Курсовая работа: Теорема Бонне. Связь между первой и второй квадратичной формой

Курсовая работа:
Предмет: Дифференциальная геометрия
Тема: Теорема Бонне. Связь между первой и второй квадратичной формой
Страниц: 27

Содержание

1 Теорема Бонне.

1.1Теорема Гаусса-бонне.

1.2 Эйлерова характеристика поверхности.

2 Связь между первой и второй квадратичной формы поверхности.

2.1 Первая квадратичная форма.

2.2 Вторая квадратичная форма.

3 Основные теоремы теории поверхности

4 Заключение

ВВЕДЕНИЕ

С внутренней геометрией одной из поверхностей все хорошо знакомы: это планиметрия, то есть геометрия на плоскости. Занимаясь ею, рассматривают плоскость саму по себе, отвлекаясь от окружающего пространства. Точно так же можно изучать геометрию на любой поверхности. Под внутренней геометрией поверхности понимают раздел геометрии, в котором изучают свойства поверхности и фигур на ней без выхода в трехмерное пространство. По отношению к гладким поверхностям можно сказать, что их внутренняя геометрия изучает свойства поверхностей и фигур на них, определяемые первой квадратичной формой. Это будет доказано ниже. К объектам внутренней геометрии относятся, например, длины кривых на поверхности, углы между кривыми, площади областей, полная кривизна поверхности. В данной работе будут рассматриваться такие понятия для поверхностей, которые связаны только с ее первой квадратичной формой, и, таким образом, принадлежащие внутренней геометрии поверхности. Моя работа состоит из двух глав. Первая глава посвящена основным теоремам внутренней геометрии. В этой главе рассматриваются изометричные поверхности, деривационные формулы и теорема Гаусса. «Геодезические линии» – название второй главы моей дипломной работы. Здесь представлено изложение вопросов, посвященных геодезической кривизне кривой на поверхности, геодезическим линиям, полугеодезической параметризации поверхности, рассматривается теорема Гаусса-Бонне, кратчайшие линии и поверхности постоянной кривизны. Также работа содержит следующие обозначения частных производных по u векторных функций. Аналогично записываются частные производные по v. В дипломной работе содержатся подобные обозначения для частных производных первой и второй квадратичной форм. Рассмотрение вопросов внутренней геометрии поверхности основывается на таких понятиях теории поверхности, как первая и вторая квадратичные формы поверхности, полная кривизна поверхности, а так же на вычислении длин дуг кривых, углов между кривыми. Пусть Ф – гладкая поверхность, заданная векторной функцией. Первой квадратичной формой поверхности Ф называется квадрат полного дифференциала векторной функции. Поскольку, то первая квадратичная форма имеет вид: или где Для вычисления длины дуги кривой γ на поверхности Ф достаточно знать первую квадратичную форму поверхности и внутренние уравнения , , дуги АВ кривой γ (значение t=a соответствует точке А, t=b – точке В). Если векторная функция задает поверхность Ф, то векторная функция задает дугу АВ в пространстве (a ≤ t ≤ b). Тогда длина дуги вычисляется по формуле: = .[9] Пусть γ1 и γ2 – две гладкие линии на поверхности Ф, проходящие через точку М. Углом между линиями γ1 и γ2 называется угол между касательными к этим кривым в их общей точке М. Если и – векторы касательных к кривым γ1 и γ2 в точке М, то угол φ между кривыми γ1 и γ2 можно вычислить как угол между . [1] Пусть Ф – гладкая поверхность, заданная векторной функцией . Второй квадратичной формой поверхности Ф называется скалярное произведение

Литература

Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; Норден А. П., Теория поверхностей, М., 1956; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1—2, М. — Л., 1947—48; Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., т. 1, М. — Л., 1935; Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М. — Л., 1948; Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; Фиников С. П., Проективно-дифференциальная геометрия, М. — Л., 1937; Широков П. А., Широков А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959