Вопросы/задания к контрольной работе: Управление качеством изготовления изделий из полимерно- композиционных материалов

№1

Центральный процессор ЭВМ в любой момент времени выполняет либо программы пользователей, либо задания операционной системы, либо простаивает (находится в состоянии ожидания). Продолжительность нахождения процессора в состоянии ожидания кратна длительности шага перехода из состояния в состояние.

Определить для стационарного режима коэффициент использования процессора, если матрица состояний и переходов имеет следующий вид:

0,7 0,2 0,1

0,8 0,1 0,1

0,8 0,05 0,15

S₁ - состояние, в котором реализуются задачи пользователя;

S₂ - состояние, в котором реализуются программы операционной системы;

S₃ - состояние простоя

№ 2

Форма по прокату автомобилей выдаёт автомобили в трёх городах: Королёв, Юбилейный и Фрязино. Клиенты могут возвращать автомобили в любой из трёх пунктов по своему усмотрению. Анализ процесса возвращения автомобилей из проката в течение года показал, что клиенты возвращают автомобили в соответствии со следующими вероятностями

Определить
1. процентное распределение клиентов, возвращающих автомобили по станциям проката к концу года, если в начале года оно было равномерным, а число клиентов не изменяется в течении года;
2. вероятности состояний в установившемся режиме;
3. пункт проката, у которого более целесообразно строить станцию по обслуживанию автомобилей.

№ 3

Водитель такси заметил, что если он находится в городе Королёв, то в среднем в 8-ми случаев из 10-ти он везёт следующего пассажира в город Лосино-Петровский, в остальных случаях будет поездка по городу Королёв. Если он находится в городе Лосино-Петровский, то в среднем в 4-х случаях из десяти он везёт следующего пассажира в город Королёв, в остальных случаях будет поездка по городу Лосино-Петровский.
Необходимо
1. определить возможные состояния процесса и построить граф состояний и переходов,
2. записать матрицу переходных вероятностей,
3. найти вероятности состояний в установившемся режиме,
4. найти вероятности состояний после двух шагов процесса, если:
• в начальном состоянии водитель находился в городе Королёв,
• в начальном состоянии водитель находился в городе Лосино-Петровский.
№ 4

Фирма издаёт три журнала: “GLAMOUR”, “VOGUE” и “Ͻноб”. Читатели выписывают только один из трёх журналов. Читатели в среднем подписаться на другой журнал не более одного раза в год, а вероятности таких изменений постоянны. Результаты маркетинговых исследований спроса читателей на журналы позволили вывести следующее процентное соотношение:
80% читателей журнала “GLAMOUR”, подписываются на журнал “VOGUE”,
15% читателей журнала “VOGUE” подписываются на журнал “Ͻноб”,
80% читателей журнала “Ͻноб” подписываются на журнал “GLAMOUR”.
Требуется
1. записать матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений,
2. предположить, что общее число подписчиков в городе постоянно, и определить, какая доля из их числа будет подписываться на указанные журналы через два года, если по состоянию па 1 января текущего года журнал имел одинаковое число подписчиков,
3. найти вероятности состояний в установившемся режиме и определить журнал, который будет пользоваться наибольшим спросом у читателей.

№ 5

Прибор состоит из двух узлов и может находиться в одном их следующих состояний:
• оба узла исправны и работают,
• неисправен только первый узел,
• неисправен только второй узел,
• неисправны оба узла.
Вероятность отказа после месячной эксплуатации для первого узла – Р1=0,4; для второго узла – Р2=0,3, а вероятность совместного выхода их из строя – Р1,2=0,1. В исходном состоянии оба узла исправны и работают.
Необходимо
1. построить граф состояний и переходов,
2. записать матрицу вероятностей состояний,
3. записать вероятности состояний после двухмесячной эксплуатации прибора.

№ 6

Автосалон продаёт автомобили марки MAZDA и XONDA. Опыт эксплуатации этих марок свидетельствует о том, что для них имеют место матрицы переходных вероятностей, соответствующие состояниям: работает хорошо (состояние 1) и требует ремонта (состояние 2):
автомобили MAZDA

автомобили XONDA

Элементы матрицы перехода определены на годовой период эксплуатации автомобиля.
Требуется.
1. найти вероятность состояний для каждой марки автомобиля после двухлетней эксплуатации, если в начальном состоянии автомобиль «работает хорошо»,
2. определить марку автомобиля, являющуюся наиболее предпочтительной для приобретения потребителями.

