Cтепаненко - Основы микроэлектроники (989594), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При анализе удобнее пользоваться не токами, а плотностями токов ), что и сделано в формуле (2.56). Там, где это не вызывает недоразумений, будем для краткости называть величину ) током. Составляющие тока. В одномерном случае, когда движение носителей происходит только вдоль оси х, дрейфовые составляющие записываются следующим образом: (2.57а) ()„)„р = дпр„Е = -дира(др1дх) ()р)хр — — «)пррЕ = -яп))р(дф/дх). (2.576) Для диффузионных составляющих нужно вместо градиента электрического потенциала использовать градиенты химическо- Глава 2.Полулроводллкл го потенциала соответствующих носителей.
Химические потенциалы — зто вторые слагаемые в правых частях формул (2.12). Продифференцируем эти слагаемые по х и подставим результаты вместо величины Е в выражения (2. 57). Тогда диффузионные составляющие токов запишутся следующим образом: йп дп ()»)диф ЧН»9т 1 ~Ф» Йх Йх (2. 58а) (2.586) Й,Р Йр 0 )»л = ЧН 'тт — = Ч11 ах " дх' Коэффициенты Ю„и Юв, которые вошли в выражения (2.58), называются коэффициентами диффузии злектронов и дырок.
Эти величины играют при диффузии ту же роль, что и подвижности при дрейфовом механизме движения. Связь между козффициентами диффузии и подвижностями выражается форму лой Эйнштейна: (2.59) Ап и-по 1 — = Лд— + дтт (1» )' йт т Ч (2.60а) — = Лд— 6РР— Ро 1 + — аЧо()„), Йт т Ч (2. 606) Сравнивая выражения (2.57) и (2.58), можно заметить, что дрейфовые составляющие токов пропорциональны концентрациям носителей, тогда как диффузионные не зависят от концентраций, а определяются только градиентами концентрации. Уравнения непрерывности. Выражения (2.57) и (2.58), говорят о том, что для оценки цолного тока (2.56) необходимо, кроме распределения потенциала ф(х), знать еще и распределения концентраций п(х) и р(х).
В общем случае концентрации зависят не только от координаты, но и от времени, т.е. мы имеем дело с функциями двух переменных: п(х;г) и р(х;т). Эти функции являются решениями так называемых уравнений непрерывности потока. Для электронов и дырок уравнения непрерывности записываются в следующем общем виде: бб 2.8.
Законы движения носителей в полупроводиняал где п — по =Ля и р — рз -— Лр — избыточные концентрации, Лд — скорость генерации носителей под действием внешних факторов, например, света; т — время жизни избыточных носителей. Легко заметить, что уравнения непрерывности обобщают уравнение накопления носителей, которое было получено при анализе процессов рекомбинации )см, (2.44)). Обобщение состоит в том, что при наличии тока в правую часть, помимо генерационного и рекомбинационного членов, добавляется еще один фактор, изменяющий концентрацию: дивергенция вектора потока (у/д).
В одномерном случае Используя эту операцию для всех четырех составляющих тока, описываемых выражениями (2.57) и (2.58), подставляя полученные значения в (2.60) и опуская генерационный член Л,т, запишем уравнения непрерывности в следующей форме: дп п — по д л дл дЕ г + Й вЂ” г- ")3 Š— + л)3» — ' (2.61а) дг т дхг дх дх др р рс д р др дŠ— — + з'р г РрŠ— — Р)зр д - (2.616) дх Последние слагаемые в правых частях (2.61) связаны с наличием объемных зарядов3. В условиях нейтральности эти слагаемые отсутствуют. Третьи слагаемые не связаны с наличием объемных зарядов и в ряде случаев должны учитываться, например, если имеется внутреннее электрическое поле, свойственное неоднородным полупроводникам. 3 При наличии обьемиых зарядов, помимо уравнений непрерывности, приходится лля анализа привлекать еще уравнение Пуассона (2.28).
3 — 3423 Глава 2, Полупроводники Если поле отсутствует или его влиянием можно заведомо пренебречь, полагаем Е = О. Тогда общие уравнения непрерывности (2.61) упрощаются: дп п — пс д и 2 — +в„—; (2.62а) дт т дх др р-р, д'р + Ря —. д« т дхэ (2. 62б) Уравнения (2.62) называются уравнениями диффузии. Они широко используются при анализе полупроводниковых приборов. Диффузия носителей. Пусть на поверхность полупроводника падает рассеянный пучок света (рис. 2.21).
Тогда в тонком приповерхностном слое, в который проникает свет, будут генерироваться электронно-дырочные пары. Между поверхностью и объемом возникнут градиенты концентраа- ф- О- ции электронов и дырок и избыточные носители начнут диффундировать вглубь полупроводника. Такое совме— Ао стное движение обоих типов носите--- ле лей называют биполярной или амбиполярной диффузией. Если бы подвижности (а значит, и х коэффициенты диффузии) у электроРис. 2.21. Бипоаариая нов и дырок были одинаковы„то они диффузия; эффект Деибера двигались бы в виде единого нейтрального потока.
На самом же деле подвижности носителей различны, поэтому у электронного потока будет тенденция «обогнать» дырочный поток. В результате небольшого взаимного сдвига потоков образуется небольшой объемный заря)( и соответствующее электрическое поле; это поле тормозит поток электронов и ускоряет поток дырок. В конце концов устанавливается стационарный режим, при котором избыточные электроны и дырки распределены в виде сдвинутых относительно друг друга «облачков». Эти «облачка» двигаются синхронно, так что результирующий ток отсутствует. Концентрация носителей в «облачках» спадает с удалением от поверхности благодаря рекомбинации. 2,В. Законы двнмення носителей в иолупроводннкак Описанные явлеыия известны под названием эффекта Дембера, а электрическое поле и разность потенциалов, свойственные этому эффекту, называют демберозсним полем и демберозсним напряжением.
Эффект Дембера существенеы только при больших избыточных концентрациях и больших удельных сопротивлениях полупроводников. На практике главную роль играет монопояярная диффузия', характерная тем,что в припо- верхностный слой полупроводника тем или иным сцосо- « бом вводится только один тип носителей — неосновных (рис.
2.22). Процесс введения неосновных носителей называется инжекцией. Пусть для определенности осуществляется инжекция электронов в дырочный полупроводыик. Инжектированные электроны благодаря градиенту коыцентрации будут диффундировать вглубь крис- телла, т.е.появится электронный ток. Заряд избыточыых электронов практически мгновенно (со временем диэлектрической релаксации) будет компеысирован таким же за- Рис. 2.22. Монополярная диффузия; рядом дырок, притягиваемых инжекцня носителей: 1 — омнческое из глубоких слоев. В резуль- поле; 2 — демберовское поле тате вблизи инжектирующей поверхности образуется квазинейтрапьное электронно-дырочное «облачко», почти такое же, как при биполярной диффузии. Несмотря на это внешнее сходство, монополярная диффузия принципиально отличается от биполярной следующими особенностями: 1 Учитывая большую распространенность моноколярной диффузии, прнлатате.
льное»монополярная» обычно опускают. 68 Глава 2. Полупроводники и наличие тока предполагает, что полупроводник является элементом замкнутой цепи; значит, помимо демберовского поля (сосредоточенного вблизи инжектирующей поверхности) во всей толще полупроводника действует «обычное»вЂ” омическое поле, обусловленное приложенным напряжением (рис. 2.22); и потоки электронов и дырок направлены в разные стороны: электроны двигаются вглубь кристалла, а дырки в сторону инжектирующей поверхности — в район электронно-дырочного «облачка», где происходит интенсивная рекомбинация и необходимо пополнение основных носителей; и в связи с постоянством полного тока его электронная и дырочная составляющие меняются в разные стороны: с удалением от поверхности электронный ток убывает (из-за рекомбинации), а дырочный ток растет; поэтому вдали от поверхности дырочная составляющая — главная и имеет чисто дрейфовый характер (дырки двигаются в поле, созданном внешним напряжением); наоборот, в непосредственной близости от поверхности ток почти чисто электронный н обусловлен диффузией, так как напряженность поля здесь близка к нулю (рис.
2.22). Строгое решение задачи о распределении носителей при диффузии затруднительно. Обычно эту задачу решают в так называемом диффузионнод«приближении и для малых избыточных концентраций или, как говорят, для низкого уровня инжекции. Диффузионное приближение означает, что для анализа используются уравнения диффузии (2.62), несмотря на заведомое наличие электрического поля. Справедливость диффузионного приближения оценивают в каждом конкретном случае.
Уровнем инжекции принято называть отношение концентрации избыточных носителей к равновесной концентрации основных носителей или, что то же самое — к концентрации примеси: (2.63) б = ЛпГЛг. Низким уровнем инжекцин считается значение б «1. При этом действительно неравенство (2.64) ап «пэ + Ро 69 2.8. Заиоиы движения носителей в иолгнроводиииах д (Лл) Лп 1 о(Лл) дх2 1,2 Р дг (2.65) Стационарный вариант уравнения получается, если в правой части положить д(Лл)/дг =0: Й (Лп) Лл дхг ~г (2.66) Величина Ь, входящая в уравнения (2.65) и (2.66), выражается следующим образом: (2.67) Это — так называемая средняя диффузионная длина. Она характеризует то среднее расстояние, на которое носители успевают продиффундировать за время жизни.
Поэтому отношение Ь/т есть среднлл скорость диффузии носителей. Диффузионная длина — одна из фундаментальных величин в полупроводниковой физике и технике. Для кремния типичные значения Ь составляют 5 — 20 мкм в зависимости от времени жизни. которое уже использовалось при выводе формул (2.43) и (2.49). Условие низкого уровня инжекции обеспечивает линейность уравнений диффузии. В условиях нейтральности Ли = Лр, поэтому выражения (2.63) и (2.64) действительны для обоих типов носителей. Анализ процессов диффузии.
Если интерес представляют только избыточные концентрации (как обычно и бывает), то достаточно использовать одно из двух уравнений диффузии, поскольку второе дает такой же результат в силу условия нейтральности (Лл = Лр). На самом деле функции Лл(х) и Лфх) несколько различаются из-за различия в коэффициентах диффузии Р„и Р, т.е. из-за эффекта Дембера. Однако в диффузионном приближении электрическими полями (в том числе и демберовским) пренебрегают. Найдем избыточную концентрацию Лл из уравнения (2,62а). Для этого подставим л = по о Лл и опустим индекс п у коэффициента диффузии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
