1й_курс_2й_семестр_Лекции_08_09 (959039), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При этом будем считать, что частица №1 массы m налеYтает на покоящуюся частицу № 2 массы M со скоростью v, двиm vm M uгаясь вдоль оси X. Из закона сохранения импульса вдоль оси X всистемеотсчета К следует№1№2mv = Mu .XvВ классическом приближении M = 2m , u = .2В релятивистском случае массы могут зависеть от величины скорости частицm ( v ) v = M (u ) u .Перейдем в систему отсчета К′, которая движется вдоль оси X со скоростью v. В этойсистеме частица № 1 покоится, а № 2 движется со скоростью –v.

Закон сохранения импульсавдоль оси X′ имеет вид−m ( v ) v = − M ( u ) u .Но по формуле преобразования скорости при переходе от системы К к системе К′:1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.6−u =u−v. v1−  2  uc Откудаv=2u. u2 1+  2 c Рассмотрим сохранение импульса вдоль оси Y – для этого перейдем в систему отсчета К′′, которая движется против оси Y с некоторой скоростью v0. В этой системе отсчета2v - скорость налетающей частицы v′′ = v′′x + v′′y , где v′′y = v0 , v′′x = v 1 −  0  , c - скорость покоящейся частицы равна v0,222v - скорость образовавшейся частицы u′′ = u′′x + u′′y , где u ′′y = v0 , u ′′x = u 1 −  0  . c Закон сохранения импульса вдоль оси Y:m ( v′′ ) v′′y + m ( v′′y ) v′′y = M ( u ′′ ) u ′′y22С учетом того, что скорости всех частиц вдоль оси Y одинаковые получаемm ( v′′ ) + m ( v′′y ) = M ( u ′′ ) .Это равенство выполняется при любых скоростях вдоль оси X.

В частности, при v′′y = v0 = 0 этосоотношение переходит в равенство:m ( v ) + m ( 0) = M (u ) .Подставим его в уравнение для импульса вдоль оси X: m ( v ) v = M ( u ) u и получимm ( v ) v =  m ( v ) + m ( 0 )  u ,откуда m ( v ) = m ( 0 )u.v−uВыразим скорость u из равенства v =2u: u2 1+  2 c v2 22 c±c1−2 v2  c 22242 24vu − 2uc + c v = 0 , D = 4c − 4c v = 4c 1 − 2  , u1,2 =.v c  v2 c + c 1 − 2  v2  u1 c  c Решение== 1 +  1 − 2   > 1 надо отбросить как противоречащее постуcvv c  лату о максимальности скорости света. v2 c 2 − c 2 1 − 2  c Подстановка второго решения u =, приводит к зависимостиv1й курс.

2й семестр. Лекция 8, 9.7 v2 c − c 1 − 2  v2  c c 2 − c 2 1 − 2 1 c v, m ( v ) = m ( 0)= m ( 0),m ( v) = m (0)2 v2 v  v 2   2 2  v 2  22 c − c 1 − 2 1 − 2  1 − 2  c − c  1 − 2  c c  c  c v−vm ( 0).m ( v) = v2 1 − 2  c 22Величину массы в системе отсчета, где тело покоится, будем обозначать m0 = m ( 0 ) и называтьмассой покоя. Соответственно, величину m ( v ) =m0называют релятивистской массой. v2 1 − 2  c m0 vВыражение для релятивистского импульса p == mv .v21− 2cВ классической механике при абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Но из закона сохранения импульса следуют выражения для масс M = 2m и для скоvростей u = .2 v2 c − c 1 − 2 v2 c В релятивистском случае u =. При 2 << 1vc22 v2 1 v211−≈−получа2 2 c2 c  1 v2 c 2 − c 2 1 −2  2 c  = v , т.е.

