Вопросы/задания: А.Т. Фоменко - Вопросы по курсу лекций

Распознанный текст из изображения:

ВОПРОСЫ

по кцрсц лекций "Классическая дифференциальная геометрия и

топология"

для студентов математиков 2 курса (весна 2004 г.)

Лектор академик А.Т.Фоменко.

ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2-го курса

1. Скалярные произведения. Псевдоевклидово скалярное произведение.

Его свойства.

2. Сферы и псевдосферы. Стереографические проекции в евклидовом и

псевдоевклидовом случаях.

3. Геометрия, индццированная на псевдосферах. Модель Пуанкаре и

геометрия Лобачевского.

4. Области в евклидовом пространстве. Декартовы координаты.

Гладкие кривые, вектор скорости. Длина кривой в декартовых

координатах.

5. Криволинейные координаты. иезавйсимость длины ~ривой от

параметра.

6. Полярные, сферические, цилиндрические координаты. Их особые

точки и якобианы замены координат.

7. Общее понятие якобиана замены координат. Регулярные замены

координат. Матрица Якоби. Координатные линии, примеры.

8. К-мерные гладкие поверхности в области евклидова пространства.

Длина кривой в произвольной криволинейной системе координат.

9. Риманова метрика в области евклидова пространства. Закон

преобразования компонент метрики. Углы между пересекающимися кривыми.

10. Индццированная риманова метрика на поверхностях в евклидовом

пространстве. Примеры.

11. Метрики на плоскости, цилиндре, сфере. Различные формы их

записи (в том числе комплексная).

12. Метрика на плоскости Лобачевского. Различные формы ее записи

(в том числе комплексная).

13. Линейные преобразования евклидова пространства и движения

римановой метрики, заданной в области евклидова пространства.

14. Группа изометрий римановой метрики. Ортогональные

преобразования сохраняют евклидовц метрику. Унитарные преобразования

комплексного пространства.

15. Группы движений евклидовой метрики на прямой, на плоскости,

метрики на сфере.

16. Связь группы вращений двумерной сферы с трехмерным проективным

пространством. Различные определения проективного пространства.

17. Группа движений метрики плоскости Лобачевского.

Дробно-линейные преобразования.

18. Связь группы движений метрики Лобачевского с группой ЯЬ(2,2).

19. Топологические пространства. Хацсдорфовость. Метрические

пространства. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Связность.

Компактность.

20. Общее определение многообразия. Атлас, карты, координатные

отображения. Функции перехода (склейки). Топологические и гладкие

многообразия.

21. Формцлы Френе на плоскости. Натуральный параметр. Кривизна

плоской кривой. Вычисление кривизны в произвольном параметре.

22. Формулы Френе в трехмерном пространстве. Кососимметричность

матрицы Френе. Кривизна и кручение.

23. Теорема о восстановлении плоской кривой по ее кривизне.

24. Диффеоморфизм многобразий. Подмногообразия. Многообразия с

краем и без края.

25. Область в евклидовом пространстве, график гладкой функции,

НЕОСОбая ПОВЕрХНОСтЬ црОВНя ГЛадКОЙ ~цикцИИ, — КаК ГЛадКИЕ

многообразия. Связь теоремы о неявной функции с гладкими

подмногообразиями.

26. Касательный вектор. Три его определения. Касательное

Распознанный текст из изображения:

пространство к гладкому многообразию.

27. Гладкие отображения многообразий. Дифференциал гладкого

отображения. Погрцжения и вложения. Ориентирцемость и

неориентирцемость.

28. Слабая теорема Уитни и вложении многообразий в конечномерное

евклидово пространство (с доказательством).

29. Римановы многообразия. Индццированная риманова метрика на

подмногообразии. Примеры индццированных метрик.

30. Примеры двцмерных многообразий (склейки из плоских

многоцгольников). Теорема классификации двумерных компактных замкнцтых

многообразий (с доказательством).

31. Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная

форма. Ее явный вид для графика фцнкции.

32. Инварианты пары форм. Средняя и гацссовы кривизны. Главные

направления и главные кривизны. Теорема об ортогональности главных

направлений гиперповерхности.

33. Кривые на поверхности. Нормальные сечения. Теорема об

отношении первой и второй квадратичной форм. Формцла Менье.

34. Теорема о совпадении собственных чисел пары форм с главными

кривизнами. Формула Эйлера.

35. Средняя и гацссовы кривизны для двцмерных поверхностей. Примеры

поверхностей постоянной гацссовой кривизны (положительной, нцлевой,

отрицательной).

Зб. Минимальные поверхности. Мыльные пленки, формулировка

теоремы Пуассона-Лапласа о границе раздела двцх сред (без

доказательства). Уравнение минимальной поверхности. Примеры.

37. Гармонические и минимальные поверхности. Гармоничность

минимальной поверхности в конформных координатах.

38. Комплексное пространство. Длина кривой. Связь переменных к и

~Ьат к с вещественными координатами. Операторы 6/бк и

б/б~Ьаг к . Формцлировка комплексного варианта теоремы о неявных

фцнкциях.

39, Алгебраические фцнкции и их римановы поверхности.

Алгебраическая фцнкция ж=Р(к) "(1/2) , где полином Р не имеет кратных

корней.

40. Многозначность алгебраических фцнкций. Римановы поверхности

как области однозначности алгебраических функций. Ветви, точки

ветвления. Примеры.

41. Склейка римановой поверхности из нескольких листов. Риманова

поверхность для алгебраической функции ж=Р(к)"(1/2)

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник