Ответы: Теория к экзамену

Экзаменационная программа по курсу «Математический анализ»

1. Числовой ряд. Необходимое условие сходимости
2. Числовой ряд. Критерий сходимости Коши
3. Критерий сходимости знакоположительных рядов
4. Знакоположительные ряды. Первая теорема сравнения
5. Знакоположительные ряды. Вторая теорема сравнения
6. Признак сходимости Коши знакоположительного ряда
7. Признак Даламбера сходимости знакоположительного ряда
8. Интегральный признак Коши сходимости знакоположительного ряда
9. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости
10. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
11. Признак Абеля-Дирихле. Пример
12. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса
13. Непрерывность суммы функционального ряда
14. Почленное интегрирование функционального ряда
15. Дифференцируемость функционального ряда
16. Степенные ряды. Теорема Абеля. Следствие
17. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости
18. Непрерывность суммы степенного ряда
19. Интегрируемость суммы степенного ряда
20. Дифференцируемость суммы степенного ряда
21. Ряд Тейлора функции f(x). Критерий представления функции своим рядом Тейлора
22. Достаточные условия представления функции своим рядом Тейлора. Основные разложения
23. Периодические функции. Ортогональность системы синусов и косинусов
24. Ряд Фурье. Формулы Эйлера-Фурье.
25. Связь гладкости периодической функции с порядком убывания ее коэффициентов Эйлера-Фурье
26. Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье. Пример
27. Ряды Фурье чётных и нечётных периодических функций
28. Пространство L₂ (-π;π). Сходимость в среднем. Основная теорема о рядах Фурье.
29. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Признак Вейерштрасса. Пример
30. Основные свойства несобственного интеграла как функции параметра (непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость). Доказательство непрерывности
31. Задача нахождения объема цилиндрического бруса. Определение двойного интеграла.
32. Основные свойства двойного интеграла. Доказательство теоремы о среднем
33. Формула редукции (случай прямоугольника)
34. Формула редукции (общий случай)
35. Отображение плоских областей. Якобиан отображения. Геометрический смысл якобиана
36. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты
37. Тройной интеграл. Формула редукции
38. Тройной интеграл. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты
39. Криволинейный интеграл первого типа. Формула вычисления
40. Криволинейный интеграл второго типа. Формула вычисления
41. Связь криволинейных интегралов первого и второго типов
42. Задача нахождения площади криволинейной поверхности
43. Поверхностный интеграл первого типа. Формула вычисления
44. Поверхностный интеграл второго типа. Формула вычисления
45. Связь поверхностных интегралов первого и второго типов
46. Формула Грина
47. Критерий независимости криволинейного интеграла на плоскости
48. Дифференцирование криволинейного интеграла на плоскости, не зависящего от пути интегрирования
49. Потенциал плоского поля. «Почти» единственность потенциала
50. Формула Ньютона-Лейбница на плоскости
51. Скалярные поля. Поверхности и линии уровня скалярных полей.
52. Производная скалярного поля по направлению
53. Градиент скалярного поля. Свойства градиента
54. Инвариантное определение градиента.
55. Ортогональность градиента поверхностям и линиям уровня
56. Векторные линии. Векторные трубки. Пример
57. Формула Остроградского-Гаусса
58. Дивергенция векторного поля. Свойства дивергенции
59. Поток векторного поля через поверхность.
60. Полевая запись формулы Остроградского-Гаусса. Инвариантность дивергенции
61. Соленоидальные поля. Критерий соленоидальности
62. Ротор векторного поля. Свойства ротора
63. Кинематический смысл ротора
64. Формула Стокса
65. Ротор векторного поля. Инвариантность ротора
66. Таблица операций теории поля второго порядка
67. Допустимые области. Лемма.
68. Критерий потенциальности векторного поля
69. Формула Ньютона-Лейбница в R₃
70. Разложение произвольного поля в сумму потенциального и соленоидального подполей. Задача Дирихле.
71. Гамильтонов формализм
72. Гармонические поля
73. Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе.
74. Цилиндрические и сферические координаты.