М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций (853843), страница 11
Текст из файла (страница 11)
+δqs − ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t),∂q1∂q2∂qsилиδ~rη =sX∂~rηδqii=1 ∂qi(147)Выражение (147) устанавливает связь между возможными перемещениями точек механической системы и вариациями обобщенных координат.Вычислим элементарную работу активных сил на возможном перемещении, определяемом выражением (147) :nnss XnXXXX∂~rη∂~rηF~η · δ~rη =F~η ·δA =δqi =F~η ·δqi∂qiη=1η=1i=1 ∂qii=1 η=164илиδA =sXQi δqi ,(148)i=1гдеQi =nX∂xη∂yη∂yη∂~rηF~η ·=Fηx+ Fηy+ Fηy∂qi∂qi∂qi∂qiη=1η=1nX(149)называется обобщенной силой; Fηx , Fηy , Fηy — проекции вектора F~η на оси координат, а xη , xη , zη —координаты точки с массой mηОпределение. Обобщенной силой называется коэффициент перед вариацией обобщенной координаты в выражении для сумм элементарных работ всех активных сил.Если использовать понятие мощностиN=nXη=1~E =F~η · VηsXQi q̇iE ,(150)i=1dq Eгде q̇iE = dti — возможная обобщенная скорость, то обобщенную силу можно определить так:Определение. Обобщенной силой называется коэффициент перед возможной обобщенной скоростью в выражении для суммы мощностей всех активных сил.Размерность обобщенной силы:[Q] =[F ][r]q=Hm[q](согласно выражению (149))Пример 1Пусть обобщенная координата — декартова координата точки.[q] = m, следовательно, [Q] = Hm= H(размерность силы)mПример 2Пусть обобщенная координата — угол.[q] = rad, следовательно, [Q] = Hm= (размерность момента).rad48 Тождества ЛагранжаВывод вспомогательных тождеств Лагранжа.Найдем скорость точки с массой mη .
Для этого продифференцируем по времени уравнение~rη = ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t),(151)где η=1,2,3,...,n (см. Обобщённые координаты механической системы, с. 63)илинаконец~η = d~rη = d ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t),Vdtdt(152)s∂~rη dq1 ∂~rη dq2∂~rη dqs ∂~rη X∂~rη∂~rηV~η =++ ... ++=q˙i +,∂q1 dt∂q2 dt∂qs dt∂t∂ti=1 ∂qi(153)~η =Vгде q˙i =dqidtsX∂~rη∂~rηq˙i +,∂ti=1 ∂qi(154)— обобщённая скорость~η = V~η (qi , q˙i , t).V(155)Таким образом, скорость точки является функцией обобщенных координат, скоростей и времени.65Ускорение точки с массой mη .~aη =~η∂ V~η dq1 ∂ V~η dq2∂ V~η dqs ∂ V~η dq˙1 ∂ V~η dq˙2∂ V~η dq˙s ∂ V~ηdV=++ ...
++++ ... ++dt∂q1 dt∂q2 dt∂qs dt∂ q˙1 dt∂ q˙2 dt∂ q˙s dt∂t(156)sX∂ V~η∂ V~η∂ V~η~aη =q˙i +q¨i +∂ti=1 ∂qii=1 ∂ q˙i(157)илиsXДифференцируя по времени выражение (154), получаем:"!#s~η XddV~aη ==dti=1 dt∂~rη∂~rη dq˙idq˙i ++∂qi∂qi dtdts~η XddV~aη ==dti=1 dtsX∂~rη∂~rηdq˙i +q¨i +∂qidti=1 ∂qi∂~rη∂t!,(158)∂~rη.∂t(159)или!!Сравнивая выражения (157) и (159), получимddtddt∂~rη∂qi!=∂ V~η,∂qi(160)∂~rη∂ V~η=,∂qi∂ q˙i(161)!(162)∂~rη∂t=∂ V~η.∂tВыражения (160), (161) и (162) называются тождествами Лагранжа49Уравнения ЛагранжаЧтобы найти уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, обратимся кобщему уравнению динамикиXXδAak +δAu(163)k = 0.Для общности не будем предполагать, что все наложенные на систему связи являются идеальными.Поэтому в первую сумму могут входить как работы активных сил, так и, например, работы силтрения.Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатамиq1 , q2 , ...qs .
ТогдаXδAk = Q1 δq1 + Q2 δq2 + ... + Qs δqs .(164)Очевидно следующее преобразованиеXuuuδAuk = Q1 δq1 + Q2 δq2 + ... + Qs δqs ,(165)uuгде Qu1 , Q2 , ..., Qs — обобщённые силы инерции, которые равныQui =X∂~rkF~ku∂qi66(166)Подставляя величины (164) и (165) в уравнение (163), найдемu(Q1 + Qu1 )δq1 + ... + (Qs + Qs )δqs = 0.Так как все δq1 , δq2 , ..., δqs между собой независимы, то полученное равенство может выполнятьсятогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при δq1 , δq2 , ..., δqs в отдельности равен нулю.Следовательно, должно бытьu(167)(Q1 + Qu1 ) = 0, ..., (Qs + Qs ) = 0.Полученными уравнениями можно непосредственно пользоваться для решения задач динамики.
Преобразуем сначала соответствующим образом величину Qu1 . Поскольку сила инерции любой из точексистемы~kdVF~ku = −mk~ak = −mkdtто первая из формул (166) дает~k ∂~rkX mk dV− Qu.(168)1 =dt ∂q1Чтобы выразить Qu1 через кинетическую энергию системы, надо преобразовать правую часть равенства (168) так, чтобы она содержала только скорости Vk точек системы.
С этой целью заметимпрежде всего, что!!~k ∂~rkdVd ~ ∂~rkd∂~rk~k=Vk−V.(169)dt ∂q1dt∂q1dt ∂q1Дальнейшее преобразование осуществляется с помощью следующих двух равенств:∂ V~k∂~rk=,∂q1∂ q˙1~kd ∂~rkdV=.dt ∂q1dq1(170)Докажем сначала справедливость первого из них. Так как согласно ~rk = ~rk (q1 , q2 , ..., qs ), тоd~rk∂~rk∂~rkV~k ==q˙1 + ...
+q˙sdq1∂q1∂qsи∂ V~k∂~rk=.∂ q˙1∂q1Справедливость второго из равенств (170) следует из того, что операции полного дифференцирования по t и частного по q1 переместимы, т.е.~kd ∂~rk∂ d~rkdV==.dt ∂q1∂q1 dtdq1Подставив теперь величины (170) в (169), получим~k ∂~rkdVd ~ ∂ V~k ~ ∂ V~kd 1 ∂ V~k2 1 ∂ V~k2=Vk− Vk=−dt ∂q1dt∂ q˙1∂q1dt 2 ∂ q˙12 ∂q1и формула (168), если учесть, что сумма производных равна производной от суммы, а V~k2 = Vk2 ,примет видгде T =P"∂ X mk Vk2dt ∂ q˙12dQu1 =!#∂ X mk Vk2−∂q12mk Vk2 /2 — кинетическая энергия системы.67!=d ∂T∂T−,dt ∂ q˙1 ∂q1Аналогичные выражения получатся для всех остальных обобщенных сил инерции. В результатеравенства (167) дадут окончательноddt∂T∂ q˙1!∂T= Q1 ,∂q1−!∂T∂T−= Q2 ,∂ q˙2∂q2................!∂Td ∂T−= Qs .dt ∂ q˙s∂qsddtЭти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода.50Теория удара50.1 ОпределенияОпределение.
Явление, при котором скорости точек тела за малый промежуток времени меняютсяна конечную величину, называется ударом. Ударный импульс~уд =SZсрF~уд dt = F~уд τ(171)0отличается от импульса неударных сил тем, что время удара τ мало, ударные силы Fуд велики, аSуд принимает конечное значение. Поэтому изучая удар будем пренебрегать• неударными силами по сравнению с ударными,• перемещениями точек тела во время удара.Теорема об изменении количества движения (с. 43) в случае удара имеет вид~1 − Q~0 =QX~eSk(172)Интегрируя теорему об изменении момента (относительно точки A) количества движения~A XdK=m~ A (F~k ),dtkв случае удара, получим с учетом (171)~1 −K~0 =KAA50.2X~ e)m~ A (Sk(173)Удар материальной точки о поверхностьС некоторой высоты H точка массой m падает на поверхность и отскакивает на высоту h (рис.
95).HРис. 95h~v?~u6Рис. 9668Скорость точки при ударе о поверхность v, при отскоке от поверхности u (рис. 96). Очевидно,u < v.Определение. Отношение скоростейuk=vназывают коэффициентом восстановления при ударе.qЕго можно найти экспериментально.
Согласно√√формуле Галилея, v = 2gH, u = 2gh. Отсюда k = h/H. Коэффициент восстановления меняетсяв пределах 0 ≤ k ≤ 1.50.3 Косой ударРешим задачу. Материальная точка падает со скоростью v на гладкую плоскость под углом α. Подкаким углом β (рис. 97) отскочит точка от поверхности, если коэффициент восстановления равен k?Для решения задачи запишем закон изменения количества движения точки в проекции на плоскость (ось x). Так как плоскость гладкая, горизонтальных сил и их импульсов нет.
Закон измененияздесь имеет форму закона сохраненияmux − mvx = 0(174)Так как ux = u sin β, vx = v sin α, тоu sin β = v sin α~v~uR(175)Модули нормальных проекций скоростей связаны коэффициентом восстановленияk = (u cos β)/(v cos α)α β(176)Из (175) и (176) следуетtg β = (1/k) tg α(177)Рис. 97При k = 0 получим β = π/2, т.е. точка покатится по поверхности (мяч, брошенный в песок).50.4Удар в динамике твердого телаТеорема об изменении количества движенияПри ударе изменение количества движения удовлетворяет уравнению~1 − Q~0 =QX~ e,Sk(178)P~0 и Q~ 1 — количество движения тела до и после удара,~ke — сумма ударных импульсов,где QSприложенных к телу. Количество движения тела вычисляем через его массу и скорость центра масс~ = m~vC .Q(179)Теорема об изменении главного момента количества движения Изменение главного моментаколичества движения системы (тела) относительно какого-либо центра B при ударе равно главномумоменту ударных импульсов, приложенных к телу, относительно того же центра:~ B1 − K~ B0 =KX~ e ),m~ B (Skk~ B0 и K~ B1 — момент количество движения системы до и после удара.где где KВ проекции на ось z эта теорема для твердого тела имеет вид69(180)Jz (ωz1 − ωz0 ) =X~ e ),mz (Sk(181)kгде Jz — момент инерции тела относительно оси вращения, ωz0 и ωz1 — угловая скорость тела до ипосле удара.Поместим начало координат в центр масс.
В случае, когда ударный импульс один и перпендикулярен оси z, а в (180) в качестве центра B берется центр масс, то (178), (181) принимают видmvCx = Sx ,mvCy = Sy ,JC (ωz1 − ωz0 ) = Sy x − Sx y,(182)(183)(184)где x и y — координаты точки приложения ударного импульса, JC — главный момент инерциитела.51 Удар в динамике механической системыУравнения Лагранжа 2-го рода для системы, обладающей s степенями свободы, в случае ударазаписывается в виде!!Z1∂T∂T−= Qi dt = Ri , i = 1, ..., s,(185)∂ q̇i 1∂ q̇i 00где T — кинетическая энергия, q̇i — обобщенные скорости, Ri — обобщенные ударные импульсы:Ri =~)δAi (S,δqi~ ) — элементарные работы ударных импульсов на возможных перемещениях δqi .где δAi (SСостояние 0 (нижний индекс в (185)) соответствует системе до удара, 1 — после удара.
Импульсынеударных сил (активных сил, сил тяжести) в уравнения не входят.51.1 Центр удараТвердое тело массой M вращается на оси, закрепленной на в подшипниках A и B. Подшипник Aимеет подпятник, создающий реакцию, направленную вдоль оси. Определим, чему равны импульсивные реакции A и B при ударе. Выберем оси координат так, что центр масс C тела находился вплоскости Ayz.
При ударе возникнет пять импульсивных реакций: три в опоре A и две в опоре B(рис. 98).Обозначим: a — расстояние центра масс от оси, AB = b — расстояние между подшипниками, ω— угловая скорость тела до удара, Ω — угловая скорость после удара.70zz66~BySBB-~BxS ~vcaaCωCω IKO~SI~S-yx~Az 6SA~yS-Ay -A~AxSxРис. 98Рис. 99Запишем уравнения (172), (173) в проекциях на оси координат. Так как проекции кинетическогомомента имеют вид Kx = −Jxz ω, Ky = −Jyz ω, Kz = Jz ω, то получим− Ma(Ω − ω) = SAx + SBx + Sx ,0 = SAy + SBy + Sy ,0 = SAz + Sz ,~−Jxz (Ω − ω) = −SBy b + mx (S),~−Jyz (Ω − ω) = SBx b + my (S).~Jz (Ω − ω) = mz (S).(186)(187)(188)(189)(190)(191)Составление правых частей (186–191) аналогично составлению уравнений равновесия пространственной статики, только вместо сил здесь берутся их импульсы.
Шесть неизвестных системы (186–191): SAx , SAy , SAz , SBx , SBy и разность угловых скоростей (Ω − ω).Найдем условия, при которых не возникают импульсные (ударные) реакции шарниров. Известно, что в механических устройствах ударные реакции способствуют износу и могут привести кразрушению.~A = 0, S~B = 0. Из (187) и (188) сразу же получим, что вектор внешнегоПоложим в (186–191): S~ударного импульса S должен лежать в плоскости, параллельной xAy: Sy = 0, Sz = 0. Заметим, что~A = 0, S~B = 0 вид системы (186–191) не зависит от выбора начала координат. Перенесем началопри S~ = 0,~ лежал в плоскости xOy (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
