журнал практики (984044), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вектор средней скорости – отношение вектора перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло. 
. Очевидно, направления 
и
одинаковы.
Скорость (мгновенная) – вектор, равный производной перемещения по времени. 
Модуль вектора скорости 
. При достаточно малом перемещении 
соответствующая дуга траектории 
. Отсюда 
.
Путь – скалярная величина ∆s, равная расстоянию, пройденному точкой вдоль траектории. 
.
При v≠const вводится понятие средней путевой скорости на участке ∆s: скалярная величина, равная скорости равномерного движения, при которой ∆s проходится за тот же промежуток времени 
. Вообще говоря, 
, т.к. 
.
Вектор среднего ускорения – отношение приращения вектора скорости 
к промежутку времени ∆t=t2-t1, за который это приращение произошло:
, 
и
сонаправлены.
Ускорение (мгновенное) – векторная величина, равная производной скорости по времени. 
. Модуль вектора ускорения 
.
В
случае плоского движения можно ввести декартову систему отсчета на единичных векторах 
и
. Ее начало отсчета совпадает с движущейся точкой. Тогда вектор ускорения можно разложить по 2 ортогональным направлениям: 
, где 
, R – радиус кривизны траектории в данной точке. 
.
П
ри вращении точки вокруг оси аналогично вводятся характеристики углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения. Положение точки определяется углом поворота относительно некоторого заранее заданного положения. Бесконечно малому углу dφ соответствует вектор 
, направленный по правилу правого винта.
Угловая скорость (мгновенная) – производная от угла поворота по времени. 
,
.
Угловое ускорение – производная от угловой скорости по времени. 
.
Направление 
совпадает с направлением 
, если угловая скорость увеличивается, и противоположно , если угловая скорость уменьшается.
Связь между угловыми и линейными характеристиками:
, где 
-радиус-вектор движущейся точки, относительно любой точки О на оси вращения; R – радиус траектории (окружности).
Динамика, в отличие от кинематики, занимается изучением причин движения тела (точки). Вводится еще одна характеристика движущейся точки – импульс – произведение ее массы на вектор скорости. 
.
Инерциальная система отсчета – такая система отсчета, пространство которой однородно и изотропно, а время однородно. Система отсчета, эквивалентная инерциальной, также является инерциальной. Все приведенные ниже законы действуют только для инерциальной системы отсчета.
Первый закон Ньютона: если на точку не действуют другие тела (точки), то ее импульс со временем не меняется (она находится в состоянии покоя).
Второй закон Ньютона: причиной изменения импульса точки является ее взаимодействие с другими телами (точками). 
. Величина 
называется силой, и 
является численной характеристикой (мерой) взаимодействия тел (точек). В частности, если m=const, то 
.
Т
ретий закон Ньютона: два тела (точки) взаимодействуют с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. 
.
Элементарной работой силы , действующей на точку, на пути ds называется скалярное произведение и перемещения . 
, где α – угол между векторами и . Работа, совершаемая силой на пути от точки 1 к точке 2, равна сумме элементарных работ на всех участках пути от точки 1 к точке 2. 
.
Средняя мощность – отношение работы на пути 1-2 ко времени ∆t прохождения этого пути. 
.
Мгновенная мощность – производная работы по времени.
.
Кинетическая энергия точки массы m равна 
, где p – импульс точки. 
.
Изменение кинетической энергии точки при перемещении из точки 1 в точку 2 равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на точку. 
.
Сила называется консервативной, если ее работа по замкнутой траектории равна нулю. Из этого следует, что работа консервативной силы при перемещении из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории. Поле консервативных сил потенциально. Для частицы, находящейся в потенциальном поле, вводится понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия частицы с координатами (x,y,z) в потенциальном поле – скалярная величина U(x,y,z,x0,y0,z0), равная взятой с обратным знаком работе консервативных сил по перемещению этой частицы из точки (x0,y0,z0), принятой за ноль (U(,x0,y0,z0)=0), в данную точку. U(x,y,z)=-Aконс. Связь консервативной силы и потенциальной энергии: 
, где x,y,z – координаты данной системы, 
– направления координатных осей данной системы.
В однородном поле тяжести Земли 
, где h – высота над поверхностью Земли.
Полная механическая энергия – сумма кинетической и потенциальной энергии. E=T+U.
Приращение полной механической энергии равно работе неконсервативных сил. ∆E=∆T+∆U=A12-A12 конс=А12 стор.
Закон сохранения полной механической энергии E=const выполняется, если на точку действуют только консервативные силы.
-
Решение задач
а)
| Дано | Решение |
| H=800 м |
|
| R=0,3 см | |
| ρ=103 кг/м3 | |
| vз-? |
Ответ: vз≈125,2 м/с.
б)
| Дано | Решение |
| Fc=k∙v | Здесь Проинтегрируем это ДУ в пределах от 0 до v (от Н до h, соответственно). Вычислим отдельно интеграл в левой части: Здесь можно избавиться от модуля, т.к. величина силы сопротивления k∙v во все время падения капли не превосходит величины силы тяжести m∙g. Таким образом, имеем Откуда v0 определяется из уравнения Для определения коэффициента v1 продифференцируем обе части выражения h(v) по h: Для нахождения v2 продифференцируем обе части (*) по h: Поскольку ∆h=h-h0=0,01 м мало по сравнению с высотами h = 100 м и h0 = 99,9 м, верно равенство v(h)≈v(h0)=v0. Подставляя найденные коэффициенты v1, v2 и v(h)≈v0 в ряд v(h), получим
|
| h=100 м | |
| k=0,2 кг/с | |
| v(h)-? |
Ответ: v(h)≈0,005537 м/с.
в)
| Дано | Решение |
| v=0,99vуст | Используя формулу vуст определяется из уравнения k∙vуст-m∙g=0 ,
|
| L-? |
Ответ: L≈799,999988 м.
г)
| Дано | Р |
|
| Рассмотрим уравнение, определяемое вторым законом Ньютона:
Подставляя выражение Рассмотрим окрестность точки h = 0. Уравнение (*) принимает вид Используя метод вариации произвольной постоянной, имеем yон – общее решение данного ДУ. Используем начальное условие y(0) = h′(0)=v для нахождения константы С: Проинтегрируем обе части уравнения по t: В силу того, что пройденный каплей до падения путь мал (∆h = 10-5 м), можно считать малым время падения (tпад = о(h)). Подставим t=tпад в формулу (**):
|
| k0 = 0,1 кг/с | |
| a = 0,1 кг/с | |
| vз-? |
ешение
Ответ: vз ≈ 0,005537 м/с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
