Лекции: Лекция

Занятие 1

Линейная зависимость системы векторов.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

Определение. Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулю.

Теорема. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Пример 1. Дана система . Определить является ли она линейно зависимой.

Решение. Введем обозначения . Тогда

Таким образом, элемент является линейной комбинацией остальных элементов. Значит, система линейно зависима.

Достаточное условие линейной зависимой системы. Если система векторов содержит нулевой элемент или линейно зависимую подсистему, то исходная система векторов линейно зависима.

Пример 2. Задана система элементов . Определить является ли она линейно зависимой.

Решение. Введем обозначения Заметим, что система из первых двух элементов линейно зависима: Тогда из достаточного условия следует, что исходная система линейно зависима. Или предъявим линейную комбинацию

Задача. Определить являются ли многочлены , линейно зависимыми. Ответ: да.

Координаты вектора при переходе к новому базису.

Теорема. Пусть – координаты вектора в базисе , – координаты вектора в базисе , – матрица перехода от базиса к базису . Тогда верно равенство

Пример 3. Показать, что векторы , образуют базис на плоскости. Найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.

Так как , то векторы и линейно независимы, следовательно, в двумерном пространстве они образуют базис. Матрицей перехода является матрица . Найдем обратную матрицу . Тогда координаты вектора в новом базисе равны

.

Пример 4. Заданы базис , состоящий из векторов и , и базис , состоящий из векторов и . Найти матрицу перехода от базиса к базису .

Решение. Воспользуемся равенством, связывающим базисы , подставим наши векторы .

Решим данное матричное уравнение:

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.1-4.9 (неч), 4.15, 4.17, 4.21. 4.24, 4.28, 4.30, 4.37 или ДЛ-2: гл. 3: 7-17 (неч), 21-25 (неч), 29-33 (неч), 40, 53-57 (неч), 63.

Дом: : гл. 4, 4.2-4.10 (чет), 4.16, 4.18, 4.19, 4.25, 4.31 или ДЛ-2: гл. 3: 8-14 (чет), 22-26 (чет), 30-34 (чет), 42, 54-58 (чет), 64.

Занятие 2

Линейное пространство. Подпространство линейного пространства.

Определение. Совокупность элементов называется линейным пространством с введенными на них сложением элементов и умножением их на скаляр, если выполняются условия:

1) ; 2) .

При этом выполнены следующие 8 аксиом:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Определение. Подмножество линейного пространства называется линейным подпространством, если:

1) ; 2) .

Пример. Является ли линейным подпространством множество трехмерных векторов, для каждого из которых сумма всех координат равна 1?

Решение. Проверим выполняется ли первое условие линейного подпространства. . Сумма двух таких векторов не является вектором данного множества. Невыполнение хотя бы одного условия из определения линейного подпространства влечет тот факт, что данное множество векторов не является линейным подпространством.

Задача. Является ли линейным подпространством множество дифференцируемых на отрезке функций? Ответ: да.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.45-4.53 (неч) или ДЛ-2: гл. 3: 73-77 (неч), 87-91 (неч), 95-99 (неч).

Дом: : ДЛ-1: гл. 4, 4.46. 4.48, 4.52, 4.54 или ДЛ-2: гл. 3: 74-78 (чет), 88-92 (чет), 96-100 (чет), гл. 4: 6-12 (чет), 32, 38.

Занятие 3

Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Определение. Скалярным произведением двух векторов

Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если на нем задано скалярное произведение, то есть .

Определение. Нормой вектора называется величина .

Определение. Система векторов называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны.

Определение. Система векторов называется ортонормированной, если система ортогональна, и норма каждого вектора равна единице.

Теорема. Из любой линейно независимой системы векторов можно получить ортогональную систему векторов .

Векторы задаются следующим образом ,

Пример. Преобразовать векторы , , в ортогональную систему векторов.

Решение. Положим , тогда , то есть

.

Тогда вектор , то есть

.

Ответ: , , .

Задача. Преобразовать векторы , , в ортогональную систему векторов. Ответ: , , .

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.63(a), 4.64(a), 4.65(a,б), 4.67-76 (неч) или ДЛ-2: гл.4: 5-12 (неч), 17-24 (неч), 31, 37, 39, 47, 49, 53, 57, 59.

Дом: ДЛ-1: гл. 4, 4.63(б), 4.64(б), 4.65(в), 4.67-76 (чет) или ДЛ-2: гл. 4: 5-12 (чет), 17-24 (чет), 32, 38, 48, 50, 54, 58, 60.

Занятие 4

Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Действия над линейными операторами.

1. Определение. Линейным оператором , действующим из линейного пространства в линейное пространство , называется преобразование, которое ставит в соответствие каждому элементу из единственный элемент

из , то есть . При этом называется прообразом элемента при действии оператора , называется образом элемента при действии оператора .

Определение. Оператор называется линейным оператором, если

1) ;

2) .

Определение. Матрицей оператора в базисе называется матрица, составленная из координат образов векторов базиса при действии на них оператора .

Теорема. Пусть – матрица линейного оператора в базисе , – матрица линейного оператора в базисе , – матрица перехода от базиса к базису . Тогда .

Пример 1. Проверить, что оператор , где , является линейным. Составить матрицу этого оператора в стандартном базисе. Найти образ вектора при действии этого оператора.

Решение.

Убедимся в том, что оператор линейный, для этого нужно, используя теоремы о проекциях, проверить два условия:

1)

;

2) .

Для того, чтобы составить матрицу данного линейного оператора, найдем образы базисных векторов. Напомним, что стандартный базис , .

;

.

Таким образом, матрица оператора имеет вид .

Найдем образ вектора при действии данного оператора: .

Задача. Проверить, что оператор , где , является линейным. Составить матрицу этого оператора в стандартном базисе. Найти образ вектора при действии этого оператора.

Ответ: , .

Пример 2. Составить матрицу оператора поворота на угол .

Решение.

Найдем образы базисных векторов при повороте на угол :

; .

Поэтому матрица оператора поворота выглядит следующим образом:

.

Задача. Составить матрицу поворота на угол .

Ответ: .

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.83-99 (неч), 4.103, 4.106(б), 4.107, 4.110, 4.113 или ДЛ-2: гл.5: 1, 5, 7, 21, 23, 25, 32 (а), 33 (а), 44, 45 (а), 47, 49, 51 (а,б), 71.

Дом: ДЛ-1: гл. 4, 4.84, 4.86, 4.90-100 (чет), 4.102, 4.104, 4.108, 4.110 (б), 4.118 или ДЛ-2: гл. 5: 5-12 (чет), 17-24 (чет), 32(б), 33 (б), 43, 45 (б), 48, 51 (в,г), 72.

Занятие 5

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализация симметричных матриц ортогональным преобразованием.

Определение. Число называется собственным значением оператора , если найдется ненулевой вектор , удовлетворяющий уравнению . При этом вектор называется собственным вектором оператора .

Определение. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы .

Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

Теорема. Число является собственным значением линейного оператора тогда и только тогда, когда является корнем характеристического уравнения матрицы линейного оператора .

Теорема. Матрица линейного оператора диагонализируема в некотором базисе тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами данного оператора.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Составим характеристический многочлен матрицы . Найдем корни характеристического уравнения , .

Ищем собственные векторы, отвечающие . Составляем однородную систему уравнений .

Методом Гаусса приведем систему к ступенчатому виду , ранг матрицы системы равен 1, число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Тогда в уравнении полагая , получаем собственный вектор .

Ищем собственные векторы, отвечающие . Составляем однородную систему уравнений .

Методом Гаусса приведем систему к ступенчатому виду , ранг матрицы системы равен 1, число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Тогда в уравнении полагая , получаем собственный вектор .

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Составим характеристический многочлен матрицы

Решив данное характеристическое уравнение , получим корни , .

Найдем собственные векторы, отвечающие собственному значению . Составим однородную систему уравнений .

.

Методом Гаусса приведем систему к ступенчатому виду . Ранг матрицы системы равен 2, число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Полагая , получим и , имеем собственный вектор .

Найдем собственные векторы, отвечающие . Составляем однородную систему уравнений .

Методом Гаусса приведем систему к ступенчатому виду . Ранг матрицы системы равен 1, число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из линейно независимых решений. В качестве таких решений можно взять векторы и .

Задача. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Ответ: , ; , ; ,.

