😎 Типовое задание по Линейной Алгебре - 51 вариант РК6 ✍

Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2023. Группа РК6. Вариант 51. 1*. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 𝑎1,𝑎2,𝑎3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 𝑎1(2; −1; −1; 0; −1), 𝑎2(5; 2; −1; 1; −3), 𝑎3(−8; −5; 1; −2; 5). 2. Доказать, что векторы 𝑒1(2; 6; 1), 𝑒2(−1; −4; 0), 𝑒3(0; −3; 1) образуют базис в R 3 . Найти координаты вектора 𝑏 в этом базисе и вектора 𝑐 в исходном, если в исходном базисе 𝑏(−9; −9; −10), в новом базисе 𝑐(0; 0; −1). 3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов 𝑎1(1; −1; 1; 2), 𝑎2(2; −1; 1; 2), 𝑎3(2; −2; 3; 5), 𝑎4(−1; 3; 2; −1).

Найти координаты вектора 𝑏(4; 3; 15; 12) в построенном ортонормированном базисе, если 𝑏 принадлежит < 𝑎1, . . . , 𝑎4 >. 4. Оператор 𝐴 в пространстве 𝒫2[𝑡] многочленов степени не выше второй задан соотношением 𝐴(𝑓(𝑡)) = −3 d 2 d𝑡 2 𝑓(𝑡) − 2 d d𝑡 𝑓(𝑡) − 2𝑓(𝑡). Доказать линейность оператора 𝐴 и найти его матрицу в базисе {1, 𝑡, 𝑡2}. 5*. Найти собственные значения и собственные векторы операторов 𝐴 и 𝐵. Если возможно, привести матрицу оператора (𝐴 или 𝐵 или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода. 𝐴 = 4 −2 −2 −4 −6 −2 8 20 8 , 𝐵 = 2 −10 10 −3 12 −14 0 8 −6 . 6. Привести квадратичную форму −2𝑥 2 1+4𝑥1𝑥2+4𝑥1𝑥3−5𝑥 2 2+8𝑥2𝑥3−17𝑥 2 3 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис.

Записать матрицу перехода к новому базису. 7. Привести квадратичную форму −3𝑥 2 1 − 2𝑥1𝑥3 − 3𝑥 2 2 + 2𝑥2𝑥3 − 2𝑥 2 3 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования. 8. Построить кривую −𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 7𝑦 2 = 12.