Ответы к экзамену: Сессия по аналитической геометрии

1 Геометрические векторы. Свободные векторы. Определение коллинеарных и компланарных
векторов. Линейные операции над векторами и их свойства. ............................................................ 4
2 Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательства
условий линейной зависимости 2-х и 3-х векторов. ........................................................................... 6
3 Определение базиса в пространствах векторов V1, V2, V3. Доказательство теоремы о
существовании и единственности разложения вектора по базису. Линейные операции над
векторами, заданными своими координатами в базисе. .................................................................... 8
4 Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора
на ось. Свойства скалярного произведения, их доказательство. Вывод формулы вычисления
скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. .................................................. 9
5 Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном
базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формул вычисления длины
вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном
базисе. ................................................................................................................................................. 11
6 Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов, его
механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения (без док-ва).Вывод
формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе. ........................... 12
7 Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем
пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Условие компланарности трех векторов.
Свойства смешанного произведения. Вывод формулы вычисления смешанного произведения в
ортонормированном базисе............................................................................................................... 13
8-9-10 Определение прямоугольной декартовой системы координат. Решение простейших задач
............................................................................................................................................................. 14
аналитической геометрии. Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное,
параметрические, каноническое. Направляющий вектор прямой. . Вывод уравнения прямой,
проходящей через две заданные точки. ............................................................................................ 14
11 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат на
плоскости уравнение первой степени задает прямую. Общее уравнение прямой. Определение
нормального вектора прямой. Вывод нормального уравнения прямой, геометрический смысл
входящих в него параметров. Приведение общего уравненияпрямой к нормальному виду.......... 17
12 Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Геометрический смысл
входящих в уравнения параметров. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями 18
13 Вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости. ................................................... 19
14 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат в
пространстве уравнение первой степени задает плоскость. Общее уравнение плоскости.
Определение нормального вектора плоскости. Вывод нормального уравнения плоскости,
геометрический смысл входящих в него параметров. Приведение общего уравнения плоскости к
нормальному виду. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
Уравнение плоскости “в отрезках”. .................................................................................................... 20
15 Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. .. 23
16 – 17 Вывод формулы расстояния от точки до плоскости. Общие уравнения прямой в
пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в
пространстве. ...................................................................................................................................... 24
18 Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости. ......................................... 26
19 Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости. ................................................. 27
20 Задача о нахождении расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми. .. 28
21 Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения
эллипса.+++ ......................................................................................................................................... 29
22 Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения
гиперболы.+++..................................................................................................................................... 31
23 Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения
параболы.+++ ...................................................................................................................................... 32
24 Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических
поверхностей 2-го порядка.+++ .......................................................................................................... 33
25 Понятие поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей, образованных
вращением эллипса, гиперболы и параболы.+++ .............................................................................. 34
26 Канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей
методом сечений.+++ ......................................................................................................................... 35
27 Канонические уравнения гиперболоидов. Исследование формы гиперболоидов методом
сечений.+++ ......................................................................................................................................... 36
28 Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоидов методом
сечений.+++ ......................................................................................................................................... 37
29 Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их
свойства. Транспонирование матриц.+++ .......................................................................................... 38
30 Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.+++ ................................................ 40
31 Определение обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы.
Доказательство теоремы об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.+++ ......... 41
32 Критерий существования обратной матрицы. Понятие присоединенной матрицы, ее связь с
обратной матрицей.+++ ...................................................................................................................... 42
33 Вывод формул Крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной
квадратной матрицей.+++................................................................................................................... 43
34 Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) Доказательство критерия
линейной зависимости строк (столбцов).+++ ..................................................................................... 44
35 Определение минора матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре (без
доказательства). Доказательство ее следствия для квадратных матриц.+++ ................................... 45
36 Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.+++ .......................................... 46
37 Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Нахождение обратной матрицы
методом элементарных преобразований.+++ ................................................................................... 47
38 Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно преобразований. Нахождение ранга
матрицы методом элементарных преобразований.+++ .................................................................... 48
39 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ.
Совместные и несовместные СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера—Капели совместности
СЛАУ.+++ .............................................................................................................................................. 49
40 Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Свойства их решений.+++ 51
41 Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ.
Построение ФСР.+++ ........................................................................................................................... 52
42 Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Доказательство теоремы
о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.+++ ..................................................................... 54
Алгоритмы решения задач ................................................................................................................. 55
1 Вычислить объём пирамиды, построенной на векторах a = {a1; a2; a3}, b={b1; b2; b3}, c̅
c1; c2; c3}.
......................................................................................................................................................... 55
2 Написать разложение вектора x̅ = {x1; x2; x3} по векторам a = {a1; a2; a3}, b={b1; b2; b3}, c̅
c1; c2;
c3}. .................................................................................................................................................... 56
3 Найти площадь треугольника, построенного на векторах a = {a1; a2; a3}, b={b1; b2; b3} .............. 57
4 Найти скалярное произведение векторов a=αp+βq, b=αp-βq, если |p|=l, |q|=s, ∠ , = ..... 58
5 Найти площадь треугольника с вершинами в точках A (α1, α2, α3) B (β1, β2, β3) C (γ1, γ2, γ3) ....... 59
6 Даны векторы a = {a1; a2; a3}, b={b1; b2; b3}. Найти прa̅ b(a+b) ....................................................... 60
7 Найти расстояние от точки A (α1, α2, α3) до плоскости, проходящей через точки M1 (β1, β2, β3)
M2 (γ1, γ2, γ3) M3 (θ1, θ 2, θ3) ............................................................................................................... 61
8 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A (α1, α2, α3), перпендикулярно
плоскостям A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 .......................................................................... 62
9 Найти координаты точки, симметричной точке A (α1, α2, α3) относительно плоскости
A1x+B1y+C1z+D1=0. ............................................................................................................................ 63
10 Написать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной через два
уравнения плоскости, как их пересечение (A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0). ..................... 64
11 Найти координаты точки симметричной A (α1, α2, α3) относительно прямой, заданной
каноническим уравнением. ............................................................................................................ 65
12 Решить матричное уравнение AXB=C ........................................................................................ 66
13 Путём элементарных преобразований найти обратную матрицу к матрице 3*3. Сделать
проверку. ......................................................................................................................................... 67
14 Уравнение кривой второго порядка Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 привести к каноническому виду.
Определить тип кривой. Сделать чертёж в исходной системе координат. ................................... 68
15 Решить СЛАУ. Найти нормальную ФСР соответствующей однородной системы, частное
решение неоднородной системы; записать через них общее решение неоднородной системы.?
......................................................................................................................................................... 70