М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций (853843), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Можно показать, что при этом все точки на оси, проходящей через две закрепленные точки, остаются неподвижными.Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси.Выберем произвольную точку A на неподвижной оси.Для любой точки B, находящейся не на оси, имеем (см.Распределение скоростей в абсолютно твердом теле)x0~V~B = V~A + ~ω × AB(44)Рис. 57Но VA = 0 по построению. Следовательно,~V~B = ~ω × AB(45)(формула Эйлера). Построим связанную с телом систему координат в точке A. Ось Az неподвижнаи направлена по неподвижной оси; ~i, ~j, ~k — единичные векторы, направленные вдоль осей связаннойсистемы.Тогда согласно раздела (см. Распределение скоростей в абсолютно твердом теле имеем следующиезначения составляющих угловой скорости:d~kd~k ~d~i ~d~j· i = 0; ωz =· j = − · ~iωx = − · ~j = 0; ωy =dtdtdtdt260т.е.
, ~ω = 0 ωz(46)~ωVB6 MA~ABzrA6~Следовательно, вектор угловой скорости вращениянаправлен по оси вращения. Скорость точки B направлена перпендикулярно плоскости, проходящей~ Значение этой скорости (сочерез векторы ~ω и AB.гласно определению векторного произведения) равно:h Bz0z 6~rB-xyy0-0~ · sin (~ω ,d~ = ωz · h|V~B | = |~ω | · |AB|AB)-x0(47)т.е., произведению модуля угловой скорости вращения на расстояние от точки B до оси вращения.Рис.
58С учетом того, что точка A находится на неподвижной оси, ускорение точки B определяетсявыражением:~ddV~B~ = d~ω × AB~ + ~ω × dAB = d~ω × AB~ + ~ω × [~ω × AB]~= ~ω × ABdtdtdtdtdtВектор ~ε =(48)d~ωназывается вектором углового ускорения. Окончательно имеем:dt~a =~ω~6dV~B~ + ~ω × [~ω × AB]~ = a~τ + a~n= ~ε × ABdt(49)MVB~aτAMz~ABz~an B0rA6~z 6~rB-x0x0-yy0-В выражении (49) aτ называется вращательным ускорением в точке B, направление которого совпадает с направлением скорости точки B, an называется осестремительным ускорением в точке B и направлен к оси вращения.Рис. 59Рис.
60d~i ~Вычислим значение ωz =· j как функцию угла поворота осей x и y вокруг неподвижной осиdtz. Так как~i = cos ϕ · ~i0 + sin ϕ · j~0(50)27~j = − sin ϕ · ~i0 + cos ϕ · j~0ωx = [− sin ϕ · ϕ̇ · ~i0 + cos ϕ · ϕ̇ · j~0 ] × [− sin ϕ · ~i0 + cos ϕ · ~j] = ϕ̇(51)(52)т.е. ωz = ϕ̇, тогда модуль вектора углового ускорения равен ε = ϕ0024.5Плоское движение. Мгновенный центр скоростейОпределение. Плоским движением абсолютно твердого тела называется такое движение, при котором любая точка тела остается в плоскости, параллельной некоторой заданной плоскости.
При этомдостаточно рассматривать движение сечения твердого тела, которое параллельно некоторой плоскости: все остальные сечения движутся так же. Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским.Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляетпоступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек.
Кроме того,в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скоростиавтомобиля, подразумевая при этом скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузоваавтомобиля, принимая его за точку.Угловая скорость и ускорение для плоского движения — векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которойплоскость xy совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость ~ω и ускорение ~ε направленывдоль оси z. В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторовна ось z: ωz и εz . Индекс z иногда будем опускать.Рассмотрим движение некоторого сечения абсолютно твердого тела (плоской фигуры), котороепараллельно плоскости экрана (предполагается, что Вы работаете с плоским экраном!).Для любой точки B рассматриваемого сечения имеет место~V~B = V~A + ~ω × ABПри этом вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости экрана:~ω = 0 · ~i + 0 · ~j + ωz · ~kОпределение.