равенство выполняется только при v → 0 .ем u ≈v2Рассмотрим соотношение для масс m ( v ) + m ( 0 ) = M ( u ) , которое выполняется при любых скоростях. Если перейти в систему отсчета, где М покоится после удара, то в ней тела 1 и 2uбудут двигаться до удара с одинаковыми скоростями , но направленными навстречу друг2другу. Следовательно, будет справедливо равенствоu um   + m  −  = M ( 0)2 2m0m0+= M0u2 u2 1 − 2  2 1 − 2  4c  4c u2u2 При 2 << 1 1 − 2 c 4c −1 22 1 u≈ 1−  −  2 , 2  4c 1 u2 ≈ 2m0  1 +2  2 4c u2 1 − 2  4c 2m01й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.8В системе отсчета, где составная частица покоится, обе движущиеся частицы имели суммарную22u u m0   m0  m0u 222классическую кинетическую энергию W =+=, поэтому равенство224m u22m0 + 0 2 = M 04cпоказывает, что масса образовавшейся частицы больше суммарной массы покоя частиц за счетналичия кинетической энергии.

Если покоящемуся телу массы m0 приписать энергию покояW0 = m0 c 2 ,то это равенство для масс можно трактовать как закон сохранения энергииM 0 c 2 = 2m0 c 2 + WКИН .Основное уравнение релятивистской динамики.dp =Fdtd ddv dmЭто выражение можно записать в видеp = ( mv ) = v+m=Fdtdtdtdt ( v, a )  −2 2 m0 ( v, a )m0dm d  1c== m0  −=32dt dt   v 2  2  v 2 3 2 v2 2 1−1 − 2   c 1 − 2   c 2   c   c  m0 ( v, a ) v + ma = F32 v2 c 2 1 − 2  c Отсюда видно, что вектор ускорения и вектор силы не совпадают по направлению. 1) Если вектор скорости и ускорения перпендикулярны друг другу, то ma = F2) Если вектор скорости и ускорения параллельны друг другу, то в случае, если они сонаправ лены ( v, a ) v = vav = vav = av 2 иm0 av 232m0 v 2  + ma = F , +ma = F2 32v2 c 1−  c2   v2 c 1 − 2  c m0m0v2  a = F ,+1a=F322 v2  v 2   c 2 1 − v  1 − c 2 1 − 2    c 2    c   Но если они направлены противоположно ( v, a ) v = − vav = − vav = − av 2 , то2v2 1 − 2 2  c m0v21 − a = F , m a =F0322 v2  v2   c2 1 − v  2 1 − 2 1 − 2   c  c  c 1й курс.

2й семестр. Лекция 8, 9.В общем случае для мощности силы m0 ( v, a )( v, v )32 + m ( v, a ) = F , v v2 c 2 1 − 2  c  v2 2 m0 ( v, a )( v, v )m0  c+ 1+a=Fv,,v,()22 322v v  v  1 − 2  c 2 1 − 2 1− 2  c   c  c  m0 ( v, a )m0 ( v, a )1=F=F,v,,v ,2 32 v2   v2 v1 − 2  1 − 2 1 − 2  c   c  c (()()(9 m0 ( v, a ) v2 1 − 2  c )() = F, v ,)2 d  m0 c = F, vdt v2 1−c2 По теореме об изменении кинетической энергииWКИН _ 2 − WКИН _1 = A()Следовательно, можно принять в качестве кинетической энергии WКИН =m0 c 2+C .v21− 2cЗначения постоянной С определим из условия равенства нулю кинетической энергии при нулевой скорости 0 = m0 c 2 + C , откуда C = −m0 c 2 .WКИН =m0 c 221−С учетом выражения m =m021−vc2vc2− m0 c 2 ., WКИН = ( m − m0 ) c 2 .−122 v  1v= 1 − 2  ≈ 1 −  −  2 , поэтому получаем классиче 2 cv2  c 1− 2cскую формулу для кинетической энергии.m0 v 2v2 2 2WКИН ≈ m0 c 1 + 2  − m0 c =2 2c 2vПри малых скоростях 2 << 1 ,c21m0 2 c 4m0 2 v 22 2Рассмотрим выражения (WКИН + m0 c ) =и pc =.v2v21− 21− 2cc2 42m cm 2 v2Они связаны соотношением (WКИН + m0 c 2 ) − p 2 c 2 = 0 2 − 0 2 = m0 2 c 4vv1− 2 1− 2cc2Если ввести энергию покоя тела W0 = m0 c , то полная энергия тела будет определяться формулой2 2101й курс.

