журнал практики (984044), страница 3
Текст из файла (страница 3)
д)
| Дано | Решение
|
| k=const | Из пункта б) очевидным образом следует равенство
|
| Ac-? |
Ответ: 
.
3) Простейшие численные методы интегрирования уравнений
В данном разделе будут рассматриваться задачи Коши вида 
, где y – функция от x, f – непрерывная по своим аргументам функция, удовлетворяющая в каждом конечном интервале условию Липшица по y. Решение задачи Коши будет определяться на интервале [x0, x]. Во всех методах данный интервал будет разбиваться на n частей так, что x0 сохраняет свое значение, x = xn; величина 
называется шагом расчета. Задачей численных методов является нахождение точек yi, соответствующих значениям xi , i=0,...,n. Используется общая формула 
.
а) Метод Эйлера
В каждой точке, начиная с x0, ищется наклон поля – величина f(xi , yi), равная тангенсу угла наклона касательной. Поскольку предыдущее значение yi известно, можно вычислить значение yi+1 по формуле 
. По найденным таким образом значениям yi строят график функции y(x).
б) Модифицированный метод Эйлера
На практике метод Эйлера редко обеспечивает нужную точность результатов вычислений, поэтому вместо него применяют его модификации или другие численные методы. Все модификации уточняют слагаемое ∆y в формуле вычисления yi+1.
Одна из модификаций состоит в том, что с помощью значения f(xi , yi) получают значение y в точке 
, а затем с его помощью вычисляют новое значение тангенса угла наклона касательной: 
. Значение yi+1 вычисляется по формуле 
.
в) Метод Рунге-Кутты 4 порядка
Этот метод является наиболее распространенным, т.к. позволяет получить достаточно точные результаты при относительно небольшом количестве вычислений. Метод предполагает четырехкратное уточнение ∆y в формуле вычисления yi+1. Сначала рассчитывают коэффициент 
, затем по алгоритму, описанному в пункте б) рассчитывают коэффициент 
по формуле 
. Аналогично вычисляются коэффициенты 
и 
: 
; 
. Значение yi+1 вычисляется по формуле 
.
2
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
