................ 43 43.Теорема об интегрировании по частям ................................................................................................. 44 44.Замена переменных в определенном интеграле................................................................................... 45 45.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Несобственный интеграл с бесконечными пределами (определение, геометрический смысл, теорема сравнения). ................................................................... 46 46.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Несобственный интеграл от функций с бесконечным разрывом (определение, геометрический смысл, теорема сравнения). .................................................. 47 47.Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры. ................................................. 48 48.Приложения определенного интеграла. Длина дуги. .......................................................................... 50 50.Приложения определенного интеграла. Объём тела по заданным площадям сечения. .................. 52 51.Приложения определенного интеграла. Объем тела вращения. ........................................................ 53 52.Приложения определенного интеграла. Площадь поверхности вращения ....................................... 54 53.Приложения определенного интеграла. Вычисление физических величин. .................................... 56 54.Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций, формула Симпсона.