1й_курс_2й_семестр_Лекция_07 (959046), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Выведем волновое уравнениенапримере продольных волн деформации в стержне.F1F2Выделим часть стержня длиной ∆x. Если площадь поперечного сечения стержня равна S, плотность материала ρ, томасса этой части ∆m = ρ S ∆x . При деформациях на эту частьстержня действую силы упругости. Запишем второй законX Ньютона – уравнение движения этой части стержня вдольx x+∆xоси Х:∆max = F2 − F1 .Это уравнение записано в предположении растяжения этой части стержня. Силы с обеихсторон выделенной части вызваны деформацией стержня. При равновесии и отсутствии деформации положение точек в двух близко расположенных сечениях стержня можно задать координатами x и x+∆x.

При деформировании стержня его точки сместятся от равновесных положений. Пусть x1(x) – задает положение точки стержня при деформации, если её равновесное положение задавалось координатой x. Тогда для близкого сечения новыми координатами будетx1+∆x1. Изменение линейного размера части стержня вызвано смещением точек стержня.

Введем величину смещения ξ= x1 − x. По определению, относительная деформация в данном сечении стержня – это отношение изменения длины части стержня к начальной длине этой части:∆x − ∆xε= 1. Если стержень сжимается, то его продольные размеры уменьшаются ∆x1 < ∆x и∆xпоэтому ε<0. Таким образом, при сжатии ε<0 и при растяжении ε>0.Если все точки стержня смещаются на одинаковую величину, то изменения длины участка стержня не происходит. Поэтому деформация равна разности смещений соседних точек∆x − ∆x ∆ξ∆x1 − ∆x = ∆ξ . Тогда можно записать ε = 1=. В пределе (при ∆x → 0 ) получаем∆x∆x∂ξε=.∂xПо обобщенному закону Гука F1 = σ x S , F2 = σ x +∆x S . Напряжения в сечениях стержнянайдем по закону Гука: σ x = Eε x , σ x +∆x = Eε x +∆x , где Е – модуль упругости материала (модульЮнга).Относительная деформация меняется вдоль стержня, поэтому можно считать, что∂εε x +∆x = ε x + ∆x + ...

(разложение в ряд Тейлора). Ускорение точек выделенной части стержня∂x2∂ξax = 2 . Последовательно подставим эти соотношения в уравнения движения:∂t∂ 2ξ∂ 2ξ∂ε∂ 2ξ∆max = F2 − F1 : ρ S ∆x 2 = σ x +∆x S − σ x S , ρ∆x 2 = Eε 2 − Eε1 , ρ∆x 2 = E  ε1 +∆x  − Eε1 ,∂t∂t∂t∂x ∂ 2ξ∂ερ∆x 2 = E ∆x .∂t∂x1й курс. 2й семестр. Лекция 75∂ξ, после сокращений, получаем дифференциальное уравнение, опи∂xсывающее распространение волны (вдоль одного направления – оси Х):2∂ 2ξ E ∂ 2ε∂ 2ξ2 ∂ ξ= ⋅или 2 = v.∂t 2 ρ ∂x 2∂t∂x 2Здесь, ξ - параметр, описывающий колебания (величина смещения точек при деформации),Ev=– скорость волны.♣С учетом равенства ε =ρРассмотрим выделенный участок стержня длиной ∆x.

При колебаниях скорость этого∂ξ∂ξучасткаи величина деформации. Соответственно, кинетическая и потенциальные энер∂t∂x2211  ∂ξ  ∂ξ гии выделенного участка равны WК = ρS ∆x   и WП = E   S ∆x . Объем участка22  ∂x  ∂t 22W + WП 1  ∂ξ  1  ∂ξ V = S ∆x . Объемная плотность механической энергии w = К= ρ  + E   .V2  ∂t  2  ∂x Если уравнение движения волны записать в виде ξ = Acos ( ωt − kx + α ) , то с учетом соотноше∂ξ∂ξ= −ωA sin ( ωt − kx + α ) и деформации= −kA sin ( ωt − kx + α ) получается∂t∂x11w = ρ ⋅ ω2 A2 sin 2 ( ωt − kx + α ) + E ⋅ k 2 A2 sin 2 ( ωt − kx + α ) ,221w = ( ρ ⋅ ω2 + E ⋅ k 2 ) A2 sin 2 ( ωt − kx + α ) .2E ω22Используем выражение для скорости волны v = = 2 :ρ kний для скорости E k2  1 2 21w = ρ ⋅ ω 1 + ⋅ 2  A sin ( ωt − kx + α ) = ρ⋅ ω2 2 A2 sin 2 ( ωt − kx + α )2 ρ ω 2ρ ⋅ ω2 A21 − cos ( 2 [ ωt − kx + α ]) .w=2Среднее значение плотности потока энергии, переносимой волной1 t ρ⋅ ω2 A2 ρ ⋅ ω2 A2w = lim  ∫1 − cos ( 2 [ ωt − kx + α ]) dt  =t →∞ t22 0Следствия∂ξ= −ωA sin ( ωt − kx + α ) и деформации среды1) Величины скорости точек∂t∂ξ= −kA sin ( ωt − kx + α ) колеблются синфазно друг другу.∂x2) Закон изменения плотности энергии описывается волновым уравнением и представляет2ωволну плотности энергии.

Скорость этой волны v ЭН == v в данном случае совпадает2kс фазовой скоростью волны. (В общем случае это не так.)2(())1й курс. 2й семестр. Лекция 76Вектор УмоваПусть энергия переносится со скоростью v в направлении под углом α к нормали некоторой малой площадки S. Тогда вся энергия, прошедшая через эту площадку за малое время dt окажется в области, объем которой dV = S ⋅ v ⋅ cos α ⋅ dt (на рисунке эта область является косым цилинSдром). Если объемная плотность энергии равна w, то энергия этого объемаαW = w ⋅ dV=w ⋅ S ⋅ v ⋅ cos α ⋅ dtdWvМощность переноса энергии через площадку S:= w ⋅ dV=w ⋅ S ⋅ v ⋅ cos α .dtВведем вектор плотности потока энергии (Вектор Умова)v⋅cosα⋅dtj = w⋅v, dWтогда= j ⋅ S ⋅ cos α .

Если ввести вектор S = n ⋅ S , направленный по нормали к площадке, иdt скалярное произведение j ⋅ S ⋅ cos α = j ,S определить как поток вектора Умова через площад-( )ку S, то мощность переноса энергии через площадку определяется потоком вектора Умова че dWрез эту площадку= j ,S .dtИнтенсивность волны – это средняя по времени энергия переносимая волной через площадку внаправлении перпендикулярном к этой площадке.ρ ⋅ ω2 A2Для плоской волны интенсивность I =S не меняется при распространении волны2Для сферической волны интенсивность через любую сферу радиуса R с центром в источникеρ ⋅ ω2 A2ρ ⋅ ω2 A0 2I=S=4πR 2 = 2πρ⋅ ω2 A0 2222 Rявляется постоянной величиной.Если интенсивность волны уменьшается, то среда называется диссипативной.Если интенсивность волны увеличивается, то среда называется активной.Интерференция волнИнтерференция волн – взаимное усиление или ослабление волн при их наложении другна друга (суперпозиции волн) при одновременном распространении в пространстве, что приводит к перераспределению энергии колебаний, устойчиYвому во времени.

Интерференция волн наблюдается согласно принципу суперпозиции волн.y∑Рассмотрим суперпозицию двух волн одного наy2правления ξ1 = A1 cos ( ω1t − k1 x1 + α1 ) иА∑А2δξ2 = A2 cos ( ω2t − k2 x2 + α 2 ) .y1Рассмотрим амплитудно-векторную диаграмму.ϕ2XА1По теореме косинусовOx∑xx1AΣ2 = A12 + A22 − 2 A1 A2 cos ( π − δ )ϕ∑ 2ϕ1Учтем, что cos ( π − δ ) = − cos δ ,( )δ = ϕ2 − ϕ1 = ( ω2 − ω1 ) t − ( k2 x2 − k1 x1 ) + α 2 − α1 , тогдаAΣ2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ( ( ω2 − ω1 ) t − ( k2 x2 − k1 x1 ) + α 2 − α1 ) .Если результирующая амплитуда не зависит от времени, то разность фаз волн должна быть постоянной во времени. Такие волны называются когерентными. В частности, получаем, что частоты когерентных волн совпадают ω2 = ω1 .Вообще говоря, волны могут двигаться к точке встречи в разных средах, поэтому их скорости могут быть там различными, а также расстояние до точки тоже могут быть разными.1й курс.

2й семестр. Лекция 77AΣ2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ( ( k2 x2 − k1 x1 ) − ( α 2 − α1 ) )Поэтому в точке наблюдения может бытьлибо усиление колебаний при cos ( ( k2 x2 − k1 x1 ) − ( α 2 − α1 ) ) = 1 ,либо ослабление колебаний при cos ( ( k2 x2 − k1 x1 ) − ( α 2 − α1 ) ) = −1 .Стоячая волна.Стоячая волна образуется при наложении двух волн одинаковой частоты, бегущих впротивоположных направлениях:ξ = A cos (ωt + kx + α1 ) + A cos (ωt − kx + α 2 )Пусть α1 = 0 и α 2 = 0 , тогда ξ = 2 A cos ( kx ) cos (ωt + θ ) .Величину A0 = 2 A cos ( kx ) можно назвать амплитудой стоячей волны.

Так как амплитуда неможет быть отрицательной, то необходимо брать модуль cos ( kx ) . Тогда в тех точках, гдеcos ( kx ) > 0 значение θ=0, а в тех точках, где cos ( kx ) < 0 надо, для учета знака минус, принятьθ=π. Точки, где амплитуда стоячей волны максимальная, называются пучностями. Эти точкиможно найти из условия cos ( kx ) = 1 , откуда kx = ±π ⋅ n (n – целое число). Следовательно, координаты пучностей x ПУЧ n = ±на расстоянииλ2π ⋅nk=±π ⋅nλλ = ± n .

Соседние пучности находятся друг от друга2π2- половины длины волны. Точки, где амплитуда стоячей волны равна нулю,называются узлами. Эти точки можно найти из условия cos ( kx ) = 0 , откуда kx =целое число). Следовательно, координаты узлов xnУЗπ2± π ⋅ n (n –π π ±π ⋅n  ±π ⋅n2=2 λ =  1 ± n λ .=k2π22Соседние узлы находятся друг от друга на расстоянииλ2- половины длины волны.λСледовательно, расстояние между ближайшими соседними узлами и пучностями равно21  ∂ξ  1  ∂ξ Найдем объемную плотность энергии стоячей волны w = wК + wП = ρ   + E  2  ∂t  2  ∂x 2211w = ρ ( −ω2 A cos ( kx ) sin ( ωt + θ ) ) + E ( − k 2 A sin ( kx ) cos ( ωt + θ ) )222222w = 2 A ρω ( cos ( kx ) sin ( ωt + θ ) + sin 2 ( kx ) cos 2 ( ωt + θ ) )4.2 1 + cos ( 2kx ) 1 − cos ( 2 [ ωt + θ]) 1 − cos ( 2kx ) 1 + cos ( 2 [ ωt + θ]) w = 2 A2ρω2 +2222(w = A2ρω2 1 − cos ( 2kx ) cos ( 2 [ ωt + θ]))Видно, что плотность энергии тоже является стоячей волной.

Т.е. энергия стоячей волной непереносится..

Характеристики

Список файлов лекций