Мгновенным центром скоростей плоской фигуры называется точка на плоскости,связанной с этой фигурой, скорость которой в данный момент времени равняется нулю.Теорема. Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростейвсегда существует и определяется единственным образом.24.5.1Доказательство существования МЦСA.1. Если скорость произвольной точки A в данный момент времени равна нулю, то эта точка —мгновенный центр скоростей.~2.
Если V~A 6= 0, рассмотрим некоторую точку P . Для скорости точки имеем V~P = V~A + ~ω × AP~~ = ~ω × VA тогда:Выберем APω2~ω × V~A1V~P = V~A + ω~×= V~A + 2 [~ω × [~ω × V~A ]]2ωωz(53)Используя свойство двойного векторного умножения перепишем (53) как:1V~P = V~A + 2 (~ω · (~ω · V~A )) − V~A · (~ω · ~ω )ωz28(54)И поскольку вектор ω~ перпендикулярен вектору V~A , последнее выражение примет вид:1V~P = V~A + 2 (−V~A · ωz2 ) = V~A − V~A = 0ωz~ можноТаким образом, V~P = 0, а точка P — мгновенный центр скоростей.
Модуль вектора APвычислить:π|V~A |1AP = 2 |~ω | · |V~A | · sin =(55)ωz2ωzРис. 61B.Для некоторой точки A, скорость которой не равна нулю, введем систему координат так, что ось~ > 0 Выберем на оси Ax точку P . ЕеAy направлена по вектору V~A . Тогда имеем: VAx = 0 и VAy = |A|координаты: (x, 0). Скорость точки P :~ = VA · ~jV~P = V~A + ~ω × AP+~i0x~j ~k 0 ωz = VA · ~j + ωz · x · ~j = (VA + ωz · x) · ~j0 0 (56)VAx, то Vp = 0 что и требовалось доказать.ωzДля нахождения мгновенного центра скоростей нужно повернуть вектор скорости точкина 90 VA градусов по направлению вращения тела и на полученном луче отложить отрезок AP = .ωzЕсли x = −24.5.2Доказательство единственности МЦСПредположим, что мгновенных центров скоростей у тела — два, т.е., имеем V~P = 0 и V~k = 0. Тогда~ следовательно ω~для любой точки будем иметь V~C = V~P + ~ω × P~C = V~K + ω~ × KC,~ × P~C = ~ω × KC.~ = 0 и P~C − KC~ = 0.
Значит P~C = KC,~ что и требовалось доказать.Тогда ~ω × (P~C − KC)24.6 Распределение скоростей при плоском движенииРис. 62Если точка — мгновенный центр скоростей, то для некоторой точки имеем:V~A = V~P + ω~ × P~M29(57)И с учетом того, что V~P = 0 скорость точки определяется выражением:V~A = ~ω × P~M(58)Если ~ω 6= 0, то в каждый момент времени распределение скоростей плоской фигуры такое же, как ипри вращательном движении вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей: скороститочек плоской фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центромскоростей, а величины скоростей пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центраскоростей:VA = ωz · AP(59)24.7Методы расчета кинематики плоского движенияСкорость точки B тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либоточки A того же тела, принимаемой за полюс (рис.
71):~~vB = ~vA + ~vBA , ~vBA = ~ω1 × AB.(60)~ +ω~aB = ~aA + ~ε × AB~ × ~vBA .(61)Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой21. Метод графов. Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу (72) применяют последовательно для всех точек,переходя от одной точки, принимаемой за полюс, кдругой.
