Лабораторная работа 4: Лабораторная работа

Лабораторная работа № 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОЁМКОСТИ КОАКСИАЛЬНОГО КАБЕЛЯ И ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА Цель работы: экспериментальное определение и теоретический расчёт электрической ёмкости плоского конденсатора и коаксиального кабеля; расчёт диэлектрической проницаемости твёрдого диэлектрика, помещённого между обкладками плоского конденсатора. Введение Электрическая ёмкость конденсатора определяется отношением заряда одной из обкладок конденсатора к разности потенциалов между его обкладками: 1 2 q q C φ φ U    . Электрическая ёмкость зависит от геометрии конденсаторов (формы, размеров обкладок, расстояния между ними), а также от диэлектрических свойств среды, заполняющей пространство между обкладками. Электроёмкость коаксиального кабеля рассчитывается по формуле электроёмкости цилиндрического конденсатора (РИС. 4.1) 0 2 1 2 ln πε εh C R R  , (1) где h — длина кабеля; R2 и R1—соответственно радиусы внешнего и внутреннего проводников; ε — относительная диэлектрическая проницаемость материала, находящегося между обкладками; ε0 — электрическая постоянная (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 5). Электроёмкость плоского конденсатора рассчитывается по формуле 0 ε εS C d  , где S — площадь пластин, d — расстояние между пластинами. Рис. 4.1 Рис. 4.2 В лабораторной установке плоский конденсатор выполнен в виде трёх металлических пластин, соединённых, как показано на РИС. 4.2. Электроёмкость такой системы равна ёмкости двух одинаковых конденсаторов, соединённых параллельно: 24 0 2 2 ε ab C d  , (2) где а — длина пластин, b — высота пластин, d — расстояние между двумя соседними пластинами. Подобная конструкция благодаря заземлению двух внешних пластин позволяет избежать влияния окружающих тел на электроёмкость системы. Рассчитанные по формулам (1) и (2) электроёмкости сравнивают с их экспериментальными значениями. Для определения относительной диэлектрической проницаемости ε диэлектрика между пластинами плоского конденсатора вставляют пластины диэлектрика длиной а и высотой b. Для того чтобы диэлектрик был плотно прижат к металлическим обкладкам конденсатора, диэлектрические пластины с обеих сторон покрыты слоем металла. Тогда получится конденсатор без воздушного зазора, но с чуть меньшим, чем на РИС. 4.2, расстоянием d1 между обкладками. Электроёмкость такой системы конденсаторов, заполненных диэлектриком, 0 1 2ε εab C d   . (3) Определив экспериментально значение ёмкости С', а также зная a, b, d1, можно рассчитать из (3) относительную диэлектрическую проницаемость диэлектрика 1 2 0 C d ε ε ab   . (4) 1. Описание установки и метода измерений Исследуемый конденсатор Сх через сопротивление R подключён к источнику переменного напряжения — низкочастотному генератору сигналов Г (РИС. 4.3). Рис. 4.3 Выходное напряжение генератора изменяется по закону 0 U U сosωt . Полная ёмкость цепи, схема которой показана на РИС. 4.3, будет включать в себя исследуемую ёмкость Cx и ёмкость Cмв, вносимую в цепь соединительным кабелем и входной цепью милливольтметра. Так как эта ёмкость включена параллельно конденсатору Cx, то C = Cx + Cмв. Кроме того, кабель и измерительные приборы вносят в цепь и некоторую индуктивность L. В результате образуется RLC-цепочка, полное сопротивление которой в цепи переменного тока определяется по формуле 2 2 1 Z R ωL ωC          . 25 Таким образом, сила тока в цепи, равная U Z , в общем случае определяется активным сопротивлением R, индуктивным сопротивлением XL  ωL и ёмкостным сопротивлением 1 XC ωC  . Если подобрать величину сопротивления R так, чтобы выполнялось условие 1 R ωL ωC  , то с достаточной точностью можно считать силу тока в цепи равной 0 cos U U U I ωt Z R R  . В данной работе R = 30 кОм. По закону Ома разность потенциалов на обкладках конденсатора равна произведению 1 0 cos C C U U I X ωt ωC R     . Выражение U0 0 ωRC U C является амплитудным значением напряжения на конденсаторе и может быть измерено милливольтметром mV (РИС. 4.3); U0 — показание милливольтметра, присоединённого непосредственно к клеммам генератора; ω = 2πν, где ν — частота сигнала генератора. Тогда электрическая ёмкость цепи 0 2 0C U C πνRU  . (5) Так как в эту формулу входит отношение напряжений, то оказывается несущественным, как именно проградуирован милливольтметр (по эффективным значениям или по амплитудным). Так как электроёмкость C из формулы (5) представляет собой сумму ёмкостей исследуемого конденсатора Cx и милливольтметра Cмв (на РИС. 4.3 изображена пунктиром), электрическая ёмкость Cx определяется по формуле 0 мв 2 0 х C U C C πνRU   . (6) Следовательно, предварительно необходимо найти ёмкость, вносимую кабелем милливольтметра — Cмв. Для этого подключают к генератору через сопротивление R только милливольтметр (без Cx). Величину Cмв рассчитывают по формуле (5), заменив U0С на U0мв: 0 мв 2 0мв U C πνRU  , (7) где U0мв — показание милливольтметра в цепи с отключённой ёмкостью Сх. При проведении всех измерений необходимо отсоединять осциллограф, так как он обладает ёмкостью. В данной работе осциллограф предназначен для наблюдения качественной картины изменения напряжения при внесении диэлектрика между пластинами конденсатора. 26 2. Порядок выполнения работы 1. Заполните таблицу спецификации измерительных приборов (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 3). Для милливольтметра укажите используемые пределы измерения и соответствующие им цену деления и класс точности. 2. Для определения ёмкости милливольтметра Cмв соберите цепь по схеме РИС. 4.3 без конденсатора Cx и осциллографа. Для удобства подключения кабелей приборов на стенде вмонтирована панель с двумя рядами клемм. В верхнем ряду между второй и третьей клеммами включено сопротивление R = 30 кОм. При подключении приборов следите за тем, чтобы концы кабелей генератора, милливольтметра, осциллографа с обозначением «земля» () были вставлены в нижний ряд клемм. 3. Включите генератор и милливольтметр тумблером «Сеть». 4. Установите на шкале частот одно из значений ν, указанное на стенде установки (100–200 кГц). 5. С помощью ручек «Регулировка выхода» установите на вольтметре генератора рекомендуемое значение напряжения 8–10 В. 6. Точное значение U0 на заданной частоте ν установите по милливольтметру, перебросив один конец его кабеля с клеммы B на клемму A (РИС. 4.3). При этом предел измерения на ламповом вольтметре должен быть не менее 10 В. 7. Верните конец кабеля милливольтметра на клемму B и измерьте милливольтметром значение U0мв. Предел измерения милливольтметра — 3–10 B. Необходимо помнить, что предел измерения милливольтметра всегда выбирают таким образом, чтобы стрелка прибора отклонялась не меньше, чем на половину шкалы. Значения ν, U0, U0мв запишите в ТАБЛ. 4.3. 8. Повторите пп. 4–7 для другой частоты сигнала генератора. 9. Включите в цепь по схеме РИС. 4.3 плоский конденсатор (без диэлектрика). Установите те же частоты сигнала генератора, что и в пп. 4-8. Запишите показания милливольтметра U0С (предел измерений 1–3 В) в ТАБЛ. 4.4. 10. Присоедините осциллограф параллельно конденсатору. С помощью ручек «Стабильность» и «Уровень» добейтесь устойчивого изображения сигнала на экране. Вставьте в зазор между пластинами конденсатора пластины диэлектрика и наблюдайте на экране качественную картину изменения разности потенциалов на конденсаторе. Положения всех ручек осциллографа и генератора приведены на стенде установки. 