Пример 3. Привести матрицу оператора к диагональному виду, указать матрицу перехода.

Решение. Составим характеристический многочлен матрицы

Решив соответствующее характеристическое уравнение , получим корни , , . Для каждого из собственных значений найдем соответствующие им собственные векторы , , . Составим из них матрицу перехода .

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4, 4.129, 4.131, 4.135-4.143 (неч), 4.174, 4.183, 4.191 или ДЛ-2: гл. 5: 75-80 (неч), 89-100 (неч), 155-161 (неч).

Дом: ДЛ-1: гл. 4, 4.130, 4.132, 4.134-142 (чет), 4.176, 4.184, 4.186 или ДЛ-2: гл. 5: 75-80 (чет), 89-100 (чет), 156-162 (чет).

Занятие 6

Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

Определение. Квадратичной формой (квадратичной функцией) называется функция, значения которой для любого определяются , где – симметричная билинейная форма, действующая на .

Пусть , тогда

где – коэффициенты квадратичной формы, причем в базисе . Матрица квадратичной формы симметрична.

Теорема. Пусть квадратичная форма имеет матрицу в базисе и матрицу в базисе . Пусть – матрица перехода от базиса к базису . Тогда данные матрицы связаны равенством .

Определение. Квадратичная форма положительно определена, если для любого вектора , , значения .

Определение. Квадратичная форма отрицательно определена, если для любого вектора , , значения .

Определение. Квадратичная форма знакопеременна, если такой, что , и такой, что .

Критерий Сильвестра. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные угловые миноры матрицы квадратичной формы положительны. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знак первого углового минора отрицателен, а знаки остальных угловых миноров чередуются, то есть . В остальных случаях квадратичная форма знакопеременна.

Пример. Определить при каких значениях параметра квадратичная форма положительно определена, отрицательно определена, знакопеременна.

Решение. Составим матрицу квадратичной формы .

Условие положительности всех главных угловых миноров матрицы, а именно, система соответствует положительной определенности квадратичной формы. Таким образом, при квадратичная форма положительно определена.

Условие , а именно, система соответствует отрицательной определенности квадратичной формы. Поскольку решений система неравенств не имеет, то данная квадратичная форма не является отрицательно определенной ни при каких . Для остальных значений квадратичная форма знакопеременна.

Задача. Определить при каких значениях параметра квадратичная форма положительно определена, отрицательно определена, знакопеременна.

Ответ: при квадратичная форма положительно определена, при квадратичная форма отрицательно определена, при квадратичная форма знакопеременна.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4: 4.218-4.225 (чет) или ДЛ-2: гл. 6: 13, 15, 43, 45.

Дом: ДЛ-1: гл. 4: 4.218-4.233 (неч) или ДЛ-2: гл. 6: 14, 16, 44, 46.

Занятие 7-8

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.

Определение. Квадратичная форма имеет канонический вид, если в некотором базисе она представима в виде . Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом.

Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду.

Пример 1. Привести квадратичную форму

к каноническому виду.

Решение. Выделим полные квадраты

Обозначим тогда .

Задача. Привести квадратичную форму

к каноническому виду.

Ответ: .

Определение. Преобразование называется ортогональным, если оно переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Определение. Матрица называется ортогональной, если .

Свойство 1. Определитель ортогональной матрицы равен .

Свойство 2. Для ортогональных матриц .

Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе ортогональна, то этот оператор ортогонален. Обратно, матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе является ортогональной.

Теорема. Для любой симметрической матрицы существует такая ортогональная матрица , что , где диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные значения матрицы , повторяющиеся согласно их кратности.

Для того, чтобы найти матрицу , о которой говорится в этой теореме, необходимо:

1. найти собственные значения матрицы ;
2. для каждого собственного значения найти набор собственных векторов, отвечающих этому собственному значению, при этом собственные векторы должны быть линейно независимы и их количество должно равняться кратности собственного значения;
3. преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственного значения, в ортонормированные при помощи процесса ортогонализации Грамма-Шмидта. Объединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет ортонормированным базисом евклидова пространства;
4. выписать матрицу , столбцами которой являются координаты векторов построенной ортонормированной системы.

