Электротехника Касаткин (967630), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ис (Р) Р) 155 Ь 1'г) и„ф Ь Цс® г(с) рЬ -Ь((07 Рас. 5.12 ЬЯ ~Ф ис® 1(р) рс учитывая изображение единичной функции Ц1(1)) =1/р (табл. 5.1) н соотношения (5.38) н (5.39), найдем изображение напряження иС(1): и !О) 1 и (р) = — ь — ° — т(р). Р рС (5 А4) Выражениям (5.43) н (5.44) соответствуют схемы замещения индуктивного и емкостного элементов в операторной форме на рис. 5 32, 6 ив, Если начальные условия нулевые, т. е. 1„(О ) =0 и и.(0 ) =О, то выралюния (5.43) и (5.44) примут вид закона Ома в операторной форме для индуктивного элемента и,(р) =Ф2(р); (5.45а) для емкостного элемента 1 и (р) = —, 1(р), С рС (5.45б) где рА и 1Ярс) — сопротивления индуктивного и емкостного элементов в операторной форме.
Воспользовавшись линейностью лреобразонания Лапласа (538] и для суымы токов в любом узле пепи Е ! (1) = О, получим первый а 1 закон Кирхгофа в операторной форме: Е 1~(р) = О, а 1 (5.46) где („(р) =Ц!а(г)1 (рис.5.13,а, 6). Аналогично и второму закону Кирхгофа дпя любого контура по (2.29) Рис. 5.13 нлн в другой форме по (2.49) иа(г) = ~ еа(г) а 1 а=1 соответствует его представление в операторной форме т (7„(,) =О, а-1 (5.47а) (5.47б) (~ь(р) = В Е,(р), а 1 А 1 (Ра) 7'(г) = Х вЂ”, е (»а) (5 48) где Ф(р) и М(р) — многочлены в числителе и знаменателе изобрпкения Г(р); М' ( р) — производная многочлена М(р) по р1 р — корни многочлена М(р) О, где предполагается, что корни простые. Если получаются кратные корни, то теорема разложения записывается в другой форме.
В качестве примера рассчитаем ток в цепи, содержащий В = 3 ветви и У=2 узла (рис,5~14,а) при ЭДС е(г) =Ее "' (рис.5.14,6) инуле. вых начальных условиях, т. е. при 1 (О ) =О, операторным методом, 155 где У„(р) = Ь1и (т)) н Е (р) = Ь|еа(Г)1, При расчете переходного процесса операторным методом полезно выделить несколько логически самостоятельных этапов; 1) представить исходные данные о параметрах всех элеменгрв схемы цепи в операторной форме.
Это означает, что, во-первых, ЭДС источников напряжения н токи источников тока, заданные мгновенными значениями е (г) и У (г), следует представить по (5,37) соответствующими изображениями Е(р) и ./(р) и, во-вторых, пассивные элементы— схемами замещения по рис. 5.12; 2) для полученной схемы замещения в операторной форме составить и рещить полную систему независимых уравнений по первому 1см. (5.46)1 и второму (см. (5.47)) законам Кирхгофа в операторной фор. ме, т. е. найти изображение Е(р) искомой величины, например ток 7(р) 3) наиболее часто изображение имеет вид рациональной дроби Е(р) = лЧ~) — для которой обратным преобразованием нужно найти орим(р) * гинея 7'(г), например ток 1(г).
Для этого можно воспользоваться теоремой раэлажемия Для этого выполним последовательно все этапы расчета; 1) по правилам, показанным на рис. 5.12, составим схему замещения в операторной форме (рис. 5.14, в), где Е(р) =Е/(р+ а) — изображение функции ЭДС е(г), найденное по (5.37) или выписанное из табл.
5.1; 2) при выбранных положительных направлениях токов составим одно (У вЂ” 1 = 2 — 1 = 1) уравнение по первому закону Кирхгофа для узла е: — У,(Р) + )з(Р) + Ез(Р) = О (5.49 а) и два (Х =  — У + 1 = 3 — 2 + 1 = 2) уравнения ло второму закону Кирхгофа для контуров 1 и 2: ()(р)+ (4(р) =Е( ); и,(р)- (),(р) =О или гА(р) + ли~(р) = Е(р); (5.496) гз)з(р) — рЫ (р);= О, (5.49в) где учзены законы Ома для пассивных элементов (2.42) и (2.45а). Репин систему трех алгебраических уравнений (5.49), определим ток в операторной форме: гзЕ "'" = ы() Рг(р) А (г~ + гэ) Многочлен М(р) = О имеет два корня: р~ =-а и щ = — г„гз/ (Е (г, + + г ) ) =- й, а М' (р) = 2р + а + )), По теореме разложения (5.48) олре- 2,(р) иг А~ "т юг(р) ~и,(р) е(р) в) Рис. 5.14 15б е-бг[.
г1гз пй ("1+ гз) 'ь(г) мзьюмвмме тока показано на рис. 5.14, б. Во многих практических случаях расчетов пользоваться прямым [см. (537)] и обратным [см. (5.48)[ преобразованиями нет необходимости; так как имеются обширные справочные материалы соответствия оригиналов и нх изображений, подобные приведенным в табл. 5.1.
В.то. РАсчет пеРехОдных пРОцессов нА энм с(1 /с(Г = 7" (1 , ..., 1 , и , ..., и „, Г); Ии , /с$г = у'~ ~, (1 , , 1. .. и , „ и „ , г); (5.50) 157 Токи 1~ в индуктивных и напряженна и, на емкостных элементах определаог энергию этих элементов [см. (2.5) и (2.13) [, инерцнонюсть изменения которой прн различного рода коммутациях вызывает переходный пропесс в цепи.
Совокупность токов 1 н юшряжений и. называется переменными сосяюяния цешь Разлмчапп два подхода при применении ЭВМ для расчета цепи. Первый подход предполагает универсальные программные средства, включал входной язык формирования системы уравнений цепи по ее топологии. Такие средства созданы в настоящее время, но нх разработка и совершенствование требуют специальных энанмй в области мате. матнки и программирования. Второй подход, рассмотренный в книге, основан на чмслемном решении систем уравмений цепи при помощи подпрограмм стандартного математического обеспечения ЭВМ. При этом расчетчик самостоятельно составляет систему уравнений в форме, необходимой для реализации подпрограмм. Для расчета стационарных режимов цепи зто система уравнений в матричной форме [см. (1.10)], а для расчета переходных процессов — система дифференцналмных уравюпнй первого порядка относительно переменных состойния.
В последнем случае система уравнений на осюве законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции (2.3) н соотношения между током м напряжением лля емкостных элементов (2.11), описывающая пере. ходный процесс в цепи, преобразуется в систему уравменнй, разрешенную отюсмтельно первмх производных токов 1 м напряжений и,: '1,1~~'-у'1('ь! - 'ьт "с1 - "ся ')' ис Рис. 5.!5 г где т и л — число ицпуктивных и емкостных злементов с иачальиымв значениями токов «, (О), ..., «(0) и напряжений и,,(0), ...,и „(0). Система уравнений (5,37) называется системой уравнений в нормальной форме. Для ее решения разработан ряд эффективных числепиых методов: метод Эйлера, метод Рунге — Кутта и др., входящих в современное сгапдартпое математическое обеспечение ЭВМ. Например, сисюма уравнений, описывающая переходный процесс в пепи на рис.
5.15 и составленная на основе законов Кирхгофа + «~ + « « ; °;= (); ис-и =0 г или с учетом (2,3) и (2.11) ~ис — С вЂ” +«+ « =0; «. и« ис+ Е, — ~ = е(«); ««« 4И« 㫠— А — = О, г и« после исключения тока «„ преобразуется в систему уравнений в нормальной форме отиосительйо переменных состояния 1 и и, и Ыь (е(«) —.с) с 4««. с' — = — — =Ы«, и, «), пи «(е («) - иС) п«с гс в с где е(«) — ЭДС, возбуждзющая переходный процесс в цели при заданных иачальиыхусаовиях и.(0) и !' (0).
!5Е ГЛАВА ШЕСТАЯ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ в.т. ОБщие сВедения В общем случае схемы замещения электротехнических устройств содержат кроме линейных также нелинейные резнстивные, индуктивные н емкостные элементы, соответственно описываемые нелинейньпии вольт-амперными 1(0) (см. рнс. 1.6) или 1(и), вебер.амперными Ф(1 ) (рис, 2.2) и кулон-вольтными ц(и,) (см. рис.
2.4) характерисппсами. Нелинейные свойства элементов могут быть источником нежелательных явлений, например искажения формы тока в цепи, что недопустимо для правильного воспроизведения сигналов. Однако в ряде случаев нелинейньп свойства элементов лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, например вьтрямителей и стабилизаторов напряжения, усилителей и т. д. Для реализации таких устройств создаются элементы с необходнмымн нелинейнымн характеристиками на основе диэлектрических, полупроводниковых, ферромагнитных и других материалов, Для нелинейных цепей неприменим принцип наложения.
Поэтому неприменимы нли применимы с ограничениями все методы расчета цепей, которые на нем основаны; метод контурных токов, метод пало. жения, метод эквивалентного источника. Ограничимся далее анализом цепей, содержащих пассивные нелинейные резистивные двух-, трех- н четырехполюсники. 6.2. ЦЕПИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ДВУХПОЛЮСНИКАМИ Свойства нелинейного резистнвного двухполюсннка определяются вольт-амперной характеристикой (ВАХ), а его схема замещения представляется нелинейным резистивным элементом (рис.
6.1). Есин ВАХ для изменяющегося во времени тока 1(и) и постоянного тока 1(0) совпадают, то двухлолюсннк называется безынерционным, в противном случае — инерционным Последше здесь не будут рассматриваться. Каждая точка ВАХ определяет статистическое Г = У/1 и дифференциальное Г, = й(ег1! сопротивления нелинейного двухлолюсника лиф (рис. 6.1) . В некоторых двухполюсниках, например в лампах накаливания, нелинейность ВАХ обусловлена нагревом, причем в силу ннерционтюстн тепловых процессов для мгновенных значений синусоидальных тока и напрюкения справедливо соотношение и =г (!) 1, где статическое сопротивление г (У ) = УЧ равно отношению действующих значений 159 ' напряжения и тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
