Гильберт, Бернайс - Основания математики. Теория доказательств (947376), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

Действительно, в каком случае в качестве ))(Л) можно взять ь-терм „(Я =Ой-)Я = 1), который мы в гл. ч7П1 т. 1 обозначали посредством ш(Я) и для которого может быть выведена эквивалентность Я ш(Я)=0'). Совершенно аналогичным образом допущение вз) выполняется и тогда, когда в Р содержится е-символ вместе с е-формулой или вместо них р-снмвол и квантор существования вместе с формулой (р,) н основной формулой (Ь), причем упомянутые формулы могут быть заменены соответствующими схемами формул.

Вместо условия г) теперь вводится следующее условие: гт) Существует терм е(а) с числовой переменной а в качестве единственной входящей в него свободной переменной, обладаюпдий тем свойством, что если и является номером некоторого терма 1, не содержащего свободных переменных, то в Р выводимо э) См. т. 1, с. 473 — 479. выход зл рамки тногии доказлтнльств 1гл ч гш ницы изонндзимости и зызодимости зз! % г1 равенство е(ц) =1, Чтобы бе нть у д ся, что это допущение г,) в сочетании с предположениями а), б), в) и в„) ведет к противоречию, достаточно показать, что в случае совместного выполнения условий а) б), ), ,) г,) удет выполняться и утверждение г). Это может быть сделано следующим образом: По предположению в,), для любой формулы гЛ из Е, не содержащей свободных переменных, номер терма Ь (й!) изображается (в его зависимости от номера формулы р!) с помощью некоторой рекурсивной функции, а зта функция в свою очередь изображается в Р с помощью некоторого терма Ь(а).

Это означает, что если и является номером формулы Й, не содержащей свободных переменных, а ! является номером герма Ь(6!), то в Р выводимо равенстно Ь(п) = Б В тех же обозначениях в силу допущения г ) в г' равенство г, в выводимо е(!)) = !) (9!), является термам без свободных переменных. так как () (Л) Равенства Ь(п)=! и е(!)=!)(гЛ) взятые друг с другом, с помощью общей аксиомы равенства () ) дают формулу е(Ь(п)) =()(Л), с помощью которой равенство е(Ь(п))=0 переводимо в равенство () ('Л) = О, Но это равенство, согласно предположению в,), переводимо в фор- мулу Л. Тем самым в Р выводимы формулы е(Ь(п))=0-ьР! и 6(-+е(Ь (п))=0, Эти ти вызодимости имеют место всякий раз, когда гЛ является формулой из г без свободных переменных а и являетс ством, ко о " ф рмулы. ледовательно, формула е(Ь(а))=0 обладает св "- , которое в условии г) требуется от формулы лг1(а).

д т свой- Таким об азо, р м, выполнение условия г) действительно является следствием выполнения предположений а), б), в), в ) и г . Но, согласно замеченном а у ранее, отсюда следует, что в случае неправ,, в, в,) и г,). Но, е(п)=(, а не выводимость равенства е(п) = ш, где ш — цифра, являющаяся значением этого терма 1. Таким образом, допущение г,) требует формализуемости только понятия значения, а не какого-либо формально-дедуктивного вычисления в рамках Р. Ситуация, обнаруженная нами в связи с условием г,), находится в тесной взаимосвязи с теми семантическими антиномиями, которые обычно объединяются под общим названием парадокса Ришара' ).

Эту взаимосвязь мы изложим здесь на примере одного особенно известного частного случая парадокса Ришара. Речь пойдет о следующем рассуждении: Рассмотрим совокупность тех арифметических функций (т. е. функций, сопоставляющих каждому натуральному значению аргумента натуральное же значение функции), которые могут быть определены с помощью некоторых текстов на русском *) языке'). г) Ж. Ришар является первооткрывателем некоторых на атнх антнномнз. См. его раба!у: м 1 сЬ ага уц1еа. ьеа рг!цс!реь беа ша!пеша!!Чнеа е! 1е ргоЬ1егце беа енашнщеа.— Печ. деобга1е ас!. рнг, арр1. 1905, 16, н а дополнение к атому Ас1а ша1Ь., !906, 6.

