1626435694-d107b4090667f8488e7fa1ea1b3d0faa (844295), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Высшую степень абстракции составляют исходные, или первичные, абстрактные объекты,— это те объекты, природой которых мы можем себе позволить не интересоваться вовсе. В математическом рассуждении первичный или, как говорят, проиавольный абстрактный объект подчиняется лишь таким допущениям, что его можно «взять» и «рассматривать» под приданным ему обоаначением и «отличать» от других объектов. Все остальные свойства или манипуляции с таким объектом находятся за рамками д а н н о г о рассуждения. Мы не случайно подчеркнули слово «данного», так как в другом рассуждении «тот же» первичный объект может после определенной конкретиза- $ ЕЬ К21АТКОЕ ПОВТОРЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОСНОВ 53 ции выглядеть совсем по-другому, обладая дополнительными свойствами или внутренним строением.
Например, пихте мы определим граф как конструкцию, вершинами в которой могут быть произвольные абстрактные объекты. Позднее же, когда мы станем говорить о графе несовместимости, его вершинами будут связки — объекты весьма сложного строения, в отношении которых читателю придется сделать даже некоторое мысленное усилие, чтобы представление о них ассоциировалось бы с видом точки на плоскости — наглядным изображением вершины графа.
Эта свобода и легкость, с которой математик, подобно опытному кинооператору, переключающему объективы кинокамеры, мгновенно переходя от панорамы к крупному плану, меняет уровни абстрак.ции в рассмотрении объектов, выбирая для каждого уровня наиболее подходящую форму наглядного представления об объекте, являются залогом успеха в аффективном решении математической задачи. При рассмотрении абстрактных объектов следует рааличать их обозначения и их изображения.
Обозначение вводится в рассуждение задающей фразой типа: «Пусть Я вЂ” оператор рассматриваемой программы». Другие фразы упоминают объект, введенный задающей фразой. Обозначение служит как бы мостиком, связывающим задание и использование рассматриваемого объекта. Строгов изложение четко выделяет задающие фразы, не заставляя читателя догадываться иа контекста, о каком объекте идет речь. В некоторых языках различение задания и рассмотрения ранее заданного объекта является частью грамматики языка, как, например, неопределенный и определенный артикли в английском языке.
В алголе и некоторых других алгоритмических языках роль задающих фраз играют описания, как, например, цел х, проц г' ит. и. Изображение объекта — зто наглядное представление некоторого конкретного объекта. Оно говорит само по себе, какой объект рассматривается, и, вообще говоря, не требует специальной задающей фразы.
Кроме исходных абстрактных объектов в математическом рассуждении имеют дело с производными объектами, т. е. получаемыми каким-то образом из исходных. Один из способов состоит в построении, или вычислении, производного объекта'нз исходного. Этот способ получения подразумевает существование алгоритма, — правила, или предписания, убедительно описывающего отдельные шаги вычислительного процесса, приводящего к построению или нахождению производного объекта. Убедительность означает, 'что при выполнении алгоритма мы всегда можем выполнить любой очередной шаг, всегда точно знаем, какой шаг надо выполнить, всегда внаем, что ваш процесс окончится.
В математике есть несколько точных опре- гл. г. постлновкл злдлчи и овшля ткогня делений того, какие вычислительные правила надо считать алгоритмами. Все опи описывают один и тот же круг вычислительных процессов, а способ записи алгоритмов очень похож на программирование для ЭВМ.
Другой способ получения производных объектов из исходных — зто группировка, объединение исходных объектов в составные: наборы и множества. Набор — зто абстрактный объект, о котором известно, что ою состоит из определенного конечного числа других объектов — его компонент. Если дан набор, то даны его компоненты, и, наоборот,.
задание компонент полностью определяет набор. Рациональная дробь — это набор из двух целых чисел — числителя и знаменателя, комплексное число — зто набор из двух вещественных чисел — его действительной и мнимой частей, вектор — зто набор его координат, многочлен — набор его коэффициентов. Компоненты набора всегда отличимы друг от друга; когда вводится название для набора, вводятся также (при этом различные) названия для его компонент. Два одинаково устроенных набора равны, если одинаковы (равны) их соответствующие компоненты. Мы не случайно говорим «одинаково устроенныхю комплексное число 2+ 51 и рациональная дробь «/«не равны, хотя имеют равные компоненты. Наборы имеют два способа их обозначений: один — простое символическое обозначение для набора в целом, вводимое обычным образом, другой — вводит одновременно как обозначения для компонент набора, так и указание на то, как они объединяются в набор (правила композиции).
Ниже следует ряд общеизвестных примеров: дробь г = —, о комплексное число з = а + Й, вектор а = (а„а„, „а„), многочлен Р, = а«+ а,х + а;г* + а«х«+ а«л«, матрица В=((ЬД(~ =1,..., и, 1= 1,..., т), треугольник «х = (а, Ь, е). Если дано обозначение набора, то иногда его компоненты обозначаются с помощью функций выборки, имеющих вид К(Т), где Т вЂ” обозначение набора, а К вЂ” название соответствующей компоненты, например, Ве (г), 1ш (г), числитель (г), знаменатель (г).
$ ЕЬ КРАТКОЕ ПОВТОРЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОСНОВ Между правилами композиции и функциями выборки имеют место очевидные тождества, как, например, 2 ьк (Ве (2), 1т (2)), р — = числитель ~-! (р~ Ь/ д = знаменатель Н. /р~ Ь/' Во многих случаях, когда компоненты набора являются как бы однородными членами, для них не вводят для каждого в отдельности свое название, а, выстраивая их в некотором порядке, пересчитывают.
