ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ (940881), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Det *Det A= 1 =>

Det a

Достаточность:

Пусть Det A . Докажем, что . Рассмотрим матрицу B.

B= =

Здесь - алгебраич.дополнение к

A=|| ||.

Докажем, что матрица B является левой обратной к матрице А. Необходимо проверить, что

= * =С=||C ||.

Докажем, что С=E.

C = * =det A = =C=E=

Аналогично доказывается, что B является правой обратной к матрице A: A*B=E

То есть B=

БИЛЕТ 7.

Линейным (или векторным) пространством называ­ется множество элементов произвольной природы, на котором определе­ны операции сложения элементов и умножения элемента на число, замк­нутые в данном множестве и согласованные друг с другом. Элементы любого линейного пространства называются векторами.

Примеры:

1°. Координатное или арифметическое пространство Rⁿ

2°. Пространство трехмерных геометрических векторов V3.

3°. Пространство С[а, b] — множество функций одной пере­менной, непрерывных на отрезке [а, b].

4°. Множество периодических функций с периодом Т.

5°. Множество многочленов степени, меньшей или равной n.

6°. Множество сходящихся числовых последовательностей.

7°. Множество ограниченных числовых последователь­ностей.

8°. Множество прямоугольных матриц размера mхn.

БИЛЕТ 8.

Пусть X— линейное пространство.

Определение 4.1.

Система векторов , , … , X называется ли­нейно зависимой, если существуют числа

, , … , R не все рав­ные нулю (т.е + +…+ 0) и такие, что

+ +…+ =

Если равенство выполняется только при = = …= =0, то система векторов называется линейно независимой.

Теорема 4.1. Для того чтобы система векторов , , … , X бы­ла линейно зависима, необходимо и достаточно, чтооы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

Упорядоченная система векторов , , … , X называется базисом в Х, если

1) система векторов , , … , линейно независима;

2) любой вектор пространства х может быть представлен в виде

x= + + … +

Это выражение называется разложением векотра х по базису , , … , .

Коэффициенты разложения вектора х по базису , , … , называются координатами вектора х в этом базисе.

БИЛЕТ 9.

Если существует натуральное число п такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов и любая система из n+ 1 вектора линейно зависима, то X называется n-мерным линейным пространством, а число n — его размерностью. Будем обозначать n-мерное линейное пространство X_n, где n = dimX_n — размерность пространства X_n.

Замечания

1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномер­ным.

БИЛЕТ 10.

Матрицей перехода от базиса е к базису f называ­ется матрица С=(с ) (i, k=1,…,n), столбцами которой являются координатные столбцы векторов базисе е, т.е.

……………………………………..

Или в матричной форме f=eC, где С=

В силу линейной независимости базисных векторов матрица С — невырожденная (det A ). Следовательно, С имеет обратную матри­цу .

Преобразование координат вектора:

Обозначим координатные столбцы произвольного вектора x в «старом» базисе е

и в «новом» базисе f

Произвольный вектор х в базисе е имеет вид

x=eX

Но в базисе f тот же вектор имеет вид

x=fX

x= eCX .

Сравнивая формулы получим

X = CX

Умножая это равенство слева на , получим искомую формулу пре­образования координат вектора при переходе от «старого» базиса е к «но­вому» f:

X = X

БИЛЕТ 11.

Правило Крамера: Если определитель матрицы системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет решение, и притом только одно. Это решение определяется формулами: =1, 2, …, n, где определитель матрицы системы и - определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-того столбца столбцом свободных членов.

Доказательство.