№ 7

В городе Юбилейный поздней осенью погода весьма изменчива. В нём не бывает двух ясных дней подряд. Если сегодня ясно, то завтра с одинаковой вероятностью пойдёт дождь или снег. Если сегодня снег (или дождь), то с вероятностью 0,5 погода не изменится. Если же она изменится, то в половине случаев на следующий день снег заменяется дождём или наоборот, и лишь в половине случаев на следующий день будет ясная погода.
Требуется:
1. записать матрицу вероятностей состояний,
2. построить граф состояний и переходов,
3. определить вероятность хорошей погоды после через три дня после дождя.

№ 8

Фирма получила заказ на строительство объекта. Объект можно построить в установленные сроки (состояние S0), если имеются на площадке запасы строительных материалов (состояние S1), или их можно приобрести на оптовой базе (состояние S2), или непосредственно на заводе изготовителе (состояние S3).
Ежедневный процесс движения стройматериалов до потребителя описан следующей матрицей переходов:

Требуется:
1. построить граф состояний и переходов,
2. определить среднее число дней до доставки стройматериалов на объект, если исходным состоянием считать состояние S2,
3. найти вероятность того, что невостребованные потребителем стройматериалы будут оставаться на оптовой базе спустя три дня после начала строительства, если в начале стройки они достоверно там были,
4. в каких отношениях будут находиться сроки строительства объекта, если стройматериалы находились в начальный период строительства соответственно в S3 S2, S1.

№ 9

Последовательность расположение точек на оси ОХ рассматривается как цепь Маркова. При этом точка S «блуждает» по оси ОХ по следующему закону: на каждом шаге она с вероятностью 0,5 остаётся на месте, с вероятностью 0,3 перескакивает на единицу вправо и с вероятностью 0,2 – влево. Состояние системы S после k шагов определяется одной координатой (абсциссой) точки S. Начальное положение точки – начало координат.
Найти вероятность того, что за четыре шага точка S ни разу не удалится от начала координат дальше, чем на единицу.

№ 10

В библиотеке Технологического университета учебник на конец года находится в одном из следующих состояний:
S0 - на полке;
S1- выдана читателю;
S2 - в переплетной мастерской;
S3 - в ветхом состоянии (списана).
Процесс перехода состояний книги на следующий год описан как цепь Маркова и представлен матрицей:



Требуется:
1. определить в среднем количество лет жизни учебника, если в начальный момент описания цепи книга находилась на полке;
2. определить вероятность того, что три года подряд читатель будет держать у себя учебник.

№ 11

В биологической лаборатории проводят следующий опыт. Перед испытуемым находятся два табло с синими и зелеными лампочками. Последовательности зажигания описываются Марковскими цепями с матрицами перехода за один шаг

1) 2) .

Испытуемый должен нажать на кнопку, если на обоих табло зажегся зеленый свет. С какой вероятностью после двух правильных нажатий подряд он может ожидать ситуацию, когда не надо нажимать?

№ 12

Известно, что если погоду в г. Щелково характеризовать только следующими состояниями: облачно, дождь и хорошая погода, то запись текущей погоды образует марковскую цепь с матрицей вероятностей перехода .

Предскажите погоду на один и на два дня вперед, если сегодня погода хорошая. Имеет ли смысл пользоваться монетой, для того, чтобы решить, брать ли с собой зонтик, выходя из дому? Предполагается, что погода устойчива в течение дня.

№ 13

Студенты Технологического университета участвуют в конкурсе. Чтобы получить 1 балл за участие в конкурсе нужно выполнить определенное задание. Вероятность успешного выполнения задания при любом испытании составляет 4/5. Студенты участвуют в конкурсе до тех пор, пока не получат 4 балла. Рассматривая участие в конкурсе как Марковскую цепь с пятью состояниями определить:
1. переходную матрицу;
2. ожидаемое число повторений задания, прежде чем оно будет успешно выполнено четыре раза (т.е. получено четыре балла).

№ 14

Автомобиль Лада Калина может находиться в одном из двух состояний: S1 – машина работает хорошо и S2 – машина нуждается в регулировке. На следующий день работы машина меняет свое состояние в соответствии со следующей матрицей переходных вероятностей:


№ 15

По стае из четырех уток охотник производит два последовательных выстрела.
Найти вероятности состояний стаи после второго выстрела, если матрица переходных вероятностей имеет вид:
, P1(0)=1,0

№ 16–25

Задана матрица P вероятностей перехода дискретной цепи Маркова за один шаг. Распределение вероятностей по состояниям в начальный момент определяется вектором . Построить размеченный граф состояний.

Найти:

1) матрицу P₂ переходов цепи за два шага;

2) распределение вероятностей по состояниям в конце второго шага;

3) вероятность пребывания цепи в третьем состоянии в конце первого шага;

4) стационарное распределение вероятностей.