Курсовая работа: Інтеграли зі змінними границями

Содержание

• Курсова робота
• на тему:
• Інтеграли зі змінними границями
• Виконавець студент групи МД-01-1 Ромащук Р. В.
• 0 (2.2.1)де f0=f(0), f1=f(h) тобто інтеграл приблизно заміняється площею заштрихованої трапеції, показаної на малюнку (мал. 2.2.1). мал. 2.2.1. Формула трапецій. Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули (2.2.1). Виразимо f1 та F1=F(h) де F - функція (2.1.2), по формулі Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі (*): (*) (2.2.2) (2.2.3)Згідно (2.2.1) маємо (2.2.4)Відокремивши в правій частині (2.2.3) доданок hf0/2 і замінивши його вираженням (2.2.4), з урахуванням того, що знаходимо Перетворимо тепер другий доданок у правій частині, використовуючи узагальнену теорему про середнє. Тому що (h-t)t0, t[0,t] то за теоремою де [a,b] - деяка точка . Підставляючи отримане в (*), приходимо до формули трапецій із залишковим членом : (2.2.5)2.3. Формула Сімпсона .Припустимо, що fC4[-h,h]. Тоді інтеграл наближеного заміняємо площею заштрихованої криволінійної трапеції, обмеженою зверху параболою, що проходить через точки (-h,f-1), (0,f0), (h,f1), де fi=f(ih) (мал. 2.3.1) мал. 2.3.1 Формула парабол (Сімпсона) Зазначена парабола задається рівнянням у цьому неважко переконатися, поклавши x=-h, x=0, x=h (її можна також одержати, побудувавши інтерполяційний багаточлен другого ступеня і приводячи подібні ). Звідси знаходь Таким чином, формула Сімпсона , називають також формулою парабол, має вид (2.3.1) Покладемо F1=F(h), де F функція (2.1.2). Оскільки F(0)=0, F(k)(x)=f(k-1 ) (x), 1k5 то згідно формули Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі маємо Звідси одержуємо (2.3.2)тому що інші члени взаємно знищуються. Оскільки , t[0,h] то застосовуючи до інтеграла (2.3.2) узагальнену теорему про середнє, знаходимо (2.3.3)де [0,h], [-h,h] - деякі точки. Приймаючи до уваги, що з (2.3.2), (2.3.3) приходимо до формули (2.3.4) тобто до формули Сімпсона з залишковим членом. 3. Чисельні методи знаходження визначеногоІнтеграла зі змінною верхньою межею У деяких випадках необхідно обчислити такі інтеграли Можна, звичайно, розглядати його для кожного значення верхньої границі х як інтеграл зі сталими границями і обчислювати за однією з квадратурних формул, що невигідно у випадку великої кількості значень x. Краще вибрати деяку сітку і скласти таблицю значень інтеграла на цій сітці Fn=F(x) за квадратурної формули високої точності. Тоді (3.1)причому останній інтеграл можна одчислювати за простими квадратурними формулами. Окрім того, маючи таблицю F(xn), можна знаходити F(x) інтерполяцією за цією таблицею. Природно, маючи і похідну інтеграла F (x)=(x)f(x). Краще скористатись інтерполяційним поліномом Ерміта. 4. Опис обчислювального алгоритму При реалізаціі алгоритму обчислення визначеного інтеграла зі змінними границями інтегрування використовуються процедури та функцiї, для того щоб скоротити витрати машинного часу при обчислюваннi, та для компактностi программи. Программа для знаходження написана на мовi Delphi5, стан пограмми – вiдлажена. Обговорювання результатів Таблиця 1 Формула (3.1) Формула Сімпсона Формула трапецій Дійсне значення інтеграла a=0; b=1; -0.7974398040 Різниця 0.0000012883 -0.7974386790 Різниця 0.0000001633 -0.7993252434 Різниця 0.00188672780 -0.7974385156 a=0; b=2; 3.9190337956 Різниця 0.0000062805 3.9190353338 Різниця 0.0000047422 3.90875628130 Різниця 0.01028379486 3.9190400761 a=0; b=3; 10.5498688094 Різниця 0.00002744251 10.5498688094 Різниця 0.00002744251 10.5247085565 Різниця 0.02518769537 10.5498962519 a=0; b=4; 17.8842287345 Різниця 0.0000804723 17.8842201707 Різниця 0.00008903613 17.8382724576 Різниця 0.0460367491 17.8843092068 a=0; b=5; 25.5043003647 Різниця 0.0001835185 25.5042688642 Різниця 0.00021501907 25.4318420115 Різниця 0.0726418717 25.5044838833 a=0; b=6; 33.2576007639 Різниця 0.00035637138 33.2575244054 Різниця 0.00043272988 33.1529684530 Різниця 0.1049886822 33.2579571352 Таблиця 1 була отримана при наступних вхідних даних: Кількість вузлів при побудові таблиці значень інтегралу (1) =20 Кількість вузлів при застосуванні формули трапецій =20 Кількість вузлів при застосуванні формули Сімпсона =20
• Висновки
• Функція FullIntegral(aFull,bFull:real) тип real