Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа — это форма записи комплексного числа z = a + bi, которая выражается как z = r (cos φ + i sin φ), где r = |z| = √(a² + b²) — модуль, а φ = arg(z) — аргумент, определяемый как угол между положительной осью абсцисс и вектором от начала координат к точке (a, b) на комплексной плоскости.

• r = √(a² + b²): модуль комплексного числа, определяющий его расстояние от начала координат.
• φ = atan2(b, a) + 2πk: аргумент комплексного числа, представляющий угол в полярной системе координат.
• Формула Муавра: выражение, связывающее степени комплексных чисел в тригонометрической форме.

Представление комплексных чисел на плоскости

Комплексные числа представляются в виде z = a + bi, где a — действительная часть, а b — мнимая часть. На комплексной плоскости они изображаются как точки с координатами (a, b), где ось Ox соответствует действительной части, а ось Oy — мнимой.

Модуль комплексного числа r вычисляется как длина вектора OZ:

r = \sqrt{a^2 + b^2}

. Аргумент φ определяется по формулам

\cos \phi = \frac{a}{r}, \quad \sin \phi = \frac{b}{r}

, с учётом четверти:

\phi = \text{atan2}(b, a) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}

, где главное значение — в интервале (-π, π].

Переход между формами записи осуществляется по формуле:

Разнообразие форм записи и операций с комплексными числами

• Алгебраическая форма:
  z = a + bi
  .
• Тригонометрическая форма:
  z = r (\cos \phi + i \sin \phi)
  .
• Показательная форма:
  z = r e^{i\phi}
  (формула Эйлера).

Аргумент комплексного числа многозначен и может быть выражен как

• Умножение комплексных чисел:
  z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1+\phi_2) + i \sin(\phi_1+\phi_2))
  .
• Деление комплексных чисел:
  \frac{z_1}{z_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right) (\cos(\phi_1-\phi_2) + i \sin(\phi_1-\phi_2))
  .

Применение комплексных чисел в различных областях

Комплексные числа находят широкое применение в математике и физике, особенно в задачах, связанных с решением уравнений и анализом сигналов.

Частые вопросы