Схему вычислений в этом случае удобно записывать в виде структурных формул (графов [10]):y6B~vA 1ϕ1A*~vB1A −→ B ,ϕ1-(62)где над стрелкой указан номер тела или наименованиестержня,которомупринадлежатРис. 63~ В проекциях на оси x, y граф (62) даетточки, а снизу — угол ϕ между осью x и вектором AB.уравненияvBx = vAx − AB ω1z sin ϕ1 ,(63)vBy = vAy + AB ω1z cos ϕ1 ,xгде ω1z — проекция угловой скорости тела 1 на ось z, перпендикулярную плоскости движения.Если вращение происходит против часовой стрелки, то ω1z = |ω1 |, а если по часовой стрелке, тоω1z = −|ω1 |.В качестве вершин графа удобно брать точки механизма с заданными или искомыми скоростями.При этом скорость может быть задана частично, например только по направлению. Если в задачеимеется тело (обычно диск или цилиндр), катящееся без проскальзывания по какой-либо поверхности, то точка касания тела может быть вершиной графа, так как скорость ее равна нулю.Для многозвенного механизма (рис.
64) из графов вида (62) можно образовать цепочку1A −→ Bϕ12−→ Cϕ23−→ D ,ϕ3особенно удобную для связи скоростей ~vA и ~vD , в тех случаях, когда скорости промежуточныхточек B и C в задачу не входят.2Формула Ривальса.30y6~vAϕ32B ϕ23 1AyCDϕ1~vD60ϕ01 ϕ22~vA BCϕ0331A-D~vD-xxРис. 64Рис. 65В проекциях на оси этот граф дает соотношения:vDx = vAx − AB ω1z sin ϕ1 − BC ω2z sin ϕ2 − CD ω3z sin ϕ3 ,vDy = vAy + AB ω1z cos ϕ1 + BC ω2z cos ϕ2 + CD ω3z cos ϕ3 .Многозвенный механизм можно пройти и в обратном направлении (рис.
65). Углы к направлениямстержней будут, как и ранее, отсчитываться от положительного направления оси x в начале стержня:3D −→C0ϕ32−→B0ϕ21−→A,0ϕ1где ϕ0k = ϕk + π. Соотношение между скоростями точек при этом не изменится.Вычислять проекции скоростей удобно с помощью координатного метода. Рассмотрим кривошипношатунный механизм (рис. ??). Кривошип AB, вращаясь вокруг оси в подшипнике A, посредствомшатуна BC сообщает возвратно-поступательное движение ползуну C. Дано: AB = BC = l. Силы,действующие на механизм, не указаны, для кинематического анализа они не требуются.Пусть ϕ — обобщенная координата.
Найдем скорость ползуна. Для этого определим его координату: xC = xA + 2l cos ϕ. Дифференцируя это равенство, получаем vxC = −2lϕ̇ sin ϕ.llϕ−ϕЛегко проверить, что этот же результат получается методом графов. Строим граф A −→ B −→ C .Записываем оба уравнения графа в проекции на оси x и y. Вычисляем из второго уравнения графа(в проекции на y) скорость vCy = vAy + lϕ̇ cos ϕ + lω3z cos(−ϕ). При vCy = vAy = 0 получаем отсюдаинтуитивно ясный результат: ω3z = −ϕ̇. Стержни одинаковой длины вращаются с одинаковой угловойскоростью, но в разные стороны. Подставляем угловую скорость в первое уравнение графа,vCx = vAx − lϕ̇ sin ϕ − lω3z sin(−ϕ),и получаем тот же результат, но более сложным способом.Заметим, что обычно в задачах зависимость координат от времени получается такой сложной,что продифференцировать ее можно только в системах компьютерной математики, в том числе Maple(оператор diff).
Метод графов более универсальный — он применим для большинства задач.3. Уравнение трех угловых скоростей. Одним из самых распространенных элементов стержневых механизмов является четырехзвенник, состоящий из трех шарнирно соединенных стержней надвухнеподвижныхопорах.Четвертымэлементоммеханизмаявляетсяоснование,на котором он закреплен (рис. 66).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
