ДЗ 1: Векторная алгебра и аналитическая геометрия вариант 1

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

• 1. Найти длину вектора |m+n|, если m=p+aq, n=bp+q, где p и q - единичные векторы, угол между которыми равен φ
• 2. Найти координаты точки M, делящей вектор AB в отношении a:1
• 3. Проверить, можно ли на векторах AB и AD построить параллелограмм. Если да, то найти длины сторон параллелограмма
• 4. Найти углы между диагоналями параллелограмма ABCD
• 5. Найти площадь параллелограмма ABCD
• 6. Убедиться, что на векторах AB, AD, AA₁ можно построить параллелепипед. Найти объем этого параллелепипеда и длину его высоты
• 7. Найти координаты вектора AH, направленного по высоте параллелепипеда, проведенной из точки A к плоскости основания A₁B₁C₁D₁, координаты точки H и координаты единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором AH
• 8. Найти разложение вектора AH по векторам AB, AD, AA₁
• 9. Найти проекцию вектора AH на вектор AA₁
• 10. Написать уравнения плоскостей:

а) P, проходящей через точки A, B, D
б) P₁, проходящей через точку A и прямую A₁B₁
в) P₂, проходящей через точку A₁ и параллельно плоскости P
г) P₃, содержащей прямые AD и AA₁
д) P₄, проходящей через точки A и C₁, перпендикулярно плоскости P

• 11. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат ребра AB и СC₁; написать канонические и параметрические уравнения общего к ним перпендикуляра
• 12. Найти точку A₂, симметричную точке A₁ относительно плоскости основания ABCD
• 13. Найти угол между прямой, на которой лежит диагональ А₁С, и плоскостью основания ABCD
• 14. Найти острый угол между плоскостями ABCD (плоскость P) и АВВ₁А₁ (плоскость P₁)