Презентация (847575)
Текст из файла
Применение разрывного метода Галёркинадля решения уравнений Навье-СтоксаУтиралов Д.ИДипломная работаНаучный руководитель: Тишкин В.Ф.Цель работы1)Разработка методики определения компонент тензора вязкихнапряжений на границе области с условием прилипания длячисленного решения задач газовой динамики разрывнымметодом Галеркина.2)Создание программного блока и последующая интеграция впрограммный комплекс для решения задач газовой динамики вдвумерной постановке на сетках с ячейками треугольной формы.3)Решение модельных задач.Формулы уравнений Навье-Стокса для вязкого сжимаемого газа.Рассмотрим уравнения Навье-Стокса, записанные как система уравнений первого порядкаtyyyx23F(u)F e (u)x((xyxxxyyxyyG (u, τ ) 0,F(u)τu, FevEuxxudiv vG e (u), G (u, τ )yuu2 p, Geuv( E p )u-тензор2 S ( v ),vuvv2 p( E p )vvS vv*2F v (u, τ )xG v (u, τ )y0F v (u, τ )0xxxy, G v (u, τ )xyuxxyyvxyuxyvвязких напряжений, его компоненты вычисляются, как2)(ux v y ) 2 ux32)(ux v y ) 2 v y3(u y vx )Где- коэффициент динамической вязкости, объёмная вязкость, ij (i, j x, y) - компонентытензора вязких напряжений.
В данной работе нерассматривается влияние теплопроводности, k 0 .yyПрименение разрывного метода Галеркина науравнениях Навье-СтоксаПокроем область, на которой ищется решение треугольной сеткойh{K i }iIНа каждом элементе K приближенное решение системы уравнений будем искать в видеполиномов Pk ( x) степени k с зависящими от времени коэффициентами:n 1u(x, t )h|KU i (t )si(x),x K si 0Разложение численного решения осуществляется по n функциям Pk ( x), являющихсябазисом для полиномиальных функций i (x) .
В нашей работе берутся полиномы 1-ойстепени с базисными функциями. Для ячейки с номером s они имеют видs0s1s21scx xxy ycsy( xcs , ycs ) - центр треугольника с номером sx, y- шаги сеткиПрименение разрывного метода Галеркина на уравнениях НавьеСтокса(продолжение)Возьмём к примеру уравнение неразрывности( u)xt( v)yK s приближенные значения параметров ищутся в видеВ каждом треугольнике22sih| K ssi,2siuh|K sui 0si,visvh|K si 0sii 0Согласно разрывному методу Галеркина коэффициенты разложенияs неизвестных ищутся из условияортогональности невязки уравнения всем базисным функциям i на треугольнике с номером s.Интегрируя по частям и используя формулу Грина, приходим к системе из 3-х уравнений для каждойиз базисных функций.si(Kssh( u ) hsxt( u)shKssix( u ) h , ( v) h ,2j 0( v)jKsshsidxdyyshsitKs0,i[( u ) hs nx ( v) hs n y ] is dSdxdyKs0, 2hsit( v) hs)dxdyyi1edxdyh (u ,u ,n)dSKs( u)Ksshsix( v)shsiydxdy,i0, 2Функции ( u ) h , ( v) h , h являются разрывными на границе треугольника.
Поэтому подынтегральнаяфункция в правой части заменяется функцией численного потока, которая зависит от состояния вобеих граничных ячейкой и нормали к граничной стороне.Граничные условия.Особую роль для решения задач газодинамики имеет постановка граничныхусловий. Значение параметров задач на границе определяется типом граничногоусловия.Основные типы граничных условий:1) свободное втекание2) свободное вытекание3) условие симметрии4) условие прилипанияВ данной работе расчет граничных условий осуществляется путем введенияфиктивных ячеек. Переменные в фиктивной ячейке определяются в зависимостиот типа граничных условий.Обозначим верхним индексом * параметры в приграничной ячейке.1) Для условия симметрии параметры имеют вид*p*2)pEu*uv*vДля свободного втекания и свободного вытекания параметры задаютсяE* E*в видеp*3)E*pu*uv*vДля условия прилипания значения в фиктивных ячейках ставятсятакие же, как и для условия симметрии.
Но необходимым условиемявляется u 0, v 0 на границе области. Дальше мы предлагаемспособ для задания компонентов тензоров вязкости в фиктивныхячейках с этим условием.Задание компонент тензора вязких напряженийв фиктивной ячейки на границе с условием прилипания.Допустим, что одна из граничных сторон с условием прилипания лежит на прямой y = 0. Впротивном случае можно воспользоваться преобразование координат.Для условие прилипания верно uДля точекuK0K1 и K 2иuK1Подставив координаты точек, получим систему равненийВычитая из 1-го уравнения 2-ое получаемОбозначимkycyu1 (0, v 0 => u0, v 0вершин треугольника выполнено020u00u0x1 x2) 0x( x1 xc )x(x x )u1 2 cxu1u1u2 (u2 (yc)yyc)y0Таким образом, можно прийти к следующей системе уравнений( u1 )0t( u0 )( u2 )ktt0Совершенно аналогично, проводярассуждения относительно другойкомпоненты скорости, получаемсистему( v1 )0t( v0 )( v2 )ktt0Задание компонент тензора вязких напряжений в фиктивнойячейки на границе с условием прилипания(продолжение).Рассмотрим следующие системы уравнений2( u )it Ksi 0uijKs2i 0ijjuvh h hxKs( v )it KsKsjphh h2h 2v (u + ,u - , τ , τ , n) j dShe2 (u + ,u - ,n) j dSdxdyyjdxdyh , xxjuvKsphh hxdxdy0Ks2vyh 2v (u + ,u - , τ , τ , n) j dSKsh h hxKshe3 (u + ,u - ,n) j dSdxdyjh , xyjyjdxdyh , xyjh , yyxKsydxdy0Распишем потоковые функций для подынтегральной функций, содержащих компоненты тензоравязких напряжений.
Индексом «+» обозначим параметры во внутренней ячейке, а «-» вовнешней.h 2vxxxx2xynxxy2xyh 3vnyxyyynx2yy2nyK2h , xxnxh , xynyjdSKsh , xxK1K2nxh , xynyjdSK3K2[K1h , xx2nxh , xy2ny ] j dSK1K2h , xyKsnxh , yynyjdSh , xyK1K2K3nxh , yynyjdSh , xx2h , xynx2ny ] j dSK2[K1[h , xy2nxh , yy2n y ] j dS[K1h , xy2nxh , yy2n y ] j dSЗадание компонент тензора вязких напряжений в фиктивнойячейки на границе с условием прилипания(продолжение2).Используя то, что нормаль к граничной стороне равна( u )0StA0 0.5xyЗдесь в обозначенияхимеются в виду именнокомпоненты тензора фиктивноготреугольника.d32( u )1 ( x xc )dxdyt Ksx2( u)2t( u )1 ( x xc )( y yc )dxdyt Ksx yI1Обозначим( x xc )( y yc )dxdyxyKs( u )2t0.5xy(yKsd ,A0 I1 ( y yc ) 2dxdyk S Ksy2A2Аналогично из уравнения для0.5yy3d ,I50.5yy3xd ,A1A1 0.5xy32yc )dxdyy2I23A0 I1 ( x xc )( y yc )dxdyk S Ksx yI4n (0, 1) , приходим к системе(yA2 0.5xy30.5xyxd ,( x xc )dxyc )dyI3на границе области0.53xyyd03xcI1x1I2x- интеграл к стороне, лежащей3ycI1yv приходим к системе относительноI60.5yy3yd0C0 I 4k SC0 I 4k SI 4 , I 5 , где( x xc )( y yc )dxdyxyKsC1yc ) 2dxdyy2ycI4y(yKsC21I5xxcI4xРазложение компонент тензора вязких напряжений по базису вфиктивной ячейке.Зная, значения интегралов I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5, можно найти значения коэффициентовразложения компонент тензораxy , yy внутри фиктивного треугольникапо базисным функциям1,01( x xc ),xxyiiyyii2( y yc )y2Имеем представлениеxy,i 02yyi 0Приходим к системе2 I1xyd32I23xyxdxdxy032I33xyydydxy032I43yyd3yyxd32I63yy3xdyy0ydydyy03( x xc )dxy131x1y33( x xc )dyy131x1xx( x xc ) xdyy13y ( x xc )dyy13(yyc )dxy2x( yyc ) xdy( yyc )d31yy ( x xc )dxy1xy21yx( x xc ) xdxy11x1x1dyy032I51x1dxy01y3xy203(yyy23-е и 6-е уравнение независимоот решения обращаются в 0 напрямой y = 0.
Поэтому значениекоэффициентов СЛАУ для этихуравнений задаем произвольно.yc ) d31y1yyy2x( yyc ) xdy( yyc )d3yy230Результаты-точный профиль Блазиуса-построенный, приближенныйпрофиль БлазиусаНа рис. изображены два графика точного профиля Блазиуса и приближенного профиляБлазиуса при x = 40.Постановка задачи(расчет течения сжимаемого газавдоль поверхности плоской пластины).Расчетная область задачи имеет форму прямоугольникаx [0.0,50.0]y [0.0,14.5]Граничные условия:свободное втекание, свободное вытекание, условие симметрии,условие прилипанияНачальные условия. Внутри области в начальный момент времени у нас заданы условия(0, x, y ) 1u (0, x, y ) 0.31.4v(0, x, y ) 00.01p(0, x, y ) 0.5ВыводыПромоделировано обтекание плоской пластины вязким слабо сжимаемымгазом. Проведено сравнение результатов расчета с профилем Блазиуса иполучено хорошее совпадение.Новый способ определения компонент тензора вязких напряженийсоответствует условию прилипания на границе области..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
