1626435695-d1df5d2e6d953ce7ad4b4ccb5f4f4e30 (844296), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Р'-ьР+Р', ой Р+ Р' ('У, р: Д-о-Р, е: Р -~ С, где С вЂ” замкнутая диаграмма. Определим морфиэмы у: В-о С, у' Р'-~-С соотношениями у = удре, у' = = у'о(рс. Тогда у (и) = у' (и'), поскольку д (у (и)) = о( (у) (й)). Эквивалентность схем вытекает теперь из следствия ЗА. С другой стороны, предположим, что процедура распоанавання ломается, а схемы (В, и) и (Р', й) эквивалентны. Тогда в силу следствия ЗЛ существует замкнутая диаграмма С и морфизмы у: Р -о С и у': Р' -о. С такие, что у (и) = у' (и'). Если применить. процедуру распознавания к этны схемам, то первый шаг даст" морфизмы у: Р-1 Р+Р' и у': Р'- Р +.0'. Эти морфиэмы обладают тем свойством, что существует морфизм ~;.
В + Р' о- С,. для которого у~, = у и уело = у', поэтому ~, (у (и)) = у (у' (и')) Далев, применяя леммы 3.2, З.З и 3.5 с учетом того, что операция замыкания заканчивается, мы получим, что все операции, применяемые процедурой распознавания, являются успешными. Следовательно, успешной будет и процедура распознавания, что.
противоречит нашему предположению. ( ) 2.4. Предельная диаграмма. Пусть операция замыкания не ааканчивается при ее применении к конечной диаграмме Р . Мы получим тогда бесконечную последовательность морфиэмов ао: Ро-~" Рой Ро: 0о-~-Рм оо- Во-'"0м Ро: (3о-'Ро.
- °- где а,". Р, -о ~ӄ— результат пополнения конечной диаграммы Р„а р,: (У, — Р— результат уплотнения полудиаграммы Обозначим у, = а,р, суперпоэнцию морфиэмов а„и р„у;. Р„-о- -1-Р, г ': О. Последовательность морфизмов (у,) определянг диаграмму Ь, называемую проделал этой последовательности, а также морфизмы л,: .0„- А следующим образом. Для всех г, г, О«( г «( о, определим морфизм Р„„: .О, -о Р„ полагая а) рьг = уигу б) если г ( г, то Г~, = У У~+о ° ° ° Уо-м Обозначим через Зо (раэделителъное) объединение множеств Ур„ Ур„... Тогда для всех г » О и и е= Ри существует соответствующий элемент множества й, который мы будем обоаначать 6, (и). Пусть =— оаначает отношение эквивалентности на зо, которое определяетея так: 6„(ио) вн 6„(и ) тогда и только тогда, когда существует о, г: г, о,, г, такое, что р„„(и,) = = Р„, ° (ио).
Тогда в качестве вершин предельной диаграммьь А воэыаем классы эквивалентности множества И по отношению ж. Для г» )О морфием л„: Р„- А определяется каи отображение, сопоставляющее вершине и Е Р, класс эквивалентности элемента Ю,(и). Заметим, что для о г-г Г,,л, = л,. Дуги в Х опре-- о делаются следующим образом: и, — и~ в Ь тогда и толъко тогда, когда для некоторого г~ О существуют и, и' ~ гй такие, чта. и- й в Р„я„(р) = ид и я, (о') = ид, Наконец, Ль = я (Лр,). Мы изучаем свойства диаграммы Р в предположшни, что она получается в результате не заканчивающейся операцвы замыкания.
Л е м м а 3.6. Ь вЂ” гаддлнутал диаграмма. Доказательство. Пусть раб=ус н ц. о для некоторых од б= Хо о ЕБ Хр д ~ ). Тогда существуют ю гд~6 и када идте= Ур такие, что дед — иг в Рао, даа(юд) = ид и д„, (иана) = иг. КРеме того, сУЩествУют г, в 0 и юг, дга б= УР„ Ю та ни е а что ю г ~ та в Р р г а ( ю г ) од и я а а ( ю а ) из П ос к ел ь и у :л„(дед) = я„(дог), существует г, г~ гд, г ~' гг, такое, что Р „а (идд) = Р, ° (дгг). Это дает Х„',(и,) * Гч,,(га,) Раа,а (ыч) 'Следовательно, существует вершнна иа ~ Уо такая, что а аа(Гч.(гр,)) в Ф.
