Лабораторная работа 1б: Лабораторная работа

Лабораторная работа № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ВАННЫ Цель работы: экспериментальное исследование электростатического поля заряженных тел различной конфигурации и его описание с помощью эквипотенциальных и силовых линий. В данной работе требуется опытным путём выявить расположение эквипотенциалей полей нескольких конфигураций и далее перейти к построению картины силовых линий. Работа выполняется в двух вариантах: А, Б. Введение Электростатическое поле характеризуется в каждой точке пространства вектором напряжённости поля E и потенциалом . Напряжённость электрического поля равна F E q  , где F — сила, с которой поле действует на неподвижный точечный положительный заряд q, находящийся в данной точке пространства. Разность потенциалов равна 1 2 1 2 А φ φ q    , где А1-2 — работа, совершаемая полем (силами поля) при перемещении точечного положительного заряда q по произвольной траектории из точки 1 в точку 2. Если принять потенциал какой-либо точки поля равным нулю, то потенциалы всех прочих точек поля определятся однозначно. Тогда потенциал данной точки поля будет численно равен работе, совершаемой полем при перемещении единичного положительного точечного заряда из данной точки в ту, где значение потенциала принято за нуль. В общем случае напряжённость и потенциал электростатического поля изменяются от точки к точке. Работу поля можно вычислить по формуле 2 1 2 1 А q E dl      . Тогда между напряжённостью и потенциалом получается следующая интегральная связь: 2 1 2 1 φ φ Edl    . Для однородного поля ( E  const ) эта формула приобретает вид φ φ E l 1 2    ( l — перемещение). Если поле неоднородно, то около любой точки В можно выбрать настолько малые перемещения Δl , что поле в пределах этих перемещений можно считать однородным. Тогда        Δ ( ) Δ Δ cos Δ φ φ φВ l Е l Е l α E l , где φ — изменение потенциала при смещении из точки В на Δl , α — угол между векторами E и Δl , а El — проекция E на направление смещения Δl . Из последнего равенства имеем 5 Δ Δ l φ Е l   . (1) Соотношение (1) позволяет находить проекцию напряжённости поля на любые направления в произвольной точке В, если известны значения потенциалов в окрестности этой точки. В общем случае при бесконечно малых перемещениях формула (1) выражает дифференциальную связь между El и  в каждой точке поля l dφ Е dl   . Знак «–» указывает на то, что в направлении вектора E потенциал убывает. Графически электростатическое поле изображается силовыми линиями и эквипотенциальными поверхностями (РИС. 1.1). Силовая линия — воображаемая линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором напряжённости поля E в этой точке. Эквипотенциальная поверхность — геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Графически представлять электростатическое поле на плоскости можно, изображая линии пересечения этих поверхностей данной плоскостью. Эти линии называются эквипотенциальными. Если заряд перемещается в направлении Δl , перпендикулярном силовой линии, т. е. вектору E , то El = 0 и φ = const. Следовательно, во всех точках кривой, расположенной перпендикулярно силовым линиям, потенциал одинаков, т. е. эквипотенциальные линии везде перпендикулярны силовым линиям. Теорема Гаусса позволяет наглядно представить электрическое поле густотой силовых линий. Проведём в пространстве произвольный малый замкнутый контур L и через каждую его точку — силовую линию электростатического поля (РИС. 1.2). Эти силовые линии образуют поверхность, называемую силовой трубкой. Рассмотрев замкнутую поверхность силовой трубки, по теореме Гаусса получим условие ES = const вдоль силовой трубки. Это условие аналогично для жидкости, текущей по трубке переменного сечения S, т. е. vS = const, где v — скорость течения жидкости. Очевидно, что в местах с большей напряжённостью поля силовые линии гуще, а число силовых линий, проходящих сквозь площадку S, пропорционально модулю напряжённости поля. Поскольку поверхность проводника эквипотенциальна, то вектор E направлен к ней по нормали. Модуль напряжённости электрического поля E вблизи поверхности заряженного проводника (электрода) связан с поверхностной плотностью зарядов σ на этом проводнике соотношением σ ε  0Еn , En — проекция вектора E на направление внешней нормали к поверхности электрода. С учётом формулы (1) получим 0 Δ Δ n φ σ ε l   , (2) где φ — изменение потенциала при смещении на малое расстояние Δln по нормали к поверхности проводника. 6 Рис. 1.1 Рис. 1.2 1. Описание установки и метода измерений Аналитический расчёт электростатических полей при сложной конфигурации электродов представляет большие трудности и для ряда случаев невыполним. В то же время при конструировании электронных, ионных и многих других приборов очень важно знать характер распределения поля между электродами сложной формы. Поэтому эту задачу решают либо на ЭВМ, либо экспериментально. В основе данной работы лежит метод моделирования электростатического поля. Сущность этого метода заключается в замене электростатического поля неподвижных зарядов полем стационарного тока в слабопроводящей среде. С этой целью в электролит с малой удельной электропроводностью погружают электроды и прикладывают к ним разность потенциалов. Форма и взаимное расположение электродов должны быть такими же, как форма и расположение заряженных тел, создающих изучаемое электростатическое поле. Теоретический анализ показывает, что в этом случае существует аналогия между распределением потенциалов в поле тока в однородной слабопроводящей среде и в электростатическом поле. Закон Ома в дифференциальной форме j  λE связывает плотность тока j и напряжённость поля E в одной и той же точке. Можно показать, что если проводящая среда однородна (удельная электропроводность λ не зависит от координат), то в наиболее интересных случаях поле E в проводящей среде совпадает с полем Eст , которое существовало бы между данными электродами, если бы между ними было то же напряжение, что и при наличии тока, а вместо проводящей среды был бы вакуум. Отсюда следует, что в однородной проводящей среде силовые линии электростатического поля совпадают с линиями тока j . Покажем это расчётом. Из уравнения непрерывности div ρ j t     , где ρ(x, y, z) — объёмная плотность зарядов в среде, и закона Ома в дифференциальной форме при условии ρ = 0 следует, что поле E в проводящей среде удовлетворяет тому же уравнению, что и электростатическое поле Eст в вакууме: div 0 Eст  , при отсутствии объёмных зарядов (ρ = 0). Необходимы также одинаковые условия на границе электродов для совпадения полей E и Eст . Расчёт даёт, что если удельная электропроводность электролита много меньше, чем удельная электропроводность электродов, то 7 электроды (проводники) будут иметь во всех точках практически один и тот же потенциал, и силовые линии электрического поля внутри проводящей среды будут нормальны к поверхности электродов, как и в электростатическом поле. Это следует из равенства нормальных к поверхности раздела сред составляющих векторов плотности тока, т. е. 1 2 n n j j  . Последнее равенство означает преломление линий электрического тока на поверхности раздела проводников, причём 1 1 2 2 tg tg α λ α λ  , где α1, α2 — углы между линией тока в средах 1, 2 и нормалью к поверхности раздела; λ1, λ2 — удельные электропроводности сред 1, 2. Рассуждения о тождественности электростатического поля в непроводящей среде (вакуум, диэлектрик) и поля постоянного тока в слабопроводящей среде становятся особенно понятны, если рассматривать диэлектрик как предельный случай среды с малой удельной проводимостью. Для большей простоты эксперимента проводят исследование так называемого плоского поля, не зависящего от одной из трёх координат, например, z. В таком поле потенциал постоянен вдоль любой вертикальной линии. В этом случае для изучения распределения потенциала используют вертикальные тонкие металлические стержни — зонды, вводимые внутрь поля. Такие зонды не искажают плоское поле. Вариант А Установка для изучения модели электрического поля представлена на РИС. 1.3. Установка состоит из ванны 1 с электролитом (водопроводной водой), электродов Э1 и Э2, зонда 3, индикаторного прибора ИП, переменных сопротивлений R1 и R2, пантографа 2 и источника переменного напряжения U. Применение переменного напряжения1 удобно для проведения измерений, а также позволяет избежать поляризации электродов, приводящей к искажению поля. При постоянном токе происходил бы процесс электролиза и на электродах выделялись бы составные части электролита. В результате напряжение между электродами в течении измерений менялось бы и измерения были бы менее точными. Электрическая схема ванны изображена на РИС. 1.4. Такого рода схема называется мостом. Участок CD с сопротивлениями R1 и R2 образуют одну из ветвей моста, другая ветвь образована сопротивлением электролита между электродами Э1 и Э2. Участок CD представляет собой потенциометр, который с помощью расположенной на нем шкалы разделён на 10 частей. В диагональ моста АВ между зондом и движком потенциометра А включён индикаторный прибор ИП (см. РИС. 1.3), в качестве которого используется осциллограф. Если, не изменяя потенциала точки А, перемещать зонд, то можно найти такую точку B в поле, потенциал которой равен потенциалу точки A (В = А). Равенство этих потенциалов устанавливают с помощью осциллографа. Разберём этот вопрос подробнее. От блока питания БП переменное напряжение подаётся на точки C и D потенциометра, на электроды Э1 и Э2 и на горизонтально отклоняющие пластины трубки осциллографа (вход X). На вход Y переменное напряжение подаётся с точек А и В (РИС. 1.4). Предположим, зонд находится в такой точке В исследуемого поля, для которой φВ = φА. В этом случае на вход Y 1 Переход на переменный ток низкой частоты (ν = 50 Гц) не изменяет расположение эквипотенциалей, так как длина волны λ, соответствующая переменной разности потенциалов, λ = с/v = 3108/50 = 6106 м, намного больше расстояния между электродами (0,2–0,3 м). Поэтому можно считать, что потенциал во всех точках поля изменяется одновременно. 8 осциллографа напряжение не поступает, вертикальное отклонение луча отсутствует. На горизонтально отклоняющие пластины (на вход X) постоянно подаётся переменное напряжение, заставляющее электронный луч перемещаться по экрану осциллографа то вправо, то влево, прочерчивая на нем горизонтальную прямую. Если передвинуть зонд в другую точку поля, для которой φВ ≠ φА, то картина на экране изменится. Пусть при этом положении зонда для положительного полупериода питающего напряжения выполняется условие φA > φB (положительным условно назовём полупериод, для которого φD > φC). Под действием горизонтально отклоняющих пластин луч начинает движение вправо. Но теперь на вход Y через усилитель подаётся сигнал, пропорциональный φA – φB, под воздействием которого луч смещается вверх. В течение отрицательного полупериода (φC > φD) луч будет скользить одновременно влево и вниз. В результате на экране вместо горизонтальной линии появится наклонная прямая, угол наклона которой будет тем больше, чем дальше находится зонд от точек поля, где φB = φA. Если предположить, что φA < φB, то правый конец прямой отклоняется вниз, а левый вверх. Рис. 1.3 Следовательно, только в точках поля, удовлетворяющих условию φB = φA, прямая на экране горизонтальна. Пользуясь этим критерием, можно выявить все точки поля, в которых потенциал одинаков и равен потенциалу точки А. Определив эту эквипотенциальную кривую, с помощью движка потенциометра изменяют потенциал точки А и аналогичным образом находят новую эквипотенциаль. 9 Рис. 1.4 Найдём связь между положением движка и потенциалом точки А. При условии φB = φA ток через сопротивления R1 и R2 будет одинаков, и напряжение U, подаваемое на диагональ моста CD, делится на участках CA и AD в отношении R1/R2. Если условно принять потенциал точки С (электрода Э1) равным 0, то потенциал точки D (электрода Э2) будет равен U   φ φ D C , т. е. φD = U. Тогда потенциал точки А определится из соотношения 1 2 A C D A φ φ R φ φ R    или, учитывая, что φC = 0 и φD = U, получим 1 1 2 A R φ U R R   . Величина (R1 + R2) является полным сопротивлением потенциометра. Так как потенциометр разделён шкалой на 10 частей, то, установив движок на отметку «1», получим отношение 1 1 2 0,1 R R R   и φA = 0,1U. Следовательно, значения потенциалов точек находят по формуле 10 B A U φ φ N   , (3) где N — число делений потенциометра. Значение U определяют по вольтметру блока питания. При данном положении движка А находят совокупность точек равного потенциала, т. е. эквипотенциаль. Изменяя положения движка и тем самым меняя отношение 1 1 2 R R R , находят серию эквипотенциалей, соответствующих φ1 = 0,1U; φ2 = 0,2U и т. д. Величина U не влияет на картину поля. Так, в частности, эквипотенциаль 0,1U остаётся на одном и том же месте при U = 10 B и U = 20 В, только в первом случае абсолютное значение потенциала на ней будет 1 В, во втором — 2 В. Положение точек равного потенциала фиксируют на миллиметровой бумаге с помощью пантографа (РИС. 1.3). Пантограф — прибор, служащий для копирования рисунков с изменением или без изменения масштаба оригинала. Система рычагов на шарнирах обеспечивает перемещение иглы (карандаша) по 10 бумаге. При движении зонда вдоль эквипотенциали на поверхности воды карандаш отмечает ряд точек, повторяя форму эквипотенциали на бумаге. Масштаб изображения определяют как отношение длин плеч рычагов. Вариант Б Экспериментальная установка представлена на РИС. 1.5. Установка выполнена на базе микропроцессорной техники и снабжена цифровыми системами управления и измерения и жидкокристаллическим дисплеем. В плоский сосуд (ванну), заполненный водой, устанавливаются электроды А и К (катод и анод), которые прикрепляются к держателям (РИС. 1.5А). Электроды являются сменными и позволяют моделировать электрическое поле, возникающее при различных конфигурациях анода и катода. Электроды 1 и 2 (см. РИС. 1.5Б) подключаются к выходам «+» и «–» учебной установки (катод и анод выбираются произвольно) соединительными проводами. Для измерения потенциала точки поля используется специально собранный цифровой вольтметр «ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРИБОР» с высоким входным сопротивлением. Потенциал точки поля измеряется относительно потенциала катода (при этом потенциал катода принимается равным нулю). Постоянное напряжение 5 В подаётся от специального стабилизированного источника питания ИП, находящегося внутри лабораторного модуля ФЭЛ-8. а б Рис. 1.5 Зонд B соединяется с измерительным вольтметром V. Потенциал зонда равен потенциалу того места, где находится зонд. При касании зондом какой-либо точки граничной плоскости вольтметр покажет потенциал этой точки относительно катода. Точность измерения потенциала вольтметром составляет 0,02 В. Измеряя потенциалы различных точек, имеющих один и тот же потенциал, можно построить систему эквипотенциалей, затем изобразить совокупность силовых линий и при необходимости вычислить напряжённость в любой точке поля по формуле (1). Положение точек равного потенциала фиксируют на миллиметровой бумаге с помощью пантографа (см. ВАРИАНТ А). 2. Порядок выполнения работы Вариант А 1. Установите электроды в ванне так, чтобы они выступали из воды на 2-3 мм. 2. Укрепив на столе пантографа лист миллиметровой бумаги, отметьте на ней положение электродов. Для этого, обязательно отключив напряжение U, приблизьте зонд вплотную к электроду и с помощью пантографа отметьте на бумаге несколько точек. По ним проведите линию, изображающую пересечение электрода с поверхностью воды. 11 3. Включите источник питания БП, установите напряжение 10-20 В и запишите значение U. 4. Наблюдайте изображение на экране осциллографа. Фактически в силу особенностей электрической цепи вместо прямой на экране виден эллипс. Однако всё сказанное выше об ориентации этой прямой справедливо для большой оси эллипса. Величину оси эллипса регулируют ручкой «Усиление» осциллографа. Добиваются расположения эллипса в центре экрана с помощью ручек «смещ. X», «смещ. Y». Остальные ручки осциллографа влияния на изображение не оказывают. 5. Снимите картины 2-3 полей (форма и расположение электродов задаются преподавателем). Для этого установите движок потенциометра так, чтобы потенциал зонда составлял 0,1U (или 0,2U). Перемещая зонд, с помощью пантографа отметьте карандашом на бумаге точки, соответствующие данной эквипотенциали. Точки отмечайте для тех положений зонда, при которых прямая (или большая ось эллипса) занимает горизонтальное положение. 6. Повторите действия п. 5 для других эквипотенциалей через каждые 0,1U (0,2U). Для этого перемещайте движок на одно (два) деление вдоль всего потенциометра. Вариант Б 1. Установите электроды в ванне так, чтобы они выступали из воды на 2-3 мм. 2. Укрепив на столе пантографа лист миллиметровой бумаги, отметьте на ней положение электродов. Для этого приблизьте зонд вплотную к электроду и с помощью пантографа отметьте на бумаге несколько точек. По ним проведите линию, изображающую пересечение электрода с поверхностью воды. 3. Проверьте целостность сетевого провода и включите установку в сеть ~220 В. Поставьте переключатель «СЕТЬ» в положение «ВКЛ», при этом должен загореться сигнальный индикатор, и дайте прибору прогреться в течение не менее 5 минут. 