1й_курс_2й_семестр_Лекция_05 (959044)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1й курс. 2й семестр. Лекция 51Лекция 5. «Колебания»Гармонические колебания. Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одногонаправления равных и близких частот. Сложение взаимно перпендикулярных гармоническихколебаний равных и кратных частот. Свободные незатухающие колебания. Энергия и импульсгармонического осциллятора. Фазовая траектория. Физический маятник.

Квазиупругая сила.Положение равновесия и квазиупругая сила.Рассмотрим одномерное движение тела под действием консервативной силы вдоль осиX. Для потенциальной энергии тела вблизи некоторой точки x0 можно записать выражениеdW1 d 2W2W ( x ) = W0 +⋅ ( x − x0 ) +⋅ ( x − x0 ) + ...22 dx xdx x00Потенциальная энергия и вектор консервативной силы связаны соотношениемF = − gradWdWоткуда для проекции силы на ось X Fx = −, т.е.dx∂W dWd 2WFx = −=+ 2 ⋅ ( x − x0 ) + ...∂xdx x0 dx x0Если точка x0 является положением равновесия, то должно выполняться условиеdWFx = −= 0 , поэтому для изменения потенциальной энергииdx x0Wвблизи точки x01 d 2W2∆W = W ( x ) − W0 ≈⋅ ( x − x0 )22 dx x02W0и для проекции силы Fx ≈XdWdx 2⋅ ( x − x0 ) .x0Рассмотрим случай, когда в точке x0 наблюдается локальный миниd 2Wмум потенциальной энергии. Тогда> 0 и существует некотоdx 2U(x0)рая окрестность точки U(x0), для всех точек из которой выполняетсяW ( x ) > W0 и Fx > 0 при x < x0 , Fx < 0 при x > x0 , то есть в точкахэтой окрестности вектор силы, действующей на тело, будет направлен к точке x0, а это значит,что при малых смещения тела из положения равновесия, сила будет стремиться вернуть телообратно.

Такое положение равновесия называется устойчивым.Положение равновесия называется неустойчивым, если при малом отклонении от этогоположения возникает сила, стремящаяся увести тело от положения равновесия. Очевидно, вd 2Wэтом случае в точке наблюдается локальный максимум потенциальной энергии и<0.dx 2d 2WВ случае, когда= 0 требуется дополнительное исследование.dx 2Выражение для консервативной силы вблизи положения равно можно записать в вектор1ной форме F = −k0 ∆x , а величину потенциальной энергии W = k0 ∆x 2 + const, где22dWk0 =.

Такая форма записи для консервативной силы вблизи точки равновесия называетсяdx 2квазиупругой силой.Fx0F1й курс. 2й семестр. Лекция 52Запишем второй закон Ньютона для тела, движущегося под действием квазиупругой силы вблизи точки устойчивого положения равновесия max = Fx , где Fx = −k0 ( x − x0 )Введем ось Х так, чтобы x0 = 0 , тогда уравнение движения примет вид max = −k0 x . С учетомзависимости ax = x это уравнение примет вид mx = −k0 x илиx + ω0 2 x = 0k0> 0.mЭто линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.Решением этого уравнения являются гармонические функциями от времени tx = Acos ( ω0t + α ) или x = A sin ( ω0t + β ) ,описывающие смещением от равновесного значения. (Обе формы записи равноправны. Наприπмер, одна переходит в другую при β = α + ).2Так как гармонические функции синус и конус имеют период 2π, то параметры процессабудут повторяться через минимальный промежуток времени Т, называемый периодом, определяемый соотношением2πT=.ω0Таким образом, уравнениеx + ω0 2 x = 0описывает колебательный процесс, параметры которого не изменяются с течением времени.Этот процесс принято называть свободными незатухающими колебаниями.1Учитывая, что величина ν = называется частотой колебаний (единица измерения Гц TГерц), то величину2πω0 == 2πνTназывают круговой или циклической частотой колебаний (единица измерения с-1.)Величина А – амплитуда колебаний - модуль максимального смещения.

По определениюA>0 – всегда положительная величина. Аргумент гармонической функции ( ωt + α ) называетсягде ω0 2 =фазой колебания, а величина α называется начальной фазой колебаний (Это фаза колебаний вмомент времени t=0, который обычно называют начальным моментом времени).В этом колебательном процессе с течением времени сохраняется величина механическойmx 2 k0 x 2энергии WМЕХ =+= const .

Действительно:22dWМЕХ d  mx 2 k0 x 2 xx= +x + 2k0 x = mx ( x + ω0 2 x ) = 0 . = 2m dtdt  22 22Свободные незатухающие колебания.Колебания – движения или состояния, параметры которых повторяются во времени. Колебания в той или иной мере встречаются во всех явлениях природы: от пульсации излучениязвезд, движения планет до внутриклеточных процессов или колебаний атомов и молекул, колебаний полей.В физике особо выделяют механические и электромагнитные колебания (и их комбинации).Моделью для изучения механических колебаний является осциллятор – материальнаяточка или система, совершающая колебательное периодическое движение около положения устойчивого равновесия. (Более того, термин осциллятор применим к любой системе, если опи-1й курс.

2й семестр. Лекция 53сывающие ее величины периодически меняются во времени.) Простейшие примеры осцилляторов – грузик на пружине, маятник.Пример. Груз массы m подвешен на невесомой пружине жесткости k в поле силтяжести (пружинный маятник). Найти период его колебаний. Сопротивлениемвоздуха пренебречь.Решение. Запишем уравнение его движения в проекции на вертикальное направление Ykma = -FУПР + mg = -k ⋅ y + mg или a = - y + g .mmgгде y – величина растяжения пружины. Положение равновесия груза на пружине y0 =. Ввеkдем смещение груза от положения равновесия x = y − y0 , тогда y = x + y0 , a = y = x.kkkkkПолучаем уравнение x = − ( x + y0 ) + g = − x − y0 + g = − x , x=− xmmmmmk2πmЗдесь ω0 2 =и период колебаний T == 2π.mω0kmx 2 kx 2Механическая энергия груза на пружине WМЕХ =+.♣22Пример. Найдем период колебаний математического маятника - материальной точкимассы m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длины l.Решение.

Рассмотрим движение маятника в тот момент, когда он поднимается. Отклонение нити от вертикали зададим угловой координатой ϕ. При этомdесли угол ϕ увеличивается (против часовой стрелки), то касательное ускореZние точки направлено против направления движения.

Поэтому уравнениедвижения имеет вид:maτ = −mg ⋅ sinϕ .ϕВблизи положения равновесия проекция сила тяжести должна быть представлена как квазиупругая сила. Если выполняется условие малости колебаний, то sin ϕ ≈ ϕ , поэтому длина дуги окружности x = l ϕ , следовательно,mmgmgпроекция силы тяжести mg ⋅ sinϕ ≈⋅ lϕ =⋅ x . Поэтому коэффициент вllϕmgmg выражении для квазиупругой силы k0 = l .

Касательное ускорение связано с ), поэтому, после соугловым ускорением соотношением aτ = ε ⋅ l (где ε = ϕкращения массы m получим:g + ⋅ ϕ = 0 .ϕlgС учетом выражения для циклической частоты ω =период колебаний имеет видllT = 2π. Механическая энергия математического маятникаgmx 2 k0 x 2 mx 2 mg x 2+=+.222l 2При движении по окружности x = l ϕ , x = l ϕ , поэтомуWМЕХ =1й курс.

2й семестр. Лекция 54ml 2 ϕ 2 mg l 2 ϕ2 ml 2 ϕ 2 mgl ϕ2+=+.2l 222Уравнение колебаний для математического маятника можно вывести, используя уравнение динамики вращательного движения.Проведем ось Z через точку подвеса перпендикулярно плоскости колебаний маятника,тогда момент инерции материальной точки относительно оси Z I z = ml 2 , момент импульса точки L = I z ϕ направлен вдоль оси Z, а момент силы тяжести M z = − mgl sin ϕ ≈ − mgl ϕ (плечо силытяжести относительно оси d = l sin ϕ ≈ l ϕ ) направлен против оси Z.dLz = − mgl ϕ .♣Закон вращательного движения точки вокруг оси Z:= M z или ml 2 ϕdtWМЕХ =zϕСmgПример. Найдем период колебаний физического маятника - теламассы m, которое может совершать колебания под действием силытяжести (инерции) вокруг горизонтальной оси, не проходящей черезцентр масс тела.

Сопротивлением воздуха пренебрегаем.Решение. Проведем из центра масс тела C перпендикуляр к оси вращения z. Пусть длина этого перпендикуляра равна l.Положение тела зададим углом отклонения от вертикали этого перпендикуляра ϕ.При этом если угол ϕ увеличивается (тело поворачивается противчасовой стрелки), то вектор момента импульса L направлен вдольгоризонтальной оси z на нас. Момент внешней силы тяжести относительно оси z направлен против от нас. Рассмотрим проекции наось z: Lz = I z ω = I z ϕ , M z ( mg ) = − mgl sin ϕ .dLz = −mgl sin ϕ= M z ВНЕШ или I z ϕdtЕсли выполняется условие малости колебаний: sin ϕ ≈ ϕ , то уравнение колебаний примет видmgl = −ϕϕ.IzУравнение вращения вокруг оси z:С учетом выражения для циклической частоты ω =mglполучаем выражение для периода коIzIz.mglПриведенной длиной физического маятника называется длина математического маятникас таким же периодом.IzlITМАТ = TФИЗ , 2π= 2π ПР , lПР = z .♣mglgmlЗамечание. Как показано в последних двух примерах, уравнения колебаний можно получить,вводя обобщенную координату - угол и обобщенную квазиупругую силу – момент силы тяжести.Энергия и импульс гармонического осциллятораПусть закон движения осциллятора x = Acos ( ωt + α ) .Среднее значение (по времени) некоторой величины u(t) за интервал времени (t1, t2) – это такоепостоянное значение <u>, для которого выполняется равенствоt2t2t21utdt=udt=u⋅t−t,поэтомуu=( 2 1)∫t ( ) ∫t∫t u ( t ) dt .t−t()21111лебаний физического маятника T = 2π1й курс.

2й семестр. Лекция 55Так как колебания незатухающие, то они продолжаются бесконечно долго, поэтому средниезначения надо искать на бесконечном интервале.Среднее значение проекции импульсаpx = mv x = mx = − mωA sin ( ωt + α )1 t1 t1px = lim  ∫ px dt  = lim  ∫ ( − mωA sin ( ωt + α ) ) dt  = lim  mA ( cos ( ωt + α ) − cos ( α ) )  = 0 .t →∞ tt →∞ tt →∞ t 0 0гармонического осциллятора равно нулю (так −1 ≤ cos ϕ ≤ −1 для любых ϕ).mv 2xp2= x22m2 22tt2 1 mω A sin ( ωt + α ) 1 pWK = lim  ∫ x dt  = lim  ∫dt  =t →∞ t2 0 2m  t →∞  t 0 1 mω2 A2 t 1 − cos  2 ( ωt + α )   1 mω2 A2 1= lim dt=limt−sin  2 ( ωt + α )  − sin [ 2α ]  ∫ t →∞  tt →∞  t2 024  2ωmω2 A2Так как −1 ≤ sin ϕ ≤ 1 для любых ϕ, то WK =.4kx 2Среднее значение потенциальной энергии WП =222tt2 1 kA cos ( ωt + α )  1 kxWП = lim  ∫dt  = lim  ∫dt  =t →∞ t2 0 2 t →∞  t 0Среднее значение кинетической энергии Wk =() 1 k 2 A2 t 1 + cos  2 ( ωt + α )   1 k 2 A2 1= lim dt=limt+sin  2 ( ωt + α )  − sin [ 2α ]  ∫ t →∞  t 4  2ωt →∞  t2 02k 2 A2WП =.4kk 2 A2С учетом соотношения ω2 =получаем, что WК = WП =.m4Среднее значение механической энергии осциллятораk 2 A2WМЕХ = WК + WП = WК + WП =.2Как и следовало ожидать, полная механическая энергия осциллятора остается постоянной.Фазовая плоскость.Фазовой плоскостью называется двумерное пространство, координатами в котором является координата точки и проекция импульса (соответственно, обобщенная координата и обобщенный импульс).Для пружинного маятника из закона сохранения энергииmx 2 kx 2 px 2 kx 2pxWМЕХ =+=+= const222m2следует, что фазовая траектория точки, совершающей свободные неx затухающие колебания – это эллипс(2)2px 2 kx 2 kA2  px   x +=,  +   = 1,2m22 mk A   A полуоси которого a = mk A = mωA = mv max = pmax , b = A .Замечание.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций