Ответы к экзамену: Теория

Содержание

Теория

• 1 Первообразная. Доказать теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов, ее вывод.+++.........................................................5
• 2 Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Доказать линейность и аддитивность определенного интеграла.+?+ ...............................................8
• 3 Доказать теоремы о переходе в неравенстве к интегралам, об оценке и о среднем для определенного интеграла.+++ .............................................................................................................11
• 4 Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.+++...........13
• 5 Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям (вывод). Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат (вывод).+++.............................................................................................................................................15
• 6 Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, доказать их свойства. Признаки сходимости. Доказать предельный признак сходимости для несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.+++ ..............................................18 7.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах (вывод).+++ .....21
• 8 Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения (вывод).+++.............................................................................................................................................24
• 9 Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения (вывод).+++ ......................26
• 10 Дифференциальные уравнения (ДУ_1-го порядка). Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения.+++ .................................................................................................................................................................31
• 11 Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Поле направлений. Геометрическое решение ДУ 1-го порядка с помощью изоклин. Примеры.+++.........................................................33
• 12 Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли) и их решение. Примеры.+++...........................................................................35
• 13 ДУ n-го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при n = 2 . Теорема существования и единственности решения задачи Коши.+++ ........................41
• 14 Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.+++ ...............................................43
• 15 Линейные ДУ (ЛДУ) п-го порядка: однородные (ОЛДУ) и неоднородные. Теорема о существовании и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Доказать свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ОЛДУ.+++................................................................................................................................................45
• 16 Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Доказать теорему о вронскиане системы линейно зависимых функций и теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений ОЛДУ.+++..........................................................................................47
• 17 Доказать теорему о размерности пространства решений ОЛДУ n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.+++............................................49
• 18 Формула Остроградского-Лиувилля для ОЛДУ n-го порядка (вывод для n = 2 ) и ее следствия.+++.........................................................................................................................................50
• 19 Доказать теорему о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка и теорему о наложении частных решений.+++........................................................................................................53
• 20 ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для n = 2 ).+++...................................................................................55
• 21 Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.+++ ...............................................................................................57
• 22 Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для n = 2 ).+++.........................................................................................................................................................58
• 23 Нормальные системы ДУ. Задача Коши и теорема о существовании и единственности ее решения. Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе, примеры. Сведение нормальной системы к одному уравнению n-го порядка (вывод для n = 2 ), примеры.+++...............................60
• 24 Системы ЛДУ 1-го порядка, однородные и неоднородные. Матричная запись системы. Доказать линейность пространства решений системы ОЛДУ.+++....................................................62
• 25 Вронскиан системы векторных функций и его свойства. Доказать теорему о размерности пространства решений системы ОЛДУ. Структура общего решения. Фундаментальная система решений.+++ ..........................................................................................................................................63
• 26 Структура общего решения системы неоднородных ЛДУ. Метод вариации произвольных постоянных (вывод).+++........................................................................................................................66
• 27 Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для случая вещественных различных корней).+++ .........................................................................................................................67

Теоремы с доказательством

• 1 Теоремы об общем виде первообразной данной функции о ее свойствах.+++ ..........................68
• 2 Основные свойства определенного интеграла: линейность определенного интеграла; аддитивность определенного интеграла.+++ .....................................................................................69
• 3 Теорема об интегрировании функций, связанных неравенствами.+++........................................70
• 4 Теорема об оценке определенного интеграла.+++.........................................................................71
• 5 Теорему об оценке модуля определенного интеграла.+++ ...........................................................72
• 6 Теорема о среднем для определенного интеграла.+++ .................................................................73
• 7 Теорема о производной от интеграла с переменным верхним пределом по его верхнему пределу.+++............................................................................................................................................74
• 8 Вывод формулы Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.+++.....................................75
• 9 Теорема о замене переменной в определенном интеграле. Вывод формулы интегрирования по частям для определенного интеграла.+++.....................................................................................76
• 10 Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода, предельный признак. Исследование на сходимость интеграла+++.......................................................................................78
• 11 Признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода, предельный признак сходимости.---........................................................................................................................................80
• 12 Вывод формулы для вычисления площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовой системе координат.+++ .............................................................................81
• 13 Вывод формулы для вычисления площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат.+++.........................................................................................................................82
• 14 Вывод формулы для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений. Вывод формулы для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.+++ .................................................................................................................84
• 15 Вывод формулы для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОY.+++ .................................................................................................................86
• 16 Вывод формулы для вычисления длины дуги кривой, заданной в декартовой системе координат, параметрически, в полярной системе координат.+++...................................................87
• 17 Доказательство свойства линейности дифференциального оператора однородного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) n-го порядка и линейность пространства решений ОЛДУ+++.................................................................................................................................90
• 18 Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций.+++ ............................................91
• 19 Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.+++............................................................................92
• 20 Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.---...............................................................................93
• 21 Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.+++.................................................................................................................94
• 22 Вывод формулы Остроградского - Лиувилля. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка по известному частному решению.+++..........................................................................................................................................95
• 23 Вывод формулы общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка в случае простых действительных корней характеристического уравнения.+++ ...................................................................................................98
• 24 Вывод формулы общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения.+++........................................................................................................................................99
• 25 Вывод формулы общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка в случае кратных действительных корней характеристического уравнения.+++ .................................................................................................100
• 26 Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.+++...............................................................................................................101
• 27 Теорема о наложении частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения.+++......................................................................................................................................103
• 28 Обоснование метода вариации произвольной постоянной (метод вариации Лагранжа) для линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.+++............................104
• 29 Сведение дифференциального уравнения n-го порядка к нормальной системе.+++.............106
• 30 Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных дифференциальных уравнений.+++ ..................................................................................................107
• 31 Построение общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по корням характеристического уравнения (для случая действительных и различных корней).+++ .......................................................................................109
• 32 Метод вариации произвольных постоянных для неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.+++ ..................................................................................................110

Практика

• Памятка по формулам.........................................................................................................................111
• Площадь криволинейной трапеции ..............................................................................................111
• Длина дуги .......................................................................................................................................111
• Площадь криволинейного сектора................................................................................................111
• Объём тела вращения.....................................................................................................................111
• Площадь поверхности тела вращения ..........................................................................................111
• Формулы общего решения характеристического уравнения......................................................112
• Формула решения системы дифференциальных уравнений......................................................112
• Интегрирование дифференциального уравнения ...........................................................................113
• Однородного....................................................................................................................................113 Неоднородного................................................................................................................................113
• Решение системы дифференциальных уравнений..........................................................................113
• Пункт а ..............................................................................................................................................114
• Пункт б..............................................................................................................................................114
• Составление дифференциального уравнения по его частным решениям ....................................114
• Способ 1 (долгий) ............................................................................................................................115
• Способ 2 (быстрый) .........................................................................................................................115

PDF с гиперссылками для удобного поиска