Тогда каждая компонента получает номер, который и является нааванием компоненты. В атом случае функция выборки укааывается по-другому: номер компоненты помещается в качестве нижнего индекса либо у обозначения набора (как в случае вектора), либо у общего символа компоненты (как в случае матрицы В). Множество и соответствие. Исключительно важным для всех математических построений является объединение объектов во множества. Лучшее пояснение природы множества принадлежит основателю теории множеств Георгу Кантору, который сказал, что «под „множеством" мы понимаем любое объединение в одно целое М определенных вполне различаемых объектов л» из нашего восприятия или мысли (которые называются „элементами" М)».
Утверждение о принадлежности элемента т множеству М обозначается тееМ (т принадлежит М). Все разнообразие способов объединения элементов во множества сводится в конце концов либо к заданию способа «получения» элементов множества, либо к заданию характеристического свойства, позволяющего «отличать» элементы множества от других объектов. Поскольку логически допустимо, что процедура получения элементов может, оказаться безрезультатной, а характеристическое свойство никогда не выполняется, мы должны допустить существование пустого множества, не содержащего ни одного элемента.
Знак Э является унизерсалвным обозначением для пустого множества. Разнообразие общих утверждений также сводится в конце концов к утверждениям двух типов: а) утверждению о существовании элемента с некоторым свойством, принадлежащего множеству; б) утверждению о выполнении некоторого свойства для всех элементов данного множества. Доказательство тех или иных общих утверждений об элементах некоторых множеств является, в общем, конечной целью любого математического рассуждения. Со множествами и их элементами связано еще одно фундаментальное понятие — соответствия. Соотюетс«л«ие устанавливает ГЛ.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОВШАЯ ТЕОРИЯ 56 свявь между элеыентами двух множеств М и Лс такого типа, что если нам дан некоторый элемент множества М, то нам также дан некоторый вполне определенный этим соответствием элемент множества )у. Простейшим видом соответствия является тождественное, т. е. когда для элемента множества М мы «уэнаем» во множестве Л равный ему элемент. Когда соответствие Я определено для любого элемента иэ М, то мы говорим об отображении Я множества М во множество Л'.. Соответствующий элемент и иэ Лс называется образом своего прообраза т иа М. Эта связь изображается равенством и = Я(т).
Множество М, тождественно отображаемое во множество Лг, называется подмножеством множества Лс(М с:. Л>). Об Лс' говорят, что оно включает мноясество М. Пустое множество по определению полагают подмножеством любого множества. Если в отображении Я каждый элемент иэ Лг является обраэом некоторого прообраэа иэ М, то мы говорим об отображении множества М на )«'. Множество Л> в этом случае также называется образом своего прообраза М.
Если каждый элемент иэ Л' в отображении Я множества М на Х является обраэом только одного элемента иэ М, то тогда можно указать обратное отображение Я вЂ” ' множества Х на М, когда каждому образу Я(т)~)У ставится в соответствие его прообраэ т ен М. В таком случае мы говорим о вэаимно одноаначном соответствии элементов множеств М и Х, а сами М и Х называются эквивалентными множествами. Если между элементами множеств М и У имеется тождественное вэаимно однозначное соответствие, то эти множества называются равными (М = Л').
Иногда можно прочитать: «множества называются равными, если они состоят иэ одних'и тех же элементов». На самом же деле, это вольная формулировка, хорошо покааывающая разницу между живой речью н строгим математическим языком. Выяснение смысла лаконичного выражения «одних и тех же» как раз и приведет к понятию соответствия и тем определениям, которые были только что даны. Сказанное не означает, что математику противопокааана ясивая речь: педантичное повторение всех определений и выписывание в докаэательстве абсолютно всех логических этапов рассуждения сделает наложение громоадким, скучным и неэффективным. Используя, однако, «обычные» слова, сокращения и рассуждения по аналогии, математик должен уметь воссоэдать мысленный каркас безупречных построений, придающих точность изложению: в таком умении сочетать логику математического рассуждения со строем человеческого яаыка общения и заключается то, что мы называем математической культурой.
$ ХЬ КРАТКОЕ ПОВТОРЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОСНОВ 57 Имеет место простое утверждение: если одновременно М с 1У и Я ~ М, то М = 12'. Действительно, поскольку Л' с: М, то для любого и еи Л" есть равный ему элемент из М. Это значит, что в отображении М в Х каждый алемент из Х является образом и прн этом только одного (в силу тождественности соответствия) элемента из М. Тем самым, соответствие между М и Л' является тождественным и взаимно одноаначным, т.
е. М = ЛГ. В основе практически всех множеств, рассматриваемых в математике, лежит натуральный ряд и его подмножества, в частности, и-отрезки натурального ряда, т. е. множества всех натуральных чисел й, таких, что 1 ~ (Й ~ ~и. Множество М, эквивалентное некоторому п-отрезку, нааывается конечным множеством, а число п (равное, естественно, числу элементов в М) — мощностью множества М.
Пустое множество также считается конечным с мощностью,-равной нулю. Все остальные множества называются бесконечными. Бесконечное множество, эквивалентное натуральному ряду, называется счетным. Если соответствие между конечным илн счетным множеством М и и-отрезком или натуральным рядом задано, то М называется еанумероеанным множеством, соответствие — нумерацией его элементов, а образ элемента из М вЂ” его номером. Занумерованные множества иногда называют упорядоченными, по это не вполне точно. Множество М называется упорядоченным, если для любой пары различных элементов этого множества т и т' определено отношение порядка (т ( т'), обладающее свойствами: а) если т ~ т', то неверно, что т' ~ т, б) если т ~ т' и т' ( т", то верно, что т ( т", Если М вЂ” занумерованное мное1ество (М = (т1)), то между сто элементами можно всегда ввести отношение порядка, если считать, что т1( т; тогда и только тогда, когда 1 меньше 1 в обычном смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