11. Отсоедините осциллограф. Для тех же частот запишите показания милливольтметра U0C  для случая, когда между пластинами конденсатора находится диэлектрик (предел измерения 1 В или 300 мВ) в ТАБЛ. 4.5. 12. Вместо плоского конденсатора в цепь по схеме РИС. 4.3 включите коаксиальный кабель и проведите для него измерения U0C  (пределы измерений 1 В, 3 В) так же, как в пп. 10, 11. Показания милливольтметра запишите в ТАБЛ. 4.6. 3. Обработка результатов измерений Данные установки: ε = 2,5; R = 30 кОм; a = …; b = …; d = …, d1 = … 27 Таблица 4.1 Теоретический расчёт ёмкости кабеля h, м R1, м R2, м C1, пФ Таблица 4.2 Теоретический расчёт ёмкости плоского конденсатора а, м b, м d, м С2, пФ Таблица 4.3 Определение ёмкости милливольтметра ν, кГц U0, B U0мв, В Cмв, пФ Таблица 4.4 Определение ёмкости системы плоских конденсаторов без диэлектрика ν, кГц U0, B U0C, В Сx, пФ Таблица 4.5 Определение относительной диэлектрической проницаемости твёрдого диэлектрика ν, кГц U0, B U0C  , В x C , пФ ε ε Таблица 4.6 Определение ёмкости коаксиального кабеля ν, кГц U0, B U0C  , В x C , пФ 1. По данным, приведённым на стенде установки, рассчитайте по формуле (1) ёмкость коаксиального кабеля C1, а по формуле (2) — ёмкость системы плоских конденсаторов C2. 2. Рассчитайте ёмкость милливольтметра Cмв по формуле (7), а ёмкость системы плоских конденсаторов Сх — по формуле (6). 3. Вычислите по формуле (6) значение ёмкости системы плоских конденсаторов с диэлектриком x C . 4. Рассчитайте значение диэлектрической проницаемости диэлектрика ε по формуле (4), подставив экспериментальное значение ёмкости x C и значение d1 (см. данные на стенде установки). 5. Рассчитайте ёмкость коаксиального кабеля по формуле (6). 6. Определите погрешности расчёта ёмкостей Сх и x C системы плоских конденсаторов и коаксиального кабеля для одной частоты сигнала генератора по формуле 28       2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 0мв 0 2 0 0мв 0 0мв 0мв 0 Δ Δ Δ Δ 1 Δ Δ , x x C C C C C U ν R C U ν R U U U U U U U U                                                   где Δ 0,02 ν ν  ; Δ 0,05 R R  . Запишите окончательные результаты в виде C C C x x x  Δ с учётом правил округления (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). 7. Сравните экспериментальное значение Сх с теоретическим значением ёмкости С2, проверив выполнение неравенства     2 2 C C C C x x    2 2 Δ Δ , учитывая, что 2 2 Δ 0,05 C C  . Сделайте выводы. (Расхождения между этими величинами могут достигать 15–20%. Это связано с наличием краевых эффектов, влияние которых сказывается на увеличении ёмкости за счёт выхода электрического поля за пределы пластин.) 8. Аналогично п. 7 сравните экспериментальное значение x C кабеля с теоретическим значением его ёмкости С1, учитывая, что 2 2 Δ 0,05 C C  . Сделайте вывод. Контрольные вопросы 1. Дайте определение конденсатора. В чём назначение конденсаторов? 2. Дайте определение электрической ёмкости: ёмкости уединённого проводника, взаимной ёмкости двух проводников, ёмкости конденсатора. От чего зависит электрическая ёмкость? 3. Дайте определение относительной диэлектрической проницаемости вещества. В чём состоит её физический смысл? 4. Получите теоретические формулы (1) и (2). 5. В чём состоит метод определения ёмкости конденсатора в данной работе? Каково назначение каждого прибора в схеме РИС. 4.3? 6. Зависит ли ёмкость конденсатора от частоты подаваемого напряжения? Подтвердите ответ результатами измерений. 7. Выведите формулу для расчёта Сх. В каком приближении она получена? 8. С какой целью и как измеряют ёмкость, вносимую кабелем милливольтметра? 9. Как изменится ёмкость плоского конденсатора, исследуемого в данной работе, если в него вставить только одну диэлектрическую пластину? 10. Как изменится ёмкость плоского конденсатора в данной работе, если в него вставить металлическую пластину толщиной d/4?