Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Значит, 4. Г(оо, оо) = 1. Найдем вероятность попадания двумерной случайной величины (Сы Сг) в прямоугольник (а| < х| < Ь|, аг < хг < Ьг) (рис. 2). Для этого сначала опреде- лим вероятность попадания в по- Рнс. 2 луполосу (х| < Ь|, аг < хг < Ьг). Но эта вероятность представляет собой вероятность попадания в квадрант (х| < Ь|,хг < Ьг) за вычетом вероятности попадания в квадрант (х, < Ьы хг < аг), т е Р(с| < Ь|, аг < ~г < Ьг) =- Г(6| Ьг) — Г(Ьы аг). Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник (а| < х| < 6|, аг < хг < 6г) есть вероятность попадания в полуполосу (х| < Ь|, аг < хг < Ьг), из которой вычтена вероятность попадания в полуполосу (х| < а|, аг < хг < Ьг), равная Г(см, Ьг) — Е(иы аг). Окончательно получаем 5.
Р(и| < (| < Ь~, аг < 6 < Ьг) = Е'(Ь| Ьг) — Р'(Ьы аг) — Р(ам Ьг) + + Г(аи аг). Подобно одномерному случаю доказывается и следующее свойство: 6. Е(хыхг) — непрерывная слева по каждому из аргументов х| и хг функция. Наконец, последнее свойство устанавливает естественную связь между распределением случайного вектора (гы ~г) и распределениями 92 Гл. б.
Многомерные случайные величины и их свойства случайных величин ~1 и (з, Событие (бз < оо) достоверно, поэтому (С1 < х1) О (Сз < сс) = (~1 < х1). Аналогично (Е1 < оо) О (ба < ха) = = (бз < хз). Значит, 7' РЕ Е(х'оо) РЕ('г)' Рад«(оо х) -~6(х) Отметим, что, в отличие от одномерного случая, не любая функция Тг(зги ха), удовлетворяющая условиям 2 — 4 и 6, может являться совместной функцией распределения некоторой двумерной случайной величины. Для того чтобы это было возможно, необходимо потребовать также выполнение для любых хн уы ха, уз, х1 < уы хз < уз, следующего дополнительного условия: Р'(уыуз) — Р'(у~ ха) — Р'(х уз)+Р(хнхз) <О 3. Дискретные двумерные случайные величины Двумерная случайная величина (С,у) называется дискретной, если каждая из случайных величин С и «1 является дискретной. Ясно, что если случайная величина С может принимать только значения Хы ...,Х„(для простоты мы ограничимся только конечным множеством значений), а слУчайнаа величина 9 — значениЯ Уы..., У„н то двумерный случайный вектор (С, «1) может принимать только пары значений (Х„Уу) (1 =- 1,...,гн у = 1,,,т).
Так же, как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевозможных пар (Х„ У ) значений случайного вектора (С, «1) и соответствующих вероятностей, с которыми эти пары значений принимают случайные величины с и «р Такое перечисление удобно реализовать таблицей (табл. 1) с двумя входами. В верхней строке этой таблицы перечислены все возможные значения Уы.,у случайной величины «1, а в левом столбце — значения Хы ...,Х„ случайной величины Е. На пересечении столбца «У » со строкой «Х,» приведена вероятность рм ††- РД = Х„ г1 = 1' ) совместного осуществления событий (Е = Х«) и (у = Т ).
К этой таблице обычно добавляют еще одну строку «Рч» и столбец «Р«». На пересечении столбца «Рс» со строкой «Х,» записывают число ре = рн + ... ч- р, . Но ри представляет собой не что иное, как вероятность случайной величине с принять значение Х„ т.е. ре = Р(б = Х,). Таким образом, первый н последний столбпы таблицы дают нам ряд распределения случайной величины с.
Аналогично в строке «Рч» ряз = р| + ... + рь, а первая и последняя строки в совокупности задают ряд распределения случайной величины гр Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна из этих сумм не будет равна единице, то это означает, что при составлении таблицы была допущена ошибка. 3. Дискрешные двумерные случайные величины Таблица 1 93 По табл. 1 нетрудно определить функцию распределения Е~ч(х, у). Ясно, что для этого необходимо просуммировать р, по всем тем значениям г', и у, для которых Х, < х, У < у. Иными словами, Е(х, у) = ~ ргх г Х,<ю ху»<и Пример 6 В схеме Бернулли производится 2 испытания с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи у =! — р.
Выпишем рзспределение двумерного случайного вектора (рг, !га), где р, (г =- 1,2) — число успехов в г-м испытании (см. пример 2). Каждая из случайных величин рг и ре может принимать 2 значения; 0 или 1. Числа успехов в оооих испытаниях равны нулю тогда, когда произойдут две неудачи, а это в силу независимости испытаний происходит с вероятностью у у. Поэтому Р(рг = О,р = О) = уа и на пересечении столбца «О» со строкой «0» нужно написать д~ (табл. 2). Далее, рг = 1 и рз = О, если в первом испытании произошел успех, а во втором — неудача, и, значит, Р(рг = 1, р.
= О) = ру. Аналогично заполняется рэ второй столбец: Р(рг = О, р = 1) = ур, р(р, — 1 р. = 1) = р'. Наконец, на пересе- 0 1 Р,, чении столбца «Ри,» и строки «О» должно стоять Р(рг = О) = уз + ур = у(у Ч- р) =- у, 0 У УР У а на пересечении столбца «Рш » и строки «1» — РЬ = 1) = ру+ ра = р(у + р) = р. Таким же образом выписываем послед- Р, у р ! нюю строку: Р(р» = 0) = у Ч- рд = д, Р(рз = 1) = др+ рз = р. Проверяем правильность составления таблицы сумма элементов последнего столбца р Ч- у = 1, последней строки р-г у = 1.
Значит, есть надежда, что таблица составлена правильно. Построим теперь совместную функцию распределения Р(хг,х ) = Р(рг < хг,рз < хз) случайных величин рг и рз. Поскольку при хг < 0 или ха < 0 нет ни одного элементарного исхода ю, для которого !гг(и») < хг или ра(ш) < хсы то событие (рг < хы рз < хз) невозможно и, значит, с (хг,х») = 0 при х~ < 0 или х < О. Далее, если 0 < х~ < 1 и 0 < ха < 1, то событие (рг < хирз < хз) эквивалентно событию (рг = О,р = 0), которое, как 94 Гл.
б. Многомерные случайные величины и их свойства видно из табл. 2, происходит с вероятностью у-', н Тг(тыла) = дз. Если же О < а~ < 1, а ла > 1, то событие (1и,~ < хи Рз < ае) совпадает с объединением ' <г, Рнс 3 непересекаюгцихся событий (р1 = О,ие = О) и ((г1 = О,ра = !), тогда Г(хила) = «Г' -'г др = Ф Аналогично, Г(тыма) = у' -'г ру = у при т1 > 1 и О < х < 1. Наконегг, если х~ > 1 и шз > 1, то событие (и~ < ание < ла) достоверно и, значит, Р"(ан та) = 1. Функция распределения Р(хы мз) представляет собой поверхность в трехмерном пространстве, и ее не очень удобно изображать графически. Тем ие менее такая попытка предпринята на рис.
3. С) При мер 7. Игральная кость размечена таким образом, что сумма очков на противоположных гранях равна 7 (т. е. 1-6, 2 — 5, 3 — 4). Случайная величина б — число очков, выпавших на верхней грани, случайная величина П вЂ” на нижней. И случайная величина б, и случайная величина и могут принимать любые целые значения от ! до 6 с одинаковой вероятностью 1/6. Однако если случайная величина б приняла значение ! (на верхней грани выпало ! очко), то единственным значением случайной величины ц может быть только 6 (на нижней грани обязательно выпадет 6 очков) Значит, строка «! ° табл.
3 будет состоять из нулей, за исключением пересечения со столбцом «6»: на этом месте обязана стоять вероятность 1/6. Аналогично, строка «2« будет иметь единственный отличный от нуля элемент на пересечении со столбцом «5», Таблица 3 4. Непрерывные двумерные случайные величины также равный 1!6 (на верхней грани выпало 2 очка, на нижней 5) и т.д.
Столбец «Р»» и строку «Рч» находим, суммируя соответствующие строки и столбцы; как и должно было быть, мы получаем в них одинаковые значения 1/6, соответствующие принципу классической вероятности. Предоставляем интересующемуся читателю самостоятельно построить совместную функцию распределения случайных величин С и П. 1З 4. Непрерывные двумерные случайные величины Непрерывной двумерной случайной величиной (б, ц) называется такая двумерная случайная величина (~, ц), функция распределения которой г (хихг) =- РД < хн»1 < хг) может быть представлена в виде .» (а1 хг) = Р(У1 Уг) с1У~ »»Уг.
— с»<м <ю — м<дг<х Здесь имеется в виду двукратный интеграл по области (у~ < хы уг < хг); имеет место теорема Фубини, которая говорит, что этот двукратный интеграл можно представить в виде повторного, причем в любом порядке; х »и пгчх~ хг) = ~ дуг ~ РЬ~ уг) дуг = ~ йуг ~ р(у1 ° уг) дуы Функция р1гц,хг) = р» ч(хыхг) называется совместной плотностью распределения случайных величин ( и ц. Так же, как и в одномерном случае, будем предполагать, что р(гц,хг) непрерывная (или «почти» непрерывная) функция по обоим аргументам.
Тогда совместная плотность распределения представляет собой смешанную производную совместной функции распределения: р(хнх ) = д, д, ~(хихг) = д д ~(хы г) д д х2 дхг дх~ Нетрудно вывести следующие свойства совместной плотности распределения: 1. р1хн хг) ) О. ь, ь, 2. Рга~ < б < Ун аг < ц < бг) = ~ дх~ ~ р(хы хг) дхг. щ а 3. ,:'': :'~ р(хнхг)дх1дхг = 1. 4 Р1х~ < 4 < хг + гды хг < Ч < юг + ~г) = Рчхыхг)Ь1~г. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