Впрочем, см. также работу Ю. Коняга; Кап!6 ец11на. ОЬег гйа Пгнпб1азеп бег Мецкеп!еьге апб баа Копцпншнргощегн.— Мабь Аоп. 1905, 61. ') В подлиннике, естественно, речь идет о немецком языке.— Прямо нерее. а) Понятна етекста на русском языке» здесь следует нанимать достаточно широко — так, чтобы а качестве прннадлежашнх русскому языку рассматрнвались н различные общеупотребительные научные германы, — например такие, как «функцням Разумеется, атн термины можао было бы заменить соотаетгтауюшнмн русскими славами. тнворечпвого дедуктивного формализма, удовлетворяющего условиям а), б), в) и з„), условие г,) выполняться не может. Невозможность выполнения — при указанных предположениях — условия г,) означает, что дедуктивный формализм Г, удовлетворяющий этим предположениям, не может содержать такое функциональное выражение, которое формалязовало бы некую нумерацию, при которой каждому числу, являющемуся номером герма без свободных переменных (т.

е, некоторого оп редел я ющего число выражения из Е'), сопоставляется з н а че н и е этого выражения. Было бы соблазнительно интерпретировать это обстоятельство проще. Однако надо заметить, что в условии г!) отнюдь не требуется, чтобы было возможно эффеклгивное вычисление значения любого терма 1, не содержащего свободных переменных. Действительно, если и — номер герма 1, то требуется только выводимость равенства 4 Я ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ГРАИИЦЫ ИЗОВРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ !ГЛ. Ч Ввиду перечислимости всех конечных последовательно те", С й, СОСТОЯ у русского алфавита и знаков препинания, можно построить перечисление н для указанных функций.

При этом мы можем Ограничиться одним только русским алфавитом, а в качестве знаков препинания можно будет взять только точку, запятую, точку с запятой, кавычки, скобки (левую и правую) и знак пробела между словами. Нумерацию этих последовательностей можно произвести следующим Образом: сначала устанавливается определенная очередность для отдельных знаков (например, сначала пишутся буквы алфавита, а затем только что перечисленные знаки препинания— в указанном порядке), а потом устанавливается очередность последовательностей, составленных из знаков: количеству знаков в последовательности, а п и авном количестве — лексикографически.

, а при равном количесо е жатся Среди занумерованных таким образом последовате ь д р, в частности, все те, которые представляют собой русвательностей ские тексты определений каких-либо арифметических фун й. К жды" такой текст получает при этом определенный номер и тем самым получается некоторое перечисление,— то ениями — а р — арифметических функций, определяемых по крайней мере одним из таких текстов: фе(п) фх(п)* Теперь к этой последовательности функций мы можем и р у д агональную процедуру, состоящую в построежем примении функции (ф„(п))'. Зта функция тоже является арифметической, но она отличается от всех функций последовательн ( ), Ф,( ), ..., тому что если бы для какого-нибудь номера г выполнялось равенство ф1 (и) («р„(п))', то у нас получилось бы ложное равенство Фг (У) - (фрг (1))' Значит, функция (1р,(п))' не может встречаться в последова- тельности фе(п), 1р,(п), ...

Но, о другой стороны, эту функцию ствнтельно, можно определить с помощью некоторого русского . Д йтекста. Де'- ниями а , описание нашего способа перечисления ', ) рифметических функций, определимых с помощью с(е повторе- ских текстов, было сформулировано на на русском языке, а после- помощью рус- дующее символическое построение функ ии (ф (и))' заменено еле им ц, и может быть «Та самая а ифме дующим определением, записанным на русском я м языке: ного нат альп р ф тическая функция, которая для каждого ур ого числа принимает значение, на единиц б ого даншве числа, являю н цу оль- В полученной после о "е щегося значением той функции номер ко р й торо данному Вислу». .

едовательности арифметических функций рав ен Следовательно, функция (ф„(п))' должна встречаться в нашей последовательности фо(п), «рх(п), ... Таким образом, мы приходим к противоречию. При анализе этой антиномии в первую очередь бросается в глаза то, что понятие определен и я арифметической функции при помощи текста на русском языке является довольно неточным, и поэтому выделение тех текстов, которые определяли бы арифметические функции, представляется проблематичным.

Однако такая точка зрения еще не дает пол. ного объяснения парадокса. В самом деле, при формализации этой антиномии мы могли бы исключить указанную трудность, ограничившись рассмотрением лишь таких дедуктивных формализмов, в которых выражения, изображающие арифметические функции, выделяются среди прочих выражений своей формальной структурой. Действуя в духе этого ограничения, добавим к нашим допущениям') а) — в) относительно формализма Р, которые мы опять положим в основу формализации рассматриваемой антиномии»), следующее дополнительное ограничение: ве) Среди выражений формализма Р термы распознаются по своему внешнему виду, так что (с учетом произведенной нумерации) свойство числа «быть номером какого-либо терма» представляет собой рекурсивный предикат. Далее, каждый терм, не содержащий свободных переменных, изображает некоторое, однозначно определенное число.

Характеристики

Список файлов книги