Пример 2. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Решение. Запишем матрицу квадратичной формы . Найдем собственные значения данной матрицы , имеем , . Тогда квадратичная форма имеет следующий канонический вид . Найдем собственные векторы для , для . Нормируем их , . Получим составленную их них матрицу ортогонального преобразования .

Задача. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Ответ: ; .

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4: 4.210, 4.211, 4.213, 4.215, 4.226, 4.228, 4.231 или ДЛ-2: гл. 6: 19, 21, 23 (б), 29, 31, 35, 47, 49, 55.

Дом: ДЛ-1: гл. 4: 4.212, 4.214, 4.216, 4.227, 4.229, 4.230 или ДЛ-2: гл. 6: 20, 22, 23 (а), 30, 32, 36, 48, 50, 56.

Построение кривых второго порядка.

Пример. Построить в системе координат кривую .

Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы . Найдем собственный значения из характеристического уравнения , , . Тогда кривая в каноническом базисе имеет вид , это гипербола, которая имеет канонический вид . Найдем собственные векторы , , отметим их в системе координат . Вдоль этих векторов проведем новые оси координат и , которые будут являться асимптотами гиперболы. Построим гиперболу.

Ауд.: ДЛ-1: гл. 4: 4.226, 4.228, 4.231.

Дом: ДЛ-1: гл. 4: 4.227, 4.229, 4.230.

Занятие 9

Аттестация № 1

Типовое задание аттестационной работы «Линейная алгебра»

1. (3 балла) Дайте определение линейного пространства и докажите следствия из аксиом.
2. (3 балла) Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием. Приведите пример.
3. (5 баллов) Докажите, что оператор поворота на угол вокруг оси в является линейным. Выпишите матрицу этого оператора и найдите образ вектора . Ответ проверьте геометрически.
4. (3 балла) Исследуйте знакоопределенность квадратичной формы в зависимости от значения параметра .
5. (4 балла) Докажите, что векторы образуют базис в , найдите координаты вектора в этом базисе.

Занятие 10

Область определения ФНП. Линии уровня и поверхности уровня. Предел и непрерывность ФНП.

Определение. Функцией нескольких переменных называется отображение , которое каждому элементу ставит в соответствие единственное значение .

Определение. Множество значений , для которых существует значение функции , называется областью определения функции .

Определение. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек плоскости с равным значением .

Пример 1. Найти область определения и линии уровня функции .

Решение. Подкоренное выражение неотрицательно, значит, или, что то же самое, , см. рис.

Придадим функции некоторое значение . Построим графики этих функций для ,

Задача. Найти область определения и линии уровня функции .

Ответ: область определения: I и III координатная четверть; линии уровня: семейство гипербол, расположенных в I и III координатных четвертях.

Определение. Число называется пределом ФНП в точке , если определена в некоторой проколотой окрестности и .

Определение. Считаем, что , если определена в некоторой проколотой окрестности и

.

При этом называется бесконечно большой.

Определение. определена и .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если функция определена в некоторой окрестности этой точки, и предел при стремлении аргумента к точке равен .

Определение. Функция называется непрерывной на заданном множестве, если функция непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 2. Найти предел функции при стремящейся к .

Решение. Рассмотрим повторные пределы

и .

Значение предела зависит от способа стремления текущей точки к началу координат. Это означает, что данная функция не имеет предела в точке .

Задача. Найти предел функции при стремящейся к . Ответ: данная функция не имеет предела в точке .

Ауд.: ДЛ-3: 1792 (в), 1793 (г), 1794 (в), 1795 (а), 1796 (в), 1797 (б,в), 1788 (в) или ДЛ-1: гл. 7: 7.6, 7.8, 7.10, 7.19, 7.21 (построить линии и поверхности уровня), 7.32, 7.35, 7.44, 7.46, 7.50, 7.55.

Дом: ДЛ-3: 1792 (е,и), 1793 (б,в), 1794 (г,ж), 1796 (а,б), 1797 (г,е), 1799 (б) или ДЛ-1: гл. 7: 7.7, 7,9, 7.13, 7.20 (построить линии и поверхности уровня), 7.33, 7.34, 7.45, 7.47, 7.51.

Занятие 11

Частные производные 1-го порядка ФНП. Частные производные высших порядков ФНП. Дифференциал первого и второго порядка ФНП.

Пусть функция определена на открытом множестве .

Определение. Частным приращением функции в точке по переменной с шагом называется величина

.

Определение. Частной производной функции в точке по переменной называется предел

.

Пример 1. Найти частные производные функции .

Решение. , , .

Определение. Пусть функция имеет частную производную по , тогда эта производная называется частной производной 2 порядка функции по переменной .

Определение. Пусть функция имеет частную производную по , тогда эта производная называется смешанной производной 2 порядка функции по переменным и .

Теорема. Пусть определена и непрерывна вместе со своими частными производными до 2 порядка включительно в некоторой окрестности точки . Тогда .

Пример 2. Найти все частные производные 2 порядка функции .

Решение. Применяя теорему для смешанных производных, получим , , , , , .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение имеет вид , где – бесконечно малые ФНП при , .

Определение. Дифференциалом функции называется линейная часть полного приращения функции .

Теорема. (Необходимое условие дифференцируемости ФНП)

Если ФНП дифференцируема в точке , то существуют конечные частные производные в точке , .

Следствие. Дифференциал функции имеет вид

.

Пример 3. Найти первый дифференциал функции .

Решение. Найдем частные производные , .

Тогда первый дифференциал имеет вид .

Определение. Дифференциалом функции второго порядка называется величина .

Замечание. Второй дифференциал имеет вид .

Пример 4. Найти второй дифференциал функции .

Решение. Найдем частные производные 2 порядка , , . Тогда второй дифференциал имеет вид

.

Задача. Найти дифференциалы первого и второго порядка для функции .

Ответ: , .

Ауд.: ДЛ-3: 1801-1825 (неч), 1834, 1838, 1844, 1892, 1894, 1897, 1917, 1924 или ДЛ-1: гл. 7: 7.57, 7.60, 7.61, 7.63, 7.66, 7.87, 7.89, 7.91, 7.103, 7.105.

Дом: ДЛ-3: 1801-1825 (чет), 1838, 1840, 1845, 1891, 1893, 1898, 1916, 1925 или ДЛ-1: гл. 7: 7.56, 7.58, 7.59, 7.62, 7.64, 7.67, 7.88, 7.90, 7.92, 7.102, 7.107.

Занятие 12

Производная сложной ФНП.

Теорема. Пусть функция дифференцируема в точке , а , , имеют конечные производные в точке , причем при . Тогда дифференцируема в точке , при этом .

Следствие 1. Пусть функция дифференцируема в точке , а , , дифференцируемы в точке , причем . Тогда .

Следствие 2. (Формула полной производной.) Пусть функция дифференцируема в точке , а , , имеют конечные производные в точке , причем при . Тогда дифференцируема в точке , при этом

.

Пример. Найти полную производную функции , если , .

Решение. Найдем частные производные , , ; , . Тогда полная производная

.

Задача. Найти частные производные по и по функции .

Ответ: пусть , , тогда

, .

Ауд.: ДЛ-3: 1856, 1861, 1864, 1865, 1870, 1876, 1878, 1982 (а), 1986, 1889 или ДЛ-1: гл. 7: 7.114, 7.119, 7.121, 7.129, 7.135.

Дом: ДЛ-3: 1857, 1862, 1863, 1871, 1877, 1879, 1882 (б), 1883, 1888, 1943, 1947, 1949, 1956, 1981 (б), 1984, 1987, 1990 или ДЛ-1: гл. 7: 7.116, 7.118, 7.123, 7.130, 7.136.

Занятие 13

Производная неявной ФНП.

Определение. Пусть задано уравнение и множество , удовлетворяющее этому уравнению. Пусть точка и уравнение определяют в некоторой окрестности точки однозначную функцию . Тогда говорят, что уравнение задает неявную функцию.

Теорема 1. Пусть задано уравнение , причем:

1) определена в некоторой окрестности точки и непрерывна вместе со всеми своими частными производными 1 порядка;

2) .

Тогда существует такая окрестность точки , что уравнение задает на множестве неявную функцию.

Теорема 2. Пусть функция задана неявно уравнением . Пусть непрерывны в некоторой окрестности точки , причем . Тогда имеет в точке все частные производные

, .

Пример 1. Найти частные производные и для функции .

Решение. Введем обозначение . Найдем , , . Тогда

;

.

Пример 2. Найти первый дифференциал в точке функции .

Решение. Обозначим . Найдем , , . Посчитаем значения этих производных в точке , , . Тогда, подставив значения частных производных в формулу для дифференциала (см. занятие 11), получим .

Задача. Найти первый дифференциал для функции в точке .

Ответ: .

Ауд.: ДЛ-3: 1856, 1861, 1864, 1865, 1870, 1876, 1878, 1982 (а), 1986, 1889 или ДЛ-1: гл. 7: 7.141, 7.145, 7.149, 7.152.

Дом: ДЛ-3: 1857, 1862, 1863, 1871, 1877, 1879, 1882 (б), 1883, 1888 или ДЛ-1: гл. 7: 7.140, 7.146, 7.150, 7.151.

Занятие 14

Градиент функции. Производная по направлению.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Рассмотрим в области функцию и точку . Проведем из точки вектор , имеющий направляющие косинусы . Рассмотрим точу , находящейся на расстоянии от точки . Пусть (непрерывно дифференцируема в области вместе со своими частными производными) и дифференцируема в области . Тогда , где – бесконечно малые функции при . Поделим на :

.

Предел при называется производной функции в точке по направлению вектора и обозначается :

.

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении вектора .

Решение. Найдем значения частных производных в точке :

, , .

Найдем направляющие косинусы:

, , .

Подставив найденные значения в формулу для производной по направлению, получим:

.

Задача. Найти производную функции в точке в направлении вектора , идущего из точки в точку .

Ответ: .

Определение. Градиентом функции в точке называется вектор из частных производных данной функции

.

Теорема. (О связи производной по направлению и вектора градиента)

Пусть задана непрерывно-дифференцируемая функция и вектор . Производная по направлению ректора равна проекции вектора градиента на вектор :

.

Теорема. Производная по направлению вектора имеет наибольшее значение при , то есть

.

Пример 2. Найти наибольшее значение градиента функции в точке .

Решение. Найдем частные производные , . Найдем их значения в точке : и . Значит, , .

Определение. Точка называется обыкновенной точкой поверхности , если все частные производные в точке существуют и хотя бы одна из них не равна 0.

Теорема. Все касательные к поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости.

Определение. Плоскость, в которой расположены все касательные к поверхности в ее обыкновенной точке, называется касательной плоскостью к данной поверхности в заданной точке.

Уравнение касательной плоскости:

.

Определение. Прямая, проходящая через точку поверхности перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности.

Уравнение нормали к поверхности в точке : .

Пример 3. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке .

Решение. Обозначим через . Найдем значения частных производных в точке : . Тогда уравнение касательной плоскости или . Уравнение нормали .

Задача. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке .

Ответ: ; .

Ауд.: ДЛ-3: 1944, 1946, 1948, 1950, 1955, 1981 (а), 1982, 1985, 1986 или ДЛ-1: гл. 7: 7.229 (а), 7.232, 7.233 (а), 7.234, 7.239 (а).

Дом: ДЛ-3: 1943, 1947, 1949, 1956, 1981 (б), 1984, 1987, 1990 или ДЛ-1: гл. 7: 7.229 (б), 7.233 (б,в), 7.235, 7.239 (б).

Занятие 15

Локальный экстремум.

Определение. Функция определена в области , точка внутренняя точка области . Пусть непрерывна в точке . Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность такая, что для любого : ().

Определение. Точки локального максимума и минимума функции нескольких переменных называются точками локального экстремума данной функции.

Определение. Точки функции , для которых , называются стационарными точками функции.

Необходимое условие локального экстремума. Пусть точка локального экстремума функции , является непрерывной в этой точке, и существуют конечные частные производные , . Тогда

.

Достаточное условие локального экстремума. Пусть имеет в области непрерывные частные производные до 2 порядка включительно и точка стационарная точка этой функции. Пусть матрица Гессе функции в точке . Тогда

1. если квадратичная форма , определяемая матрицей Гессе, является положительно определенной, то функция имеет в точке строгий локальный минимум;
2. если квадратичная форма , определяемая матрицей Гессе, является отрицательно определенной, то функция имеет в точке строгий локальный максимум;
3. если квадратичная форма является неположительно или неотрицательно определенной, то есть найдется вектор : , то требуются дальнейшие исследования.

Достаточное условие локального экстремума для функции 2 переменных. Пусть имеет в области непрерывные частные производные до 2 порядка включительно и точка стационарная точка этой функции. Обозначим , , , . Тогда

1. если , то является точкой локального минимума;
2. если , то является точкой локального максимума;
3. если , то не является точкой локального экстремума;
4. если , то требуются дальнейшие исследования.

Пример. Найти точки локального экстремума функции

.

Решение. Найдем точки локального экстремума

Получили 4 стационарные точки , , ,. Применим теорему о достаточном условии локального экстремума для каждой точки.

: точка не является точкой экстремума.

: точка не является точкой экстремума.

: точка точка локального минимума.

: точка точка локального максимума.

Задача. Найти точки локального экстремума функции .

Ответ: является точкой локального минимума.

Ауд.: ДЛ-3: 2008, 2010, 2012, 2016, 2016.1, 2021-2024, 2031 или ДЛ-1: гл. 7: 7.187-7.195 (неч).

Дом: ДЛ-3: 2009, 2011, 2014, 2016.2, 2023, 2024, 2033 или ДЛ-1: гл. 7: 7.187-195 (чет).

Занятие 16

Условный экстремум.

Пусть задана функция , требуется найти точки экстремума этой функции при условии, что переменные связаны соотношениями , …, . Данные соотношения называются уравнениями связи, а функция называется целевой функцией.

Определение. Точка , удовлетворяющая уравнениям связи, называется точкой условного локального максимума (минимума) функции , если непрерывна в точке и существует проколотая окрестность .

Введем функцию Лагранжа

.

Необходимое условие условного экстремума. Пусть функция Лагранжа для задачи нахождения условного экстремума является непрерывной в точке условного экстремума им имеет в этой точке непрерывные частные производные 1 порядка по всем переменным, и

.

Тогда найдется такой набор чисел такой, что точка является стационарной точкой функции Лагранжа, то есть в этой точке значения частных производных равны нулю

, .

Достаточное условие условного экстремума. Пусть точка является стационарной точкой функции Лагранжа. Тогда

1. функция имеет в точке строгий условный максимум, если для любых таких, что , ;
2. функция имеет в точке строгий условный минимум, если для любых таких, что , ;
3. функция не имеет экстремума в точке , если существуют : и существуют : .

Достаточное условие условного экстремума для функции 2 переменных. Пусть точка является стационарной точкой функции Лагранжа. Обозначим . Тогда если , то имеет в точке условный локальный максимум; если , то имеет в точке условный локальный минимум; если , то требуется дальнейшее исследование.

Пример. Найти точки условного экстремума для функции и уравнения связи .

Решение. Выпишем функцию Лагранжа .

Найдем стационарные точки из системы , то есть

.

Получим две точки при и при . Посмотрим чему равно значение в точке :

.

Используем другой способ, рассмотрим второй дифференциал функции Лагранжа . Решая тем или другим способом, получаем, что является точкой условного максимума.

Чему равно значение в точке :

, тогда является точкой условного минимума.

Или рассмотрим , откуда является точкой условного минимума.

Задача. Найти точки условного экстремума для функции и уравнения связи .

Ответ: условный минимум при ; условный максимум при .

Ауд.: ДЛ-3: 2008, 2010, 2012, 2016, 2016.1, 2021-2024, 2031 или ДЛ-1: гл. 7: 7.201, 7.205, 7.214.

Дом: ДЛ-3: 2009, 2011, 2014, 2016.2, 2023, 2024, 2033 или ДЛ-1: гл. 7: 7.202-204, 7.210-213.

Занятие 17

Аттестация №2.

1. Дайте определение предела ФНП и сформулируйте его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП.
2. Дайте определение точки локального экстремума ФНП. Выведите необходимые условия экстремума ФНП. Сформулируйте достаточные условия.
3. В точке М (2; 1; 1) найти градиент и производную по направлению функции , если N (0; 2; -1), а также максимальное значение производной по направлению в точке M.
4. Найти и для функции , заданной уравнением
5. Найдите условные экстремумы функции при условии .