Лекции: Дифракция света. Зоны Френеля

Тип урока: Лекция.
Тема урока: Дифракция света. Зоны Френеля.
Цель урока: Изучение нового материала.

В.Г. СУХОВ, В.И. ШУТОВ

Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Как показывает опыт, свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Так, например, если на пути распространения световой волны находится экран с отверстием, то за экраном будет распространяться резко ограниченный пучок света, ширина которого будет соответствовать ширине отверстия в экране. Однако так будет не всегда. Если уменьшать размер отверстия, то ширина пучка света соответственно будет уменьшаться. Но только до некоторого предела. Если размер отверстия приблизится к длине волны света, то пучок света за отверстием начнет расходиться, причем тем сильнее, чем меньше размер отверстия.
Аналогичное явление наблюдается, когда свет падает на некоторое препятствие. В этом случае за препятствием наблюдается резко выраженная область так называемой геометрической тени, куда свет не проникает. Однако, если уменьшать размеры препятствия, то размеры области геометрической тени соответственно тоже будут уменьшаться, но тоже до некоторого предела. Начиная с некоторого момента тень перестанет быть геометрической, а свет начнет как бы огибать препятствие, заходя за него. Это явление начнет иметь место, когда размер препятствия также станет близок к величине длины волны.
На существование дифракционных явлений еще в середине 17 века обратил внимание Франческо Гримальди. Он пропускал тонкий солнечный луч через маленькое отверстие, ставил на его пути предмет и наблюдал за тенью этого предмета. Гримальди выполнил многочисленные опыты по дифракции на тонких нитях, птичьих перьях, тканях и волокнистых веществах. Вывод один - свет действительно отклоняется от прямолинейного распространения. Но почему? На рисунке приведена фотография шурупа с явными элементами дифракции, а также пример дифракции на маленьком отверстии и на круглом диске. В центре диска отверстия нет, однако на фотографии ясно видно светлое пятно. Это так называемое пятно Пуассона. О нем мы поговорим дальше.
Великий Ньютон также экспериментально исследует явления, открытые Гримальди. Он также наблюдает "причудливое" поведение света и, как и Гримальди, делает попытки объяснить это явление. Но Ньютон придерживался так называемой корпускулярной теории о природе света. Согласно этой теории, свет представляет собой поток специальных световых части, которые Ньютон назвал корпускулами. Корпускулы в однородной среде должны распространяться прямолинейно и объяснить на их основе явление дифракции света оказалось невозможным.
Результат дифракции волн в любом случае можно теоретически обосновать на базе решения общего волнового уравнения. Однако на практике этот метод представляет собой невероятно сложную математическую задачу. Современник Ньютона голландский физик Христиан Гюйгенс предложил приближенный наглядный метод построения волновых поверхностей. Он предположил, что каждый элемент поверхности, которой достигла в данный момент волна (т.е. каждая точка волнового фронта) является центром вторичных волн, огибающая которых в направлении движения волны становится волновым фронтом в более поздний момент времени. Сейчас это предположение называется принципом Гюйгенса. Правда, надо заметить, что сам Гюйгенс не рассматривал свой принцип в качестве инструмента для обоснования дифракции. Наоборот, он считал, что вклад вторичных волн, образующихся на границе препятствия, пренебрежимо мал и что из этого следует прямолинейность распространения света. Базируясь на своем предположении, Гюйгенс пытался объяснить закономерности геометрической оптики. В частности, из принципа Гюйгенса автоматически следуют закономерности отражения и преломления волн. Однако качественно дифракция света может быть обоснована и на базе принципа Гюйгенса. На рисунке показано как вторичные волны «огибают» границу препятствия.
В начале XIX века Френель повторил опыты Гримальди и количественно объяснил их. В качестве базового принципа Френель принял принцип Гюйгенса. Однако он дополнил его положением о том, что вторичные волны, придя в точку наблюдения интерферируют друг с другом и дифракция является результатом интерференции вторичных волн. Принцип Гюйгенса, дополненный утверждением, что вторичные волны интерферируют друг с другом, получил название принципа Гюйгенса - Френеля.
Для количественного описания явления дифракции Френель предложил метод, получивший название метода зон Френеля. В качестве примера рассмотрим следующий случай. Пусть световая волна от очень удаленного источника перпендикулярно падает на непрозрачный экран, в котором имеется небольшое круглое отверстие радиусом R. Пусть точка наблюдения находится на оси симметрии и на расстоянии L от экрана. Волновые поверхности представляют собой плоскости параллельные экрану и одна из них совпадает с экраном. Каждая точка этой волновой поверхности является источником вторичных сферических волн. Все эти вторичные волны интерферируют в точке наблюдения Р и результат этой интерференции определяет интенсивность результирующей волны. Для облегчения расчета этого результата Френель предложил разбить волновую поверхность в пределах отверстия на кольцевые зоны – зоны Френеля. Принцип разбиения заключается в следующем: расстояние от центральной точки О до точки наблюдения Р равно L; расстояние от границы первой зоны до точки наблюдения равно L + λ/2; расстояние от границы второй зоны до точки наблюдения равно L + 2λ/2 и так далее. То есть разность расстояний от соседних границ зон Френеля до точки наблюдения отличаются на λ/2. Таким образом вся площадь отверстия оказывается разбитой на концентрические кольца, каждое из которых представляет собой зону Френеля (центральная зона является кругом). Радиусы зон Френеля равны:

(так как λ << L).Количество зон, укладывающихся в отверстии равно . Результат интерференции вторичных волн в точке Р зависит от этого количества открытых зон. Дело в том, площади всех зон одинаковы и равны площади центрального кольца. Поэтому все зоны при прочих равных условиях должны давать одинаковый вклад в результирующую интенсивность в точке Р. Однако каждая следующая зона находится от точки Р немного дальше предыдущей, а значит и ее вклад будет слегка меньше вклада предыдущей зоны. Если А_m – амплитуда колебаний, создаваемая в точке Р m–ой зоной, то A_m+1 < A_m. Если еще учесть, что колебания от соседних зон приходят в точку Р в противоположных фазах, то суммарная амплитуда колебаний будет определяться выражением:

А = А₁ – А₂ + А₃ – А₄ + …+ А_m = А₁ – (А₂ – А_3­) – (А_4­ – А₅) - …

Так как все выражения в скобках положительные, то суммарная амплитуда всегда меньше, амплитуды, которую дает только одна первая зона Френеля. Можно показать, что если экрана нет совсем, то есть количество зон Френеля равно бесконечности, то суммарная амплитуда колебаний в 2 раза меньше амплитуды, которую дает только первая зона.
Дифракционные явления наблюдаются только если на отверстии или на препятствии укладывается не очень много зон Френеля. Если расстояние от экрана до точки наблюдения в рассмотренном примере равно 1 м, а длина волны света 600 нм (красный свет), то радиус первой зоны Френеля равен . То есть размеры отверстий и препятствий должны быть достаточно малы. Наоборот, если размеры отверстий и препятствий значительно превышают величину , то дифракция не наблюдается и можно пользоваться законами геометрической оптики.
Выводы:
1. Дифракция света на отверстии или препятствии качественно может быть обоснована на базе принципа Гюйгенса.
2. Количественно дифракцию можно описать, дополнив принцип Гюйгенса утверждением об интерференции вторичных волн. Наиболее простым и наглядным методом описания дифракции является метод зон Френеля.
3. Дифракционные явления становятся наблюдаемыми только при малых размерах отверстия или препятствия. На отверстии или препятствии должно укладываться не очень большое количество зон Френеля.