2й семестр. Лекция 8, 9.W = WКИН + W0 = ( m − m0 ) c 2 + m0 c 2 = mc 2 ,илиW = mc 2 =m0 c 21−v2c2Так как правая часть выраженияW 2 − p 2 c 2 = m0 2 c 4 ,не зависит от системы отсчета, то соотношение между полной энергией и импульсом – являетсяинвариантом при любых преобразованиях инерциальных систем отсчетаW 2 − p 2 c 2 = inv .Преобразование импульса и энергииm0uПусть в системе отсчета К импульс тела направлен вдоль оси Х: p = px =. Полu21− 2c2m0 cная энергия W =. В системе отсчета К′, которая движется вдоль оси X со скоростью v,u21− 2cm0u′m0 c 2′′,W=.импульс тела соответственно равен p = px =u ′2u ′21− 21− 2cc′u +vСкорости связаны соотношением u =.vu ′1+ 2cm0u′ + vТогда px =,2v 1 + 2 u′c1  u′ + v 1− 2 c  1 + v u′  c2 m0 ( u ′ + v )m0 ( u′ + v )px =, px =,2222′vu′u+v′) vu  ( 1 − 2  1 − 2 1 + 2  −2c   c c cm0m0 c 2 vu′ +2u ′2u ′2 cW′1− 21− 2p x′ + 2 vm0 c 2m0 c 2ccc,W==,px ==2u2v2v21− 21− 21− 2ccc1  u′ + v 1− 2 c   v  ′ 1 +  c2  u    v v m0 c 2  1 + 2 u ′ m0 c 2 1 + 2 u ′  c  c  ,=W=22 u ′2   v 2 v  ( u′ + v )′1+u−1 − 2  1 − 2 2c   c c2 c 1й курс.

2й семестр. Лекция 8, 9.m0 c 2W= u ′2 1 − 2 c +m0u′ u ′2 1 − 2 c 11v=W ′ + p′x v. v2  v2 1 − 2 1 − 2  c  c Сравним формулы преобразования импульса, энергии и координатvW′ W′p x′ +  2  v+ p′x 22 cW   c c px ==2c v2 v2 1− 21 − 2 c c x′ + vt ′vx=x′ + t ′2c2vt=1− 2v2c1− 2c2Если установить соответствие – энергия (деленная на с ) и время, проекция импульса и координата, то можно увидеть, что их формулы преобразования идентичны.Преобразование частоты.Рассмотрим монохроматическую световую волну, распространяющуюся вдоль оси X.Фаза волны Φ = ωt − kx + α . Количество длин волн, которое пройдет между двумя точками x1 иω ( t2 − t1 ) − k ( x2 − x1 )x2 за промежуток времени от t1 до t2 определяется как N =.

Эта величина2πне меняется при переходе к другой системе отсчета. Следовательно, не должна меняться фазаволны – т.е. максимуму волны в одной системе отсчета должен соответствовать максимум в2πνдругой системе. Т.е. Φ = ωt − kx + α = const или Φ = 2πν t −x + α = const , откудаc vvt− 2 x1 + 1 x − vt   1 c 1  1 c2πν  t − x  = 2πν ′−, ν  t − x  =ν ′ t − x c v2 cv2   c v2  c 1− 2 1− 2 1− 2cc c v v1 + 1 + c cν =ν ′=ν ′=ν ′v2 v  v 1− 21 + 1 − c c  c  v1 +  c, v1 −  c v1 + cТаким образом, ν = ν ′ или ω = ω ′ v1 −  c v1 +  c. v1 −  c121й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.Если в системе отсчета К частота волны равна ν, то в системе К′, которая движется в направле v1 − cнии движения волны со скоростью v, частота будет меньше ω ′ = ω , а в системе К′′, ко v1 +  c v1 + c′′торая движется в противоположном направлении частота будет больше ω = ω . v1 −  cЗависимость частоты сигнала от скорости источника называется эффектом Доплера.Именно эффектом Доплера объясняют смещения спектров излучения звезд в сторону короткихдлин волн при удалении звезды от земного наблюдателя (ультрафиолетовое смещение) и в сторону длинных волн при приближении (красное смещение)..

Характеристики

Список файлов лекций