1й_курс_2й_семестр_Лекция_07 (959046)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1й курс. 2й семестр. Лекция 71Лекция 7. «Механические волны».Виды механических волн. Упругие волны в стержнях. Волновое уравнение. Плоская гармоническая волна, длина волны, фазовая скорость. Сферические волны. Объемная плотность энергииволны. Вектор Умова – вектор плотности потока энергии. Когерентные волны. Интерференция волн. Стоячая волна.Волна – это процесс распространения возмущений некоторой физической величины впространстве с течением времени.

Если возмущения описываются как механическое движениесреды, то волна называется механической. Например, возмущения могут представлять собойотклонения точек среды от своих положений равновесия. Если эти отклонения направлены перпендикулярно движению волны, то волна называется поперечной, если параллельны - то продольной. Примером поперечных волн являются волны на поверхности жидкости или колебаниягитарной струны. В глубине жидкости или в газе могут распространяться только продольныеволны. Примером является звуковая волна – колебания давления (плотности) в газе или жидкости.Важное свойство волновых движений состоит в локальной связи между возмущениями вблизких точках среды.

То есть отклонение от положения одной точки вызывает отклонения соседних близких точек. Локальная связь между точками является причинно-следственной связью, поэтому процесс распространения возмущения в таких средах имеет конечную скорость.Монохроматическая волна – это идеализация волнового процесса – это бесконечная волна, при которой состояние среды описывается с помощью гармонической функции постояннойчастоты.Рассмотрим поперечную монохроматическую волну, испускаемую некоторым источником, находящимся в начале оси X (х=0) и совершающим колебания по гармоническому закону.Пусть его закон колебаний имеет вид ξ = A cos ( ωt + α ) .

Так как скорость движения волны конечная, то обозначим её через v.Колебание, испущенное источником в момент времеL=xни t придет (без изменений) в точку, отстоящую отисточника на расстоянии L, лишь спустя промежутокx=0xLXвремени ∆t = :vLξ = A cos (ω ( t − ∆t ) + α ) = A cos  ωt − ω + α vПоэтому колебания в координате x>0 будут иметь вид ξ = A cos (ωt − kx + α ) - волна, бегущая вположительном направлении оси X, а если x<0, то ξ = A cos (ωt + kx + α ) - волна, бегущая в отрицательном направлении оси X. Здесь величина k =ωvназывается волновым числом.Так как ω - циклическая частота, то временной период T =2π.ωk – циклическая частота колебаний по координате X, поэтому пространственный период λ =ω2πk2π 2π=, откуда получаем λ = vT vλ vTто есть длина волны – это расстояние, проходимое волной за время, равное периоду колебаний.Для функции ξ = A cos (ωt − kx + α ) выполняются соотношенияназывается длиной волны.

Из соотношения k =получаем∂ 2ξ∂ 2ξ1 ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ22=−ωAcosωt−kx+α,=−kAcosωt−kx+α,=откуда()()∂t 2∂x 2ω 2 ∂t 2 k 2 ∂x 22∂ 2ξ2 ∂ ξ=v∂t 2∂x 21й курс. 2й семестр. Лекция 72Это уравнение называется волновым уравнением для одномерного случая (Вдоль координатыX).Рассмотрим свойства решений этого уравнения.1. Геометрическое место точек среды, где наблюдаются колебания, называют волновым полем.Волновое уравнение – линейное, в том смысле, что сумма двух решений тоже является решением. Это так называемый принцип суперпозиции – при наложении волновых полей получаетсяполе волновое поле, являющееся их суммой.В общем случае решением одномерного волнового уравнения является сумма двух произвольных дважды непрерывно-дифференцируемых функцийξ = f1 ( x − vt ) + f 2 ( x + vt ) ,одна из которых - f1 ( x − vt ) - описывает возмущение, распространяющееся в положительномнаправлении оси X – его называют убегающей волной, а вторая, f 2 ( x + vt ) - в отрицательномнаправлениях оси X – её называют набегающей волной.Действительно, подставим в волновое уравнение выражениеξ = f1 ( x − vt ) + f 2 ( x + vt ) .Тогда∂ξ ∂= ( f1 ( x − vt ) + f 2 ( x + vt ) ) = − v ⋅ f1′( x − vt ) + v ⋅ f 2′ ( x + vt ) ,∂t ∂t∂ 2ξ= v 2 f1′′( x − vt ) + v 2 f 2′′( x + vt ) ,2∂t∂ξ ∂∂ 2ξ= ( f1 ( x − vt ) + f 2 ( x + vt ) ) = f1′( x − vt ) + f 2′ ( x + vt ) , 2 = f1′′( x − vt ) + f 2′′( x + vt ) .∂x ∂x∂xШтрихи означают производные от функций по аргументу.∂ 2ξ∂ 2ξПри подстановке этих соотношений в волновое уравнение 2 = v 2 2 :∂t∂x222v f1′′( x − vt ) + v f 2′′( x + vt ) = v ( f1′′( x − vt ) + f 2′′( x + vt ) )получаем тождество.2.

Геометрическое место точек в пространстве, для которых фаза волны одинаковая называютволновой или фазовой поверхностью. В одномерном случае волновая поверхность – это плоскость, которая движется вдоль оси с течением времени ωt + kx = const или ωt − kx = const . Поэтому волна называется плоской. Если волновая поверхность – сфера, то волна называется сферической.Скорость движения плоской фазовой поверхности можно найти дифференцированием поωвремени уравнений ω + kx = 0 или ω − kx = 0 .

Видно, что скорость вдоль оси v = ± по велиkчине совпадает со скоростью волны, определяемой из уравнения. Таким образом, в волновом∂ 2ξ∂ 2ξуравнении 2 = v 2 2 присутствует квадрат скорости, которая называется фазовой скоро∂t∂xстью волны.Замечание. В общем случае, фазовая скорость может зависеть от параметров волны (амплитуды, частоты). Для случая, когда скорость зависит от частоты волны, имеется особое название –дисперсия волн.Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении.Пусть волна движется в направлении прямой линии, которая проходит через начало координат.

Тогда радиус-вектор любой точки, лежащей на этой прямой, тоже лежит на этой прямой и длина этого вектора равна расстоянию R от начала координат. Поэтому уравнение волны,которая бежит вдоль этой прямой можно записать в виде ξ = A cos ( ωt − kR + α ) . Фазовая поверхность перпендикулярна этой прямой. Введем волновой вектор k , направленный перпенди-1й курс. 2й семестр. Лекция 7kZY3кулярно фазовой (волновой) поверхности волны в сторону её 2πдвижения.

Длина вектора k =равна волновому числу. Такλкак волновой вектор параллелен прямой, то можно записать kR = k ,R и ξ = A sin ωt − k , R + α .( )R( ( ) )Но для любой плоской волны всегда есть прямая линия,перпендикулярная волновой поверхности и проходящая через наXчало координат, поэтому такая форма записи является общей.В чем удобство введения волнового вектора? С его помощью можно определять положения любой волновой поверхности.

При этом движение волновой поВолновая поверхности можно описать с помощью лучей. Луч – это линия в проверхностьстранстве, касательная к которой в каждой точке направлена как волновой вектор.Волновое уравнение для движения волны в 3х мерном пространстве в общем случае имеет вид:∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2 ξ 1 ∂ 2ξ++=/∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t 2лучи∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2 ξЕсли ввести условное обозначение 2 + 2 + 2 = ∆ξ , то это уравне∂x ∂y∂zние можно записать в виде1 ∂ 2ξ∆ξ = 2 2 ,v ∂t222∂∂∂где 2 + 2 + 2 = ∆ так называемый оператор Лапласа (Пьер-Симо"н Лапла"с – француз∂x ∂y ∂zский ученый).Сферическая волна описывается функцией AAξ = 0 ⋅ cos ωt + k ,R + α + 0 ⋅ cos ωt − k ,R + β .RRАмплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию от центра волны.Примеры по выводу уравнений колебаний.Рассмотрим малые поперечные колебания тонкой однородной струны длины L и массыFYYα2α1FX(( ) )(( ) )xx+∆xXm, закрепленной с обоих концов.

Пусть сила натяжения струны F постоянная по величине.Форма проволоки задается уравнением y(x). Выделим малый кусок проволоки, длина котороговдоль оси X равна ∆x, а масса ∆m. Так как колебания поперечные, то запишем второй законНьютона для куска ∆m вдоль оси Y:∆ma y = F ⋅ tg α 2 − F ⋅ tg α1tg α1 =∂y∂y, tg α 2 =∂x x∂x≈x +∆x∂y∂2 y+ 2 ⋅ ∆x (разложение в ряд Тейлора).∂x x ∂x x ∂y∂2 y∂y∂2 y∆ma y = F ⋅ +⋅ ∆x  − F ⋅= F ⋅ 2 ⋅ ∆x ∂x x ∂x 2∂x x∂x xx1й курс. 2й семестр. Лекция 7∆m =4∂2 ym∂2 y m ∂2 y∆x и a y = 2 , ∆x 2 = F ⋅ 2 ⋅ ∆x .L∂tL∂t∂x x∂ 2 y LF ∂ 2 y=⋅.∂t 2m ∂x 2LF.♣Поэтому скорость волны в струне v =mЕсли возвращающая сила пропорциональна смещению точки от положения равновесия,то волна называется упругой.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций