ВКР: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Содержание

• 0 в узле xi wh если , т.е. , M=const>0. В качестве следующего примера рассмотрим оператор . Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h). Замечая , имеем Отсюда Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е. так как 1.4 Разностная схема Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями - начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать. Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде Lu=f(x), x G (8) с дополнительным условием lu=ц(x), x Г. (9) Введем в области Г сетку и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу Lhyh=fh, x wh, (10) Lhyh=цh, x гh. (11) Функция yh(x), fh(x), цh(x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций {yh}, {fh}, {цh}, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой. Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи. Пример 1. Имеем задачу Коши , 00, M2>0 не зависящие от h и такие, что при любых f h Hh, цh Hh справедлива оценка Hh ≤ M1∙ Hh +M2∙ Hh. (16) Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры. Пример 1. Пусть имеем задачу: (17) Точным решением задачи (17) является функция Если ввести новую функцию то получим задачу (18) Решением задачи (18) является функция Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке = {xi=ih, i=0,n} схемой: (19) Перепишем схему (19) в виде Отсюда имеем Рассмотрим фиксированную точку и выберем последовательность сеток таких, чтобы = i0 ∙ h, т.е. является узлом сетки при h→0. Вычислим значение у в этой точке y( ) = yi0=si0y0. Так как │s│0 и любых h, то│ y( )│≤│si0│∙│y0│< │y(0)│ при любом h. Из этого неравенства видно, что решение разностной схемы (19) непрерывно зависит от вход€ных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части). Пример 2. Имеем уравнение , (20) Точным решением задачи (20) является функция Отсюда следует неравенство , (21) при л>0. Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т.е. (22) Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера (23) . Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем Неравенство (22) будет выполнено, если т.е. . Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива. Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера (24) Отсюда т.е. при Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h. Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом (25) Отсюда имеем Условие (22) будет выполнено, если т.е Отсюда получаем Схема абсолютно устойчива при и т.е. схема (25) условно устойчива при 1.6 Аппроксимация и сходимость Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть uh значение функции u(x) на сеточной области , т.е. uh Hh. Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (12), (13). Введем функцию погрешности решения zh = yh –uh, где yh – решение схемы (14), (15), uh- решение задачи (12), (13) на сетке ͞wh. Подставив yh = zh +uh в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15): (26) (27) (28) Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13). Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если Hh = Hh → 0 при h→0. Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h0 выполняется неравенство Hh = Hh ≤ M ∙ hn, где M > 0, не зависит от h, n > 0. Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если шh = O(hn), т.е ≤ M∙hn. Теорема. Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации. Доказательство. Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28). Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку Hh = Hh ≤ M1 Hh + M2 Hh. (29) Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖zh‖Hh→0 при h→0, если Hh→0 и Hh→0 при h→0. Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hn), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е. Hh = О(hn), Hh = O(hn). Рассмотрим примеры. Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость. Рассмотрим функцию погрешности решения Для zi получаем схему: (30) Разложим ui+1 по формуле Тейлора в точке xi, имеем (31) Подставляя (31) в шi, получим т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем При имеем Выражая zi через z0, получим: Отсюда видно, что при h→0, │zi│→0. Для точности схемы имеем │zi+1│≤ h∙│шs│≤ h ∙ i ∙ O(h) = xi∙O(h) ≤ M ∙ h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера , которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения zi = yi –ui получаем разностную схему: Подставляя разложение (31) в шi , получим Отсюда имеем т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для zi: Множитель при л > 0. Выражая zi через z0, имеем Отсюда │zi│≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации. 1.7 Неравномерная сетка 1.7.1 Построение сеточной области Пусть исходная область ={ }. Ее аппроксимируем сеточной областью: , - средний шаг}- сетка по х; , - средний шаг}- сетка по t; Тогда искомая сетка есть - неравномерная сетка. На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы: - правая разностная производная по х; (1) -сеточная функция; - левая разностная производная по х; (2) - центральная разностная производная по х; (3) - аппроксимация с весом ; (4) Аппроксимация первой производной по t имеет вид: - правая разностная производная по t; (5) - левая разностная производная по t; (6) - центральная разностная производная по t; (7) Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид: