1й_курс_2й_семестр_Лекция_05 (959044), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В случае если система состоит из N осцилляторов, то фазовое пространство имеетразмерность 2N.1й курс. 2й семестр. Лекция 56Векторная диаграмма.Рассмотрим радиус-вектор точки М, вращающейся вокруг начала координат с угловойскоростью ω. Тогда угол между радиус-вектором и осью Х меняется с течением времени по закону ϕ = ωt + ϕ0 , где ϕ0 – его начальное значение.

Пусть длина радиус-вектора ОМ=АYМКоординаты точки М:yx = Acos ( ωt + ϕ0 )ϕOxXy = A sin ( ωt + ϕ0 )описывают колебания осциллятора вдоль осей.Данная форма представления колебаний называется амплитудной (векторной) диаграммой.Рассмотрим сложение двух колебаний одного направления:два осциллятора совершают колебания вдоль оси Х с циклическимичастотами ω1 и ω2x1 = A1 cos ( ω1t + α1 ) и x2 = A2 cos ( ω2t + α 2 ) .Зададим эти колебания на векторной диаграмме с помощью векторов.1-е колебание задаётся вектором A1 , который вращается вокруг начала координат с постояннойугловой скоростью ω1, угол вращения меняется по закону ϕ1 = ω1t + α1 .2-е колебание задаётся вектором A2 , соответственно,Yугол ϕ2 = ω2t + α 2 .Тогда результирующему колебанию xΣ = x1 + x2 сопосy∑ A=AтавимвекторΣ1 + A2 с фазой ϕΣ = ωΣ t + α Σy2По теореме косинусовА∑А2δAΣ2 = A12 + A22 − 2 A1 A2 cos ( π − δ )y1ϕ2X Учтем, что cos ( π − δ ) = − cos δ ,А1Oϕ∑x2x1δ = ϕ2 − ϕ1 = ( ω2 − ω1 ) t + α 2 − α1 , тогдаx∑AΣ2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ( ( ω2 − ω1 ) t + α 2 − α1 )ϕ1yΣ y1 + y2=илиxΣ x1 + x2tg ϕΣ =tg ( ωΣt + α Σ ) =A1 sin ( ω1t + α1 ) + A2 sin ( ω2t + α 2 )A1 cos ( ω1t + α1 ) + A2 cos ( ω2t + α 2 )Соответственно, tg ( α Σ ) =.A1 sin ( α1 ) + A2 sin ( α 2 ).A1 cos ( α1 ) + A2 cos ( α 2 )Остановимся подробнее на двух частных случаях.1) Пусть A1 = A2 := A , ω1 = ω2 := ω .

Тогда AΣ2 = 2 A2 + 2 A2 cos ( α 2 − α1 ) = 2 A2 (1 + cos ( α 2 − α1 ) ) .Амплитуда результирующего колебания в этом случае не зависит от времени.Если разность начальных фаз колебаний α 2 − α1 = 2πn , где n – целое число, то наблюдаетсяусиление колебаний AΣ = 2 A .Если разность начальных фаз колебаний α 2 − α1 = π + 2πn , где n – целое число, то колебаниягасят друг друга AΣ = 0 .Для вывода формулы результирующего колебания воспользуемся соотношением1й курс. 2й семестр. Лекция 57 β −β β +β cos β1 + cos β2 = 2 cos  2 1  cos  2 1  , поэтому, учитывая четность функции косинус: 2  2 α 2 + α1  α − α1 xΣ = x1 + x2 = 2 A cos  2 cos  ωt +2  2 Амплитудой должно быть выражение не зависящее от времени, но амплитуда не может бытьотрицательной величиной, следовательно α − α1 AΣ = 2 A cos  2, 2 Тогдаα 2 + α1 α − α1 xΣ = 2 A cos  2+ θ . cos  ωt +2 2  α − α1  α 2 − α1 Если cos  2 > 0 , то θ = 0 , но если cos  < 0 то θ = π . 2  2 2) Рассмотрим случай, когда амплитуды одинаковые A1 = A2 := A , но частоты отличаются нанебольшую величину ω1 = ω , ω2 = ω + ∆ω , ∆ω << ω .

Для упрощения примем, что α1 = 0 иα 2 = 0 . Поступая как и в предыдущем случае, получаем∆ω  ∆ω xΣ = x1 + x2 = 2 A cos t  cos  ωt +t.2  2 Пренебрегая в выражении для фазы второго сомножителя величиной ∆ω по сравнению с ω, получаем: ∆ω xΣ = 2 A cos t  cos ( ωt + θ ) . 2  ∆ω  ∆ω Если cos t  > 0 , то θ = 0 , но если cos t  < 0 то θ = π . 2  2 Таким образом, при сложении колебаний близких частот возникает периодическое изменение амплитуды и скачкообразное изменение фазы результирующего колебания – явление, которое называется биением.x∑0t1й курс. 2й семестр. Лекция 58Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебанийравных и кратных частотРассмотрим колебания точки одновременно по двум взаимно перпендикулярным направлениям.x = Ax cos ( ωx t + α x ) , y = Ay sin ( ω y t + α y ) .Отметим, что при αx=αy фазы колебаний сдвинуты на π/2.1) Пусть частоты колебаний одинаковые ωx = ω y := ωОбозначим α y = α x + δ .

Получим уравнение траекторииyx= cos ( ωt + α x ) ,= sin ( ωt + α x + δ ) = sin ( ωt + α x ) cos δ + cos ( ωt + α x ) sin δAxAy2 x yx= 1 −   cos δ + sin δ ,AyAx Ax 2 y   x  x− sin δ  = 1 −    cos 2 δ A y Ax   Ax  222 y  x x ysin δ +   = cos 2 δ .  − 2Ax Ay Ax  Ay Это уравнение линии второго порядка на плоскости.πЕсли δ=0 (фазы колебаний сдвинуты на ∆ϕ= ), то получаем эллипс2 y Ay22  x  +   = 1 .  Ax π(фазы колебаний сдвинуты на ∆ϕ=0 или π), то получаем отрезок прямой.22) Фигуры для некоторых других соотношений частот и разности фаз показаны на рис.Соотношение частот колебаний по фигуре можно определить из соотношенияЕсли δ=±ωx=ωy∆ϕ=π/2Yωx=ωy∆ϕ=0Ay0-AxAxXY2ωx=ωy, ∆ϕ=π/200AxX-AyAy-AxAy-Ax-AyYY3ωx=ωy, ∆ϕ=π/2AyAxX0-Ax-Ay-AyAxX1й курс.

2й семестр. Лекция 59ωx ny= ,ω y nxгде n – количество пересечений фигуры и прямой, параллельной соответствующей оси.Траектория точки, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, прирациональном отношении частот колебаний называется фигурой Лиссажу. Условие рационального частот отношения означает, что отношение частот можно записать в виде рациональногочисла. В этом случае траектория является замкнутой. Если отношение частот не является рациональным числом, то траектории незамкнутая линия..

Характеристики

Список файлов лекций