Расчет линейных цепей постоянного тока

Целью данной работы являются - изучение методов анализа электрических цепей с применением законов Ома и Кирхгофа, определение неизвестных токов и напряжений в заданных электрических цепях разными методами. 2.1. Расчет токов в цепи при непосредственном использовании законов Кирхгофа. Непосредственное применение законов Кирхгофа позволяет установить связь неизвестных токов во всех ветвях с заданными источниками ЭДС при известных параметрах цепи в виде системы уравнений, совместное решение которых дает численное значение всех токов. При составлении этих уравнений выполняют определенную последовательность действий. Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, изображенную на рис.

1. Сначала обозначим на схеме стрелками все токи. Направление их задаем произвольно. Число неизвестных токов в рассматриваемой схеме равно шести. Для определения шести неизвестных необходимо составить по законам Кирхгофа систему из шести уравнений. В рассматриваемой схеме четыре узла (у = 4) и шесть ветвей (b = 6). Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма всех токов, сходящихся к узлу цепи, равна нулю: ∑ ± IK = 0 . Токи, направленные к узлу принимают положительными и записывают со знаком плюс, а от узла – отрицательными. По первому закону Кирхгофа следует составить (у - 1) независимых уравнений, то есть на единицу меньше, чем количество узлов в схеме.

Для любых трех узлов схемы (рис. 1) получим: для узла 1: I1 - I4 - I5 = 0 ; для узла 2: I2 + I5 - I6 = 0 ; (1) для узла 3: I6 + I4 - I3 = 0 . Рис. 1 Второй закон Кирхгофа применяют к замкнутым контурам. Он формулируется так: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС в ветвях контура равна алгебраической сумме падений напряжений на всех резисторах, входящих в этот контур, т.е. 6      E R I K K K (2) К этой общепринятой записи следует добавить, что со знаком «плюс» в уравнение (2) входят все EK и все произведения RK IK , для которых направления ЭДС и токов (указываемые в схеме стрелками) совпадают с выбранным направлением обхода контура. Формула (2) распространяется и на часть контура, обход по которому обрывается в точке "а" и возобновляется в точке "b".

В этом случае в правую часть (2) добавляют напряжение между этими точками Uab   E R I U K K K ab   (3) и при этом учитывают прежнее правило знаков. Для цепи , показанной на рис.1, имеющей шесть ветвей, можно записать согласно второму закону Кирхгофа [b-(y-1)] = 3 независимых уравнения для трех независимых замкнутых контуров. Пусть ими будут контуры, обозначенные как I,II,III. Выбрав направление обхода во всех контурах, например, по ходу часовой стрелки, получим: для верхнего контура: R1I1 + R01I1 + R5I5 - R2I2 = E1 - E2 ; для нижнего контура: R2I2 + R6I6 + R3I3 - Uab = E2 + E3 ; (4) для правого контура: - R5I5 + R4I4 - R6I6 = 0 . Уравнения (1) и (4) составляют полную систему уравнений, составленных по законам Кирхгофа для заданной схемы.

Подставив в нее известные числовые значения сопротивлений, ЭДС и напряжения Uab , необходимо, используя компьютер, определить все токи в схеме. 2.2. Составление уравнения баланса мощностей. Для проверки правильности выполненного расчета используют метод, основанный на рассмотрении энергетических соотношений в рассматриваемой цепи. Согласно закону Джоуля - Ленца, количество теплоты, выделяющейся в единицу времени в резисторах цепи (в приемниках электрической энергии), должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания. Так как мощность равна энергии, расходуемой в единицу времени, то уравнение баланса мощностей при питании от источников напряжения имеет вид РИСТ = РПРИЕМ или 2       EI U I RI ab .

Здесь РИСТ - мощность, отдаваемая источниками в цепь; РПРИЕМ - мощность, потребляемая пассивными приемниками. При этом, если через источник ЭДС Е течет ток I так, что направление тока совпадает с направлением ЭДС, то слагаемое E∙I берется со знаком плюс, источник ЭДС отдает энергию в цепь. В противном случае Е∙I берется со знаком минус, т.е. источник ЭДС потребляет энергию из цепи. Если источник задан в виде напряжения на его зажимах (например, Uab на рис.1), то его мощность определяется как Uab∙I со знаком плюс, если напряжение Uab и ток I направлены встречно, и в противном случае, если 7 напряжение Uab и ток I , проходящий через этот источник, совпадают по направлению, произведение Uab∙I берется со знаком минус.

При выполнении реальных расчетов РИСТ и РПРИЕМ могут несколько отличаться. Для оценки величины несовпадения РИСТ и РПРИЕМ вычисляют относительную погрешность δ% = 100 ИСТ ПРИЕМ ИСТ      . При выполнении расчетов на компьютере эта погрешность не должна превышать 1% . 2.3. Расчет токов в цепи методом контурных токов. Метод контурных токов основан на использовании законов Кирхгофа. По сравнению с методом непосредственного применения законов Кирхгофа метод контурных токов проще, обладает меньшей трудоемкостью, т.к. требуется решать систему с меньшим количеством уравнений, равным числу независимых контуров в схеме. Рис. 2 В рассматриваемом примере (рис. 2) схема имеет три независимых контура и для расчета ее методом контурных токов потребуется решать систему только из трех уравнений.

Рассмотрим последовательность решения задачи методом контурных токов. 1. Задаем стрелками положительные направления токов в ветвях схемы (I1, I2, …, I6). 2. Задаем стрелками положительные направления контурных токов (I11, I22, I33) в независимых контурах схемы (желательно – либо все по часовой стрелке, либо все против.). 3. Записываем в общем виде систему из n уравнений, где n – число 8 контурных токов: I11R11 + I22R12 + I33R13 = E11 I11R21 + I22R22 + I33R23 = E22 I11R31 + I22R32 + I33R33 = E33 . 4. Вычисляем все коэффициенты записанной системы уравнений: R11 , R22 , R33 – равны арифметической сумме сопротивлений рассматриваемого контура (например, R11 = R1 + R01 + R7 + R5 + R2); R12 = R21 , R13 = R31 , R23 = R32 – равны сопротивлению ветви, общей для указанных в индексе контуров .

Эти коэффициенты берутся со знаком минус, если направления контурных токов в схеме приняты одинаково - либо все по часовой стрелке, либо все против (например, R12 = R21 = - R2 , т. е. равно сопротивлению ветви, общей для первого и второго контуров со знаком минус). E11 , E22 , E33 – их значения равны алгебраической сумме ЭДС рассматриваемого контура. ЭДС, которые совпадают по направлению с контурным током, берутся со знаком плюс, иначе – со знаком минус (например, E11 = Е1 – Е2; E22 = Е3 + Е2 + Uab ). 5. Подставляем найденные числовые значения коэффициентов в систему уравнений и решаем ее. Получаем контурные токи (I11, I22, I33). 6. Используя контурные токи, вычисляем реальные токи во всех ветвях исходной схемы (I1, I2, …, I6).

Реальный ток в ветви равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих через рассматриваемую ветвь. Контурные токи, совпадающие с реальным током в ветви, берутся со знаком плюс (например, I1 = I11 ; I2 = - I11 + I22 ). 2.4. Расчет токов в цепи методом межузлового напряжения. Заданную электрическую цепь первоначально следует упростить, заменить эквивалентной, после чего объем вычислений существенно сократится. В схеме цепи, показанной на рис. 1, имеется пассивный треугольник с резисторами R4, R5, R6 , который можно заменить эквивалентной звездой с резисторами R17, R27, R37 (рис. 3), которые вычисляются по формулам: 4 5 17 4 5 6 R R R R R R    ; 5 6 27 4 5 6 R R R R R R    ; 4 6 37 4 5 6 R R R R R R    .

9 Рис. 3 Полученная эквивалентная схема имеет два узла. Для ее расчета воспользуемся методом межузлового напряжения. В этом случае не надо решать системы уравнений. Вычисляем напряжение между узлами 7 и 4 рассматриваемой схемы 1 1 2 2 3 3 74 1 2 3 ( ) E G E G E U G ab U G G G       . Здес 1 1 01 7 17 1 G R R R R     ; 2 2 27 1 G R R   ; 3 3 37 1 G R R   - проводимости ветвей. В этом выражении, если ЕК направлено к первому узлу, то оно берется со знаком плюс. Для напряжения (Uab) наоборот – если оно направлено к первому узлу, то берется со знаком минус, а если ко второму – со знаком плюс. Далее, зная напряжение между двумя узлами U74 , по закону Ома для активного участка цепи определяем токи в ветвях преобразованной схемы ( I1 , I2 , I3 – см.

рис. 3): 74 1 1 1 01 7 17 U E I R R R R       , 74 2 2 2 37 U E I R R     , 74 3 3 3 37 U E Uab I R R     . В этом выражении, если напряжение U74 , приложенное к рассматриваемой ветви , и ЭДС совпадают с направлением тока в ветви, то берутся со знаком плюс. Эти токи I1, I2, I3 одинаковые в преобразованной и исходной схемах. Определив токи I1, I2, I3, вернемся к исходной схеме (рис. 1). Чтобы определить токи I4, I5, I6 воспользуемся первым уравнением из системы (4) и первым и вторым - из (1). 10 2.5. Расчет токов в цепи методом эквивалентного генератора. Метод эквивалентного генератора применяют, когда требуется определить ток или напряжение в одной ветви сложной цепи.

В основе метода лежит теорема об эквивалентном генераторе, утверждающая, что любую линейную электрическую цепь, внутри которой действуют некоторые ЭДС, можно рассматривать относительно данной выделенной из нее ветви как генератор, ЭДС которого ЕЭ равна напряжению на зажимах цепи при отключенной от них указанной ветви, а внутреннее сопротивление RЭ - входному сопротивлению цепи со стороны этих зажимов, определяемому при условии, что источники ЭДС удалены и заменены их внутренними сопротивлениями. Заменяя эту сложную электрическую цепь эквивалентной, состоящей только из приемника (нагрузки) и эквивалентного генератора (источника ЭДС EЭ=UХХ с его внутренним сопротивлением RЭ=RВХ), сводят задачу к закону Ома при сохранении приемника как отдельного элемента эквивалентной цепи (рис.

4). Это позволяет определить ток в ветви с резистором R по формуле (5) Рис. 4 Пусть требуется определить ток I6 в ветви с сопротивлением R6 (рис. 1) методом эквивалентного генератора 23 6 6 23 6 Э ХХ Э ВХ E U I R R R R     . Отключим в исходной схеме ветвь с сопротивлением R6 от заж....