Ответы к зачёту: Рубежный Контроль 1. Модуль 1. Полные решения всех вопросов. Теория. Практика

Ответы к Рубежному Контролю №1 по Линейной Алгебре

Берите решения и пользуйтесь на здоровье.
Успехов в сдаче всех работ!

Вопросы к Рубежному Контролю. Модуль 1 Линейная алгебра

1. Сформулировать определение линейного пространства. Доказать единственность нулевого элемента.
2. Доказать единственность противоположного элемента.
3. Сформулировать определения базиса линейного пространства и размерности линейного пространства. Доказать теорему о единственности разложения элемента линейного пространства по данному базису.
4. Сформулировать определение координат вектора относительно базиса линейного пространства. Вывести формулу преобразования координат вектора при замене базиса линейного пространства.
5. Сформулировать определение матрицы перехода от одного базиса к другому в линейном пространстве. Сформулировать и доказать свойства матрицы перехода.
6. Сформулировать определение евклидова пространства. Доказать неравенство Коши-Буняковского.
7. Сформулировать определения ортогональной и ортонормированной систем векторов в евклидовом пространстве. Доказать теорему о линейной независимости ортогональной системы векторов.
8. Сформулировать определение матрицы линейного оператора. Вывести формулу преобразования матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
9. Сформулировать определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора.
10. Сформулировать и доказать теорему о собственных векторах линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям.
11. Сформулировать и доказать теорему об инвариантности характеристического многочлена линейного оператора относительно замены базиса.
12. Сформулировать определение самосопряженного линейного оператора.
13. Сформулировать и доказать теорему о собственных векторах самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям.
14. Сформулировать и доказать теорему о матрице самосопряженного линейного оператора в ОНБ.
15. Сформулировать определение ортогональной матрицы. Сформулировать и доказать ее свойства.
16. Сформулировать и доказать теорему о матрице перехода от одного ортонормированного базиса евклидова пространства к другому ортонормированному базису.
17. Сформулировать определения квадратичной формы, матрицы и ранга квадратичной формы
18. Вывести формулу преобразования матрицы квадратичной формы при невырожденной линейной замене переменных.
19. Сформулировать критерий Сильвестра и закон инерции квадратичных форм.