4. Подключите измерительный зонд к выходу лабораторного модуля «ИЗМЕРЕНИЕ». Определите потенциал анода φа, прикоснувшись к нему измерительным зондом. Проверьте равенство нулю потенциала катода φк. 5. Постройте эквипотенциали, в которых потенциал имеет значение φ1 = 1,5 В. Для этого следует, плавно перемещая зонд в ванне, наблюдать за показаниями цифрового вольтметра. В некоторой точке вольтметр покажет значение потенциала φ1. Это и будет первая точка эквипотенциальной линии. Отметьте с помощью пантографа положение этой точки на миллиметровке. Аналогичным образом постройте другие точки эквипотенциали так, чтобы расстояние между двумя соседними точками одной и той же эквипотенциали составляло на миллиметровой бумаге от 0,5 см до 3–4 см в зависимости от сложности формы эквипотенциали. Необходимо учитывать, что измерительный вольтметр обеспечивает точные показания только при нахождении зонда в жидкости; при нахождении его в воздухе на дисплее будут наблюдаться «шумовые» эффекты, связанные с работой АЦП вольтметра. Измерения проводите с точностью до 0,1 В. Постройте эквипотенциаль, соединив полученные точки плавной кривой. 6. Постройте другие эквипотенциали со значениями потенциала от 1,5 до 5 В с интервалом 0,3–0,5 В (величина интервала задаётся преподавателем). 12 7. Снимите картины двух полей (форма и расположение электродов задаются преподавателем). 3. Обработка результатов измерений 1. Снимите лист миллиметровой бумаги и по найденным точкам прочертите эквипотенциали, для каждой из них отмечая соответствующее ей значение потенциала в долях U [см. формулу (3)] в варианте А или в вольтах в варианте Б. 2. Проведите силовые линии нормально к эквипотенциалям, в том числе и к электродам: поверхность одного из электродов разбейте с равным шагом и далее по нормалям из этих точек проведите искомые силовые линии. 3. По экспериментальным точкам постройте график зависимости потенциала от расстояния (l) по направлению, указанному преподавателем. За начало отсчёта l примите электрод с нулевым потенциалом. 4. Постройте график зависимости проекции напряжённости El на направление, заданное преподавателем (см. п. 3) от l. 5. Вычислите по формуле (2) поверхностную плотность заряда в произвольной точке электрода; Δφ найдите из графической картины поля как разность потенциалов этого электрода и ближайшей к нему эквипотенциали. Величину Δφ выразите в вольтах в соответствии с формулой (3). Значение ln найдите с учётом масштаба изображения. Дополнительное задание (по указанию преподавателя) 1. Постройте график распределения поверхностной плотности заряда σ по длине плоского электрода. Продумайте, как, пользуясь этим графиком, найти заряд электрода q. 2. Определив напряжённость электрического поля вблизи поверхности электродов, найдите графически поток E сквозь замкнутые поверхности S, окружающие эти электроды. 3. В предположении, что между электродами — вакуум, найдите заряд на поверхности электрода. В расчётах используйте теорему Гаусса. Контрольные вопросы 1. Дайте определение напряжённости, разности потенциалов, потенциала электростатического поля. 2. Какова интегральная и дифференциальная связь между напряжённостью и потенциалом? 3. Что называется силовой линией, эквипотенциальной поверхностью, эквипотенциалью? Каково их взаимное расположение? 4. Поясните электрическую схему экспериментальной установки. Объясните принцип работы установки. 5. Каковы особенности структуры электростатического поля вблизи поверхности проводника? 6. Каковы физические условия возможности замены электростатического поля неподвижных зарядов электрическим полем стационарного тока? 7. Чему равны напряжённость поля и потенциал внутри исследуемых проводников? 13 8. В какой части поверхности проводника поверхностная плотность зарядов максимальна? 9. Две большие плоские параллельные пластины, находящиеся в вакууме на расстоянии d друг от друга, заряжены до разности потенциалов U. Найдите модуль напряжённости электрического поля в пространстве между пластинами. Считая заряды пластин одинаковыми по модулю, найдите поверхностную плотность заряда. 10. Две концентрические сферы радиусами R1 и R2 > R1 имеют заряды Q1 и Q2 соответственно. Найдите зависимость проекции напряжённости электрического поля Er на радиальное направление от расстояния r от центра сфер и постройте её график. Приняв потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке, найдите зависимость потенциала от расстояния от центра сфер и разность потенциалов между сферами; постройте график φ(r). Постройте картину поля.