Рк2ТА (843574)
Текст из файла
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Кафедра физики
Билет№10
к РК2 по курсу «Тензорный анализ и групповые методы»
1.Понятие представления группы. Неприводимые и приводимые представления. Характеры представлений. Разложить симметричный квадрат векторного представления группы Т на неприводимые составляющие.
Представлением группы
называется гомоморфное соответствие элементов
группы
на группу операторов
:
.
Характер матрицы
есть
, то есть характер представления — это сумма элементов, стоящих на главной диагонали матрицы
.Следовательно,
, то есть представлению произведения любых двух элементов
,
группы
соответствует произведение их представлений
и
.
Характеры комплексно сопряжённых элементов одинаковы: , где
.
Представление называется неприводимым, если не существует нетривиального подпространства пространства
, инвариантного относительно всех операторов
.
Если такие, что
, где
— прямая сумма, то действующее в
представление
будет приводимым (
преобразует
,
—
).
Группа T | Отбор | ||||
E | 4 | 3C2 | ai | aij | |
A | 1 | 1 | 1 | axx+ayy+azz | |
E | 2 | –1 | 2 | axx, ayy, azz | |
F | 3 | 0 | –1 | x, y, z | axz, ayz, axy |
Найдём характеры векторного и псевдовекторного представлений по формулам ,
:
,
,
,
,
,
,
,
.
Группа T | Отбор | |||||
E | 4 | 3C2 | ai | aij | ||
A | 1 | 1 | 1 | axx+ayy+azz | ||
E | 2 | –1 | 2 | axx, ayy, azz | ||
F | 3 | 0 | –1 | x, y, z | axz, ayz, axy | |
| 3 | 0 | –1 | |||
| 3 | 0 | –1 | |||
| 9 | 0 | 1 | |||
| 6 | 1,5 | 2 |
Определим коэффициенты разложения векторного представления
:
,
,
,
.
Определим коэффициенты разложения псевдовекторного представления
:
,
,
,
.
Разложим на неприводимые составляющие с помощью формулы
:
,
,
,
.,
2 Свойства скаляра, вектора и псевдовектора. Понятие тензора произвольного ранга.
Свойства скаляра:
-
коммутативность (
,
)=(
,
)
-
дистрибутивность (
+
,
)=(
,
)+(
,
),
-
сочетательное свойство (λ⋅
,
)=λ⋅(
,
), (
,λ⋅
)=λ⋅(
,
)
-
скалярный квадрат всегда больше нуля (
,
)≥0, где (
,
)=0 в том случае, когда
нулевой.
Свойства вектора:
-
антикоммутативность [
×
]=− [
×
]
-
дистрибутивность [(
+
)×
]=[
×
]+[
×
] или [
×(
+
)]=[
×
]+[
×
]
-
ассоциативность [λ⋅
×
]=λ⋅[
×
] или [
×(λ⋅
)]=λ⋅[
×
], где λ - произвольное действительное число.
Свойство псевдовектора:
Аксиальный вектор или псевдовектор — величина, компоненты которой преобразуются как вектор при поворотах систем координат , н о меняющие свой знак противоположно тому, как ведут себя компоненты вектора при любой инверсии (обращении знака) координат. Т. е. псевдовектор меняет направление на противоположное при сохранении абсолютной величины (домножается на "-1") при любой инверсии координатной системы.
Задача к билету №10.
Провести теоретико-групповую классификацию колебаний в кристаллах ниобата лития. Установить структуру трансляционного, либрационного и внутреннего представлений. Выяснить правила отбора для инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света. Установить поляризационную геометрию для наблюдения комбинационного рассеяния на мягкой моде вблизи температуры фазового перехода. Ориентация поверхности кристалла (100).
Пространственная группа симметрии кристалла –

Число неэквивалентных атомов
Число элементов точечной группы
|
|
|
|
|
|
| 1 | 1 | 1 |
|
|
| 1 | 1 | -1 | ||
| 2 | -1 | 0 |
|
|
| 10 | 4 | 0 | ||
| 9 | 3 | -1 | ||
| 3 | 0 | 1 | ||
| 3 | 0 | -1 | ||
| 27 | 0 | -1 | ||
| 6 | 0 | 2 | ||
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | ||
| 3 | 0 | 1 | ||
| 3 | 0 | -1 |
Характер квадрата векторного представления:
Найдём разложение на неприводимые представления оптического представления :
Получаем:
Векторное представление :
Получаем:
Квадрат векторного представления :
Получаем:
Вывод:
инфракрасное поглощение разрешено для представлений
и
комбинационное рассеяние разрешено для
и
Для либрационных, трансляционных и внутренних колебательных представлений получим:

Для наблюдения комбинационного рассеяния на мягкой моде вблизи температуры фазового перехода кристалла с ориентацией поверхности
следует использовать поляризационную геометрию, в обозначениях Порто,
(рис. 7).
|
|
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.