Подставим формулы =1, 2, …, n, в k-e (k=1,2,…,n) уравнение системы. Разлагая определители по i-тому столбцу, получим в левой части этого уравнения

где A - алгебраические дополнения к элементам а матрицы системы. После перемены порядка суммирования в правой части получим

Вторая сумма равна нулю при всех j за исключением j=k, при котором она равна . Следовательно, в первой сумме по j останется лишь одно слагаемое и все выражение будет равно . Таким образом . Так как k=1,2,…,n, то все уравнения системы обратились в тождества. Докажем, что решение единственное. Рассмотрим произвольное решение системы

, , … , и тождества, в которые превращаются уравнения системы при подстановке в них этого решения. Выберем произвольный номер i и умножим первое из этих тождеств на , второе на и так далее. Сложив полученные равенства, получим . Изменив порядок суммирования в левой части равенства и учитывая определение , получим

. Все слагаемые в первой сумме по j равны нулю, за исключением того, которое соответствует i=j. Поэтому равенство принимает вид . Далее получим . Поскольку номер i был взят произвольно, решение (i=1,2,…,n) совпадает с решением, определяемым формулами. Единственность доказана.

БИЛЕТ 12.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида

, где (i=1, …, m, k=1, …, n)- коэффициенты системы, , , … , - неизвестные и - свободные члены.

Теорема (Кронекера—Капелли). Для того чтобы система линей­ных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство

1. Необходимость. Дано: система совместна. Тогда из условия совместности в операторной форме следует и вектор b может быть разложен по базису в образе. Это означает, что столбец В расширенной матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А , т.е. количество линейно независимых столбцов обеих матриц одинаково и, следовательно, Rg Rg A

2. Достаточность. Дано: Rg Rg A. Следовательно, обе матрицы имеют одни и те же базисные столбцы. Поэтому столбец В может быть представлен в виде линейной комбинации базисных столбцов матрицы А .Это означает, что и система совместна

БИЛЕТ 13.

Общим решением системы линейных уравнений назы­вается формула, которая определяет любое ее решение.

Фундаментальной системой решений однородной системы называется базис ядра оператора (точнее, координатные столбцы базисных векторов в Кег ).

Фундаментальной системой решений однородной системы назы­вается n — r линейно независимых решений этой системы.

Общее решение однородной системы линейных уравнений имеет вид

Где - фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и - произвольные постоянные.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

1. При любых значениях определяемое форму­лой, является решением системы. (Следует из линейности оператора .)

2. Каково бы ни было решение , существуют числа такие, что

. (Следует из того, что любой вектор пространства может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов.)

БИЛЕТ 14.

Общее решение неоднородной системы линейных уравне­ний имеет вид

где - какое-либо частное решение неоднородной системы.

— фундаментальная система решений соответствую­щей однородной системы.

— произвольные по­стоянные.

Свойства общего решения неоднородной системы уравнений:

1. При любых значениях определяемое формулой является решением системы.

2. Каково бы ни было решение существуют числа

такие, что .

БИЛЕТ 15.

Метод Гаусса- это метод последовательного исключения неизвестных из системы линейных уравнений. Метод заключается в домножении одного из уравнений системы на какое-нибудь число и сложение получившегося уравнения с другим уравнением системы чтобы один из неизвестных членов сокращался.

Например, дана система:

2x + y + z = 4

3x - 2y + z = 2

x – y – z = -1

Домножив первое уравнение на 2 и сложив со вторым уравнением системы получим:

2 x + y + z = 4

7x+3z=10

x – y – z = -1

Сложив первое и третье уравнение системы, получим

3x=3 (=> x=1)

7x+3z=10

Получаем корни: x = y = z = 1.

Метод Гаусса используется при решении систем линейных уравнений, вычислении обратной матрицы, решении других задач линейной алгебры.

БИЛЕТ 16.

Линейные операции над векторами

О пр1: Вектор - направленный отрезок.

A – начало, В – конец.Если А=В =

1)Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на || прямых;

2 ) , , - компланарные, если будучи приведены к одному началу лежат в одной плоскости;

3) = , если а)| |=| |;б)

Опр2:Суммой векторов , назовем вектор , такой что:

Опр3:Произведением на вещественно число назовем :

1)| |=

2) , >0

, <0

Утв: Множество векторов(направленных отрезков) с операциями , введенными в опр2 и опр3, есть линейное пространство.

Свойства линейных операций над векторами:

1) + = +

2) ( + )+ = +( + )

3) ( + ) = +

4)

5)

6) : + =

7)

8)

Опр4: если

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)