Аналитическая геометрия (977868), страница 6
Текст из файла (страница 6)
При z = h имеем 
, откуда сразу следует ограничение на h и, тем самым, на величину z: 
. В сечениях, как и в предыдущем случае будут эллипсы. При z = ±1 эллипсы вырождаются в точки (0,0,±1).
При x = h или y = h в сечениях опять получатся гиперболы, но в отличие от однополостного гиперболоида не меняющие ориентацию в зависимости от величины h (рис.12б).
При a = b получим гиперболоид вращения.
Поверхность 
называется двуполостным гиперболоидом.
-
Пусть теперь при тех же ограничениях на А, В и С L = 0. Уравнение примет вид:
Сечения плоскостями z = h опять будут эллипсами с увеличивающимися полуосями при возрастании модуля z, а в сечениях x = h или y = h − пересекающиеся прямые (рис.12в).
Такие поверхности называются коническими или конусами.
§24. Параболоиды.
Параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат
определяется уравнением 
, где коэффициенты А, В и K не равны нулю.
Возможны два случая: AB > 0 и AB < 0. Для определенности будем считать A > 0, K < 0.
-
A > 0, B > 0, K < 0. Уравнение приводится к виду
![]()
.
В сечениях z = h (h > 0) получаем эллипсы 
, полуоси которых растут с ростом h.
В сечениях x = h и y = h − параболы 
и 
(рис.13а).
Поверхность 
называется эллиптическим параболоидом.
z z
х
y y
x
рис.13а рис.13б
II. A > 0, B < 0, K < 0. Уравнение имеет вид: 
− гиперболический параболоид.
В сечениях z = h получаются гиперболы, ориентация которых меняется при изменении знака h.
В сечениях x = h и y = h − параболы, имеющие противоположное направление ветвей (рис.13б).
Позднее, при изучении общих свойств линейных пространств, будет доказано, что никаких других поверхностей второго порядка не существует. Возможны только некоторые частные и вырожденные случаи. Любое уравнение второго порядка от трех переменных приводится к одному из рассмотренных типов.
19
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
