1й_курс_2й_семестр_Лекция_02 (959041), страница 2
Текст из файла (страница 2)
F12 = -F21 .F12F21Три закона Ньютона дают рецепт для решения задач динамики.Шаг 1. Выбираем инерциальную систему отсчета.Шаг 2. Используя третий закон Ньютона, расставляем силы, действующие на материальнуюточку.Шаг 3. Вводим систему координат. Находим векторную сумму этих сил либо явно, либо в проекциях на оси системы координат.
Применяя второй закон Ньютона либо в векторной форме m ⋅ a = F , либо в проекциях1й курс. 2й семестр. Лекция 25 maX = ∑ FX maY = ∑ FY maZ = ∑ FZНаходим ускорение точки. (Как правило, систему координат надо вводить таким образом, чтобы можно было проще решить систему уравнений для нахождения проекций ускорения.)Шаг 4. По найденному ускорению определяем параметры движения, используя кинематическиесоотношения.НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА.При движении тела относительно инерциальной системы второй закон Ньютона имеетвид:ma = ∑ F ,где a - ускорение тела относительно инерциальной системы. Формально второй закон Ньютонасвязывает вектор ускорения в данной системе отсчета и вектор суммы всех сил, действующихна тело.Пусть есть еще одна система отсчета, которая движется относительно инерциальной сускорением aC , следовательно, она уже не является инерциальной.
Тогда ускорение тела в этой системе можно найти как разность ускорений a1 = a − aC или a = aC + a1 .Подставим это выражение в уравнение движения m ( aC + a1 ) = ∑ F .Поэтому если последнее равенство переписать в видеma1 = ∑ F − maC ,то это выражение ФОРМАЛЬНО совпадает со вторым законом Ньютона, только в правой частипоявилось дополнительное слагаемое FИН = -maC , которое называется силой инерции. Знак минус показывает, что вектор этой силы направлен против вектора ускорения системы отсчета.Это фиктивная сила, в том смысле, что нет тел, которые создают эту силу и она пропадает припереходе к инерциальной системе отсчета.
Иногда говорят, что инерциальные системы отсчета– это такие системы, в которых силы инерции равны нулю. (По современным представлениямсилы инерции создаются всеми телами в нашей Вселенной.)ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК.Во многих задачах тело нельзя рассматривать как материальную точку, поэтому приходится рассматривать его как систему материальных точек, взаимодействующих друг с другом.При описании движения такой системы, состоящей, например, из N точек, необходимо описатьдвижение каждой точки с учетом всех сил, действующих на нее. Так как для любой точки имеется три уравнения движения (вдоль каждой из осей), то количество уравнений равно 3N. Приувеличении N трудоемкость описания движения возрастает многократно. При этом необходимоучитывать также силы между точками.
Иногда априори такие силы даже неизвестны. Но известны внешние силы, действующие на систему. Оказывается, что для каждой системы существует особая точка, ускорение которой определяется только внешними силами – эта точка называется центром масс системы.Центр масс.Рассмотрим, для простоты, систему из двух материальных точек. Запишем уравнениядвижения для каждой из них (второй закон Ньютона) m1a1 = F1 m 2 a2 = F2Силы, действующие на точку можно разделить на две группы:1. силы, действующие со стороны другой точки (их называют внутренними по отношениюк системе)1й курс. 2й семестр. Лекция 22.
силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему (их называют внешними). m1a1 = F1ВНЕШ + F1ВНУТР ВНЕШ ВНУТР+ F2 m 2 a2 = F2Теперь сложим эти уравнения. Тогда внутренние силы, по третьему закону Ньютона, взаимнокомпенсируются, останутся только внешние. Векторную сумму внешних сил обозначим какFВНЕШ .
В итоге, получаем: m1a1 + m 2 a2 = FВНЕШ .Введем новый радиус-вектор, который называется радиус-вектором центра масс системы:m1R 1 + m 2 R 2RC =,m1 + m 2Этот радиус-вектор определяет некоторую точку, которая называется центром масс системы. Здесь m1, m2 – массы точек системы, R 1 , R 2 - их радиус-векторы. В знаменателе этого выражения стоит суммарная масса всех точек системы – ее называют массой системыmC =m1 + m2.Продифференцируем по времени (помним, что производная от радиус-вектора по времени равна вектору скорости) и получим вектор скорости центра масс:m1V1 + m 2 V2VC =,mCа ускорение центра масс:m1a1 + m 2 a2aC =.mCПоэтому уравнение движения системы точек будет иметь вид:m1a1 + m 2 a2 = m С aС = FВНЕШ илиFВНЕШaС =mСЦентр масс системы (тела) – это точка, масса которой равна массе всей системы (или тела), авектор ускорения центра масс (в инерциальной системе отсчета) определяется только внешними силами, действующими на систему (тело).
Поэтому при нахождении закона движения системы точек можно считать, что вектор равнодействующей внешних сил приложен к центрумасс системы.6Выводы∑m Ri1) Радиус-вектор центра масс системы точек R C =imСi.mV∑ i i2) Скорость центра масс VC =i.mС∑m ai3) Ускорение центра масс aC =ii.mС4) Правила для нахождения центра масс системы.• Если у системы есть ось симметрии, то центр масс находится на этой оси.
Если осейсимметрии несколько, то центр масс лежит на их пересечении. При этом центр масс теламожет не принадлежать телу (пример - кольцо).• Если систему разбить на части, для каждой из них найти центр масс, то центр масс системы можно найти по центрам масс частей.1й курс. 2й семестр. Лекция 275) Вектор импульса центра масс pC = ∑ pi = ∑ mi Vi равен суммарному импульсу точек систеiiмы.Откуда pC′ ( t ) = ∑ p′i ( t ) = ∑ mi Vi′ ( t ) = ∑ mi ai = mC aC = F ВНЕШ , т.е.iiip′C (t) = F ВНЕШПроизводная от импульса центра масс системы равна векторной сумме внешних сил действующих на все точки системы (в инерциальной системе отсчета).ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА.Запишем второй закон Ньютона в импульсном виде (для инерциальной системы отсчета):p′C (t) = F ВНЕШ .Это векторное равенство.
В трехмерном пространстве - это три уравнения для проекций на осикоординат. В декартовой системе координат эти уравнения выглядят так: p′СX (t) = FX ВНЕШВНЕШ p′СY (t) = FYВНЕШ p′СZ (t) = FZ1. Рассмотрим случай, когда на систему вообще не действуют внешние силы, (такая системаназывается замкнутой) или равнодействующая внешних сил равна нулю FВНЕШ = 0 .Это означает, что производная от вектора импульса системы равна нулю p′С (t) = 0 . Поэтомувектор суммарного импульса (замкнутой) системы остается постоянным.pС = m1v1 + ... + m N v N = const .В частности, в проекциях на оси это равенство выглядит так pСX (t) = m1v1X + ... + m N v NX = const pСY (t) = m1v1Y + ...
+ m N v NY = const p (t) = m v + ... + m v = const1 1ZN NZ СZИтак, если равнодействующая всех сил, действующих на систему равна нулю, то вектор суммарного импульса системы сохраняется.2. Рассмотрим такое направление в пространстве, на которое проекция силы F равна нулю.Введем систему координат так, чтобы ось Х совпадала с этим направлением. Тогда уравнениядвижения выглядят: p′СX (t) = 0ВНЕШ p′СY (t) = FYВНЕШ p′СZ (t) = FZО сохранении вектора импульса в этом случае говорить НЕЛЬЗЯ - сохраняется только одна координата X вектора импульса системы.
Но и это порой значительно помогает в решении задачи.ИЗМЕНЕНИЕ ИМПУЛЬСА.Запишем второй закон Ньютона в импульсном виде (для инерциальной системы отсчета):p′C (t) = F ВНЕШ .Поэтому вектор изменения импульса системы за интервал времени ∆t равенt КОНЕЧ∆pC = ∫ FВНЕШ dt .t НАЧВыражение в правой части равенства носит название импульса силы.Следовательно, вектор изменения импульса системы за некоторый промежуток времени равенимпульсу силы, действующей на тело в течение этого промежутка.1й курс. 2й семестр.
Лекция 28Пример. Пуля массы m ударяется в массивную стену со скоростью v0 и застревает в ней. Найтисреднее значение силы при ударе, если время удара ∆t .Решение. Пусть пуля налетает под углом α к нормали. Так как стена массивная, то после удараскорость стены можно принять за ноль. Для пули можно записать закон изменения импульсаt КОНЕЧ ∆p = ∫ Fdt ,t НАЧFгде F - вектор силы, действующей на пулю при ударе.xТак мы ищем среднее значение силы, то вектор силы можно считать постоянным, поэтомуα ∆p = F∆t .yЛевая часть этого равенства ∆p(t) = p КОН − p НАЧ = −p НАЧ , так как p КОН = 0 .v0mv 0p НАЧнаправленИз этого равенства следует, что вектор силы F = −=−∆t∆tпротив вектора скорости при ударе..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