~ ~ач, ~ В д —" Применяя морфнзм р яа+д, получим ТУа и, (Р ла-д) (то) поскольку (Ри, аиарага+д) (юг) (Раа, а+дда+д) (дог) = лаа (юг) оа и аналогично (Ра„ааараяаад) (иаа) = иг. Отсюда следует, что Ь— замкнутая диаграмма. ( ) М Л е м м а 3.7. Диаграмма Х бгекокгчка. Д о к а э а тел ъ е т в о. Предположим, что Х конечна. Так как Уь конечно, Уъ = У>ш<~„> для некоторого ге~ О.
Определим тогда морфием Ь„: Х-а- В,. следующим образом: а) Ь„(Ль) = Лр,, б) если и ~ Ль, то выберем произвольную вершину р' ~ Гр, такую, что б,. (и') = и, и положим Ь„, (и) = — р'. Таким обр™агом, Ь„»„= $ъ. Для г ' га определим отображение Ь;> Уь-а- $'р, полагая Ь„= Ь„Р„„,. Тогда Ь„л, = ><., и для всех достаточно болъшвх г нэ йг (<>') = и следует г"„, ° (<>') = = Ь,(<>). Рассмотрим теперь произвольную дугу и- р в Е. Тогда существуют л»~ О, и', »> <:==Гр такие, что р' - и,' в В я (<>') = р и я (р~) = р<. Отсюда следует, что для всех достаточно болыннх г Г,, (р')- г' ° (и;) в В„г, (и') = Ь,(и) нГ ° (р>) = Ь,(э,), т. е.
Ь,(и). Ь,(р<) вВ,. Поскольку в Х>, имеется конечное число дуг, то для всех достаточно больших г а а и — и, в Х влечет Ь, (и) — Ь, (и>) в В,. Кроме того, для всех г '=- гг справедливо Ь, (Л<,) = Лр, Следовательно, для всех достаточно болыпнх г отображение Ь, являетея морфизмом. Пусть и <== Гр., р' = рг (р). Тогда для всех достаточно больших г >за,а (о) = Ьа (р') <== Ува<л >. Это значит, что для всех достаточно болыпих г г'>,<г,> ~ У>ш<г .
Выберем г ..э О так, чтобы Ь, было морфиэмом и Г>ш<г„,> ~ Г>ачъ >. Пусть К вЂ” множество неподвижных точек морфиэма б,й„т. е. К = (о~ Ь, (я, (и)) = и). Для и~ Уь имеем Ь, (л,(Ь, [р))) = = Ь, (р), следовательно, Р«г> ~ К и У> <г, ~ К. Предполоа а жнм т<шеръ, что ра ~ К и и, — р> в В - Тогда ра Ьа (Иа (р>)) в В„а поэтому и> = Ь, (д, (и>)), т. е. и е= К. Отсюда следует, что если существует путь в В, от вершины иг ~ К к вершине р, то и ~ К.
Очевидно, для всякой вершины» ~ Ур существует путь от некоторой вершины нз Г> <г, к вершине и. Поскольку У> <г,> с: К, всякая вершина и Й г'р принадлежит К. Таким образом, я,Ь, = >р, Но Ь,б, = >ь, поэтому Ь, является изоморфиэмом. Итак, для некоторого г ) >О имеем Х>, ж Е, поэтому В,— замкнутая диаграмма. Однако если одна из диаграмм В<, 5 > О, замкнута, то операция замыкания, применяемая к Ва, заканчивается. Полученное противоречие доказывает бесконечность диаграммы Х.
( ) Итак, если описанная в п. 2.3 процедура распознавания эаканчиваетея при ее применении к двум схемам Берда, то при успешном завершении схемы эквивалентны, а если процедура ломается, то схемы иезквивалевтвы. Однако пока процедура не аэкончена, нельзя сказать, эквивалентны схемы нли нет.На 57 ЬО а (т'1) для некоторых а, ~ Х, ав 1:= Хг.
По индуктивному предположению существует 1в 1.="- Ув. такая, что в Б„нмеетея г-путь от Рв,„(гв) к пэ Морфнзмом а, этот путь отображается в $-путь в 9, от вершины а„(Рьг (1в)) к а, (о~). Следовательно, существует г-путь от верпшны а„(Р „(гв)) к вершине о'. Морфнзмом р, этот рнс. 3.5 приведен пример двух эквивалентных (трехленточных) схем Берда, на которых процедура распознавания будет работать бесконечно. 2.5.
Решение двухленточной проблемы. В этом разделе мы рассматриваем случай п = 2 (двухленточные схемы Берда). Следуя Верду, мы докажем, что в случае и = — 2 процедура распознавания всегда заканчнвается, ао с, т. е. является алгорнтмом распознавання зквнвалентностн. Путь в полуднаграмме назо- вем $-путем, если пара слов, а1 в1 связанная е этим путем, имеет внд (и, е), где и 1 — Хг. Аналогично определяется 2-путь.
с Л е м м а 3.8. Длл кахсдвго аО 1 = $, 2 и длл всех вершин о спи. санной в предыдущем разделе предельной ди граммы Ь существует В1 г-путь от некоторой вершины ив 1ш (ув) к вершине ш л л Доказательство. До- кажем нндукцней по г, что для Рис. З.з. Пример двух схем Бвр- о ~ $гв„существует г-путь (г = ( 4' =$,2)вй„отвершянынз 1ш(Р,) к вершние ш Если о ~х $гв., то сама вершина о представляет собой 1-путь от вершины кз 1ш (Рг,в) к и. Пусть это верно для некоторого г » )О. Если о ~ $гв,„п то существует вершина о' ~ $га, такая, что р„(ф) = т Мы рассмотрим два возможных случая: а) р' =- а„(в') для некоторой о" 1== Гв„.
Тогда по нндуктнвному предположепню существует г-путь в Ю, от вершины нз 1ш (Рв,,) к о', а морфнзмом (, этот путь будет отображаться в г-путь и Б„+, от вершнны нз 1ш (Р,+,) к р; б) о' Ю $ггвв,р Тогда существуют од, рг 1:= Ув„таяне, что пУть отобРажаетсЯ в 1-пУть в диагРамме Р„г от веРшины адыги (и>) к вершине и. [ ) Т е о р е и а 3.8. Операцию еамыкания еаеершается, если она применяется к деухленпючной конечной диаграмме бее свободных вершин.
Д о к а э а т ел ь с т в о. Пусть Рг — конечная двухленточная диаграмма беэ свободных вершнн. Как мы внделн, если операция эамыкэвня не эаканчивается иа Рг, то существует бесконечная эамкнутая диаграмма А, а также ее подднаграмма Х г (Х г = = 11п (дг)) со следующими тремя свойствами: а) Хг конечна (в силу конечности Р,). б) Ьг не содержит свободных вершин (если й (о) свободна в Ьг, то о свободна в Р ); в) если о ~ Уг., то для каждого ю = 1, 2 существует ю-путь от некоторой вершины иэ Хг к ш Мы придем к протнворечвю, покаэав, что всякая эамкнутая диаграмма Х, содержащая подднаграмму Х, с перечисленнымн свойствами, является конечной. Для о ~ Гь н ю = 1, 2 определим рс(о) как минимальное иэ чисел а' таких, что существует $-путь длины ав диаграмме Х отверткам нэ Х г к вершине о(в'-расстояние от Ьг ко). Корректность.
определения расстояний обеспечивается свойством б). Заметим, что о ~ Гс, <=> рг (о) = О <=~ р (о) = О; кроме того, множества (о ~ р( (о) ~( т) являются конечными прн любых т к О, 1 = 1, 2. с Покажем теперь, что если о~ Уь~ Гг„н о- о' в Ь для. некоторого а ~х Хп то рэ (о) >» рг (с'). Пусть ог — о,— с и — 2-путь минимальной длнны а' = рг (о) : "1 в диаграмме Ь от некоторой вершины ог ~= Уг. к вершине ш Очевидно, что ог ~ г'г„, следовательно, оэ не имеет 2-наследников в Хг.
Однако ог чн Лы, поскольку Ль, = Лю и вершина ог не свободна в Ью с поэтому сэ имеет 1-наследников в Хг. Пусть ог — ц', в Ьг. В силу вамкнутости Х существуют о(,..., ое г ~ Гь таяне, что О~ са аа а 1 Итак, существует 2-путь длины рг (о) от некоторой вершины иэ к вершине о, т. е. рг (о) ~ рг (о). Если о' (== Уь ~ Гг„, то существует 1-путь е, о, ег,-г е оэ — +о,— ...— о г — ~о'вХ для некоторого т ~ 11 из ~ Ус и изб ° - е имш б= иь ~ Рг; Очевидно, что рз (из) = 1 и р (и') с